Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Integrational mechanics. Lecture and exercises
.pdf
Hence,
4.7. Bearing reactions 141
w = w
R
A
x
R
A
i
x
1
1
= R
1
= R
z
1
R
A
+ w
z
1
· cos α, R
A
x
· sin α, R
A
x
= R
y
1
k
= w sin αi1+ w cos αk1,
1
= R
,R
A
y
B
x
B
z
B
y
1
1
1
= R
= R
B
x
B
z
B
y
· cos α,
· sin α,
.
Newton’s second law for the system given us:
c
ma
where a
=const, the mass center has only the normal component of acceleration a
= a
c
n
= w ×( w ×rc),where rc(−a, 0, 0) — position vector of the mass center
=F
x
1
— acceleration of mass center; Fe— external forces. Since w =
with respect to the origin of the system ox
x
n
a
= aw
e
,ma
1
= aw
2
2
z
1
c
y
1
i
1
=F
− aw
e
y
1y1z1
x
1
,ma
1
.
w
k
z
1
cos2αi1− aw20, 5sin2αk1.
c
=F
z
1
=
1
e
,
z
1
So, we have obtained:
2
maw
−maw
cos2αi1=(R
0= (R
2
0, 5sin2αk1=(R
Ay
1
+ R
Ax
By
1
1
Az
+ R
)j1;
1
Bx
+ R
)i1;
1
Bz
1
)k
1
The dynamic reactions can be determined from the first and second equations.
Then, let’s use moment of momentum principle for the system with respect
to an origin of the coordinate axes:
d
dt
L
o
M
=
(Fe).
o
c
=
(4.16)
Vector moment of momentumL
is obtained as a result of the multiplica-
o
tion of an inertia matrix by the vector column of an angular velocity.
142 Chapter 4
Hence,
L
= J · w =
o
=
= J
J
−J
−J
J
x
1
0 J
00J
x
−J
x
1
y1x
z1x
J
1
−J
1
00
y
1
w
i
x
1
1
1
x1y
y
z1y
0
z1x
+ J
1
−J
1
−J
1
·
1
w
z
1
x1z
1
·
y1z
1
J
y
1
w
x
1
0
=
w
z
1
.
k
z
1
1
w
x
1
w
=
y
1
w
z
1
Here J
since oy
and oz1are the principal axes of inertia at the point O.
1
The first time derivative ofL
where the first term characterizes the change in the direction of vectorL
x1y
1
= J
y1x
1
d
dt
= J
L
= J
y1z
1
is
o
= w ×Lo+
o
z1y
1
δL
δt
= J
o
,
z1x
1
= J
x1z
1
=0,
to-
o
gether with a relative system of reference; the second one represents an apparent
rate of change, which characterizes the change ofL
in a relative system of
o
reference.
The apparent rate of change ofL
δL
o
= J
δt
since w
x
1
=const.
z
1
The first term in expression for
o
=(w
x
1
w ×L
=(J
dw
x
1
dt
+ w
i
1
x
1
z
z
1
− J
is
o
dw
1
+ J
i
1
dL
o
is calculated as follows:
dt
)(J
k
1
x
)w
z
x
1
z
z
1
dt
w
i
x
1
1
1
· w
j
z
1
1
1
+ J
1
k
=0,
1
w
)=
k
z
z
1
1
1
,
Where axial moments of inertia are
2
J
mR
4
,J
z
=
1
=
x
1
mR
2
2
+ ma
2
.
4.8. Differential equation of motion of a mechanism 143
Thus,
d
dt
L
= −(
o
mR
4
2
+ ma
2
) w20,5sin2αj1. (4.17)
We substitute expression (4.17) into equation (4.16) and project the latter
equation onto coordinate axes ox
= −R
· h · cos α + R
A
x
1
0=R
−(
· h · cos α − R
A
y
1
2
mR
4
B
x
1
+ ma
· h · cos α − R
:
1y1z1
2
) w20, 5sin2α =
· h · cos α, (4.18)
B
y
1
· h · sin α + R
A
z
1
B
z
In the right side of first equation of the set (4.18) the sum of moments
of reactions with respect to the axis ox
the second equation — analogous quantities with respect to axis oy
is written, and in the right side of
1
1
equations (4.16), (4.18) in the form of a set of equations:
2
maw
−maw
−0, 5mw
2
2
R
2
(
4
cos2α =(R
R
+ R
A
y
sin 2α
= −(R
2
R
− R
A
y
2
+ a
)sin2α = −R
+ R
A
x
=0;
B
y
A
z
=0;
B
y
+ R
B
x
B
A
x
)cosα;
)sinα;
z
· h + R
· h.
B
x
Hence
R
R
A
R
B
x
=0, 5m[(
x
= −0,5m[(
= R
A
y
2
R
+ a
4
2
R
+ a
4
2
)
2
B
y
sin 2α
2h
sin 2α
)
=0;
+ a cos α] w
− a cos α] w
2h
2
;
2
.
· h · sin α.
1
. We write
Answer.
One may also solve this problem using D’Alembert’s principle.
4.8. Differential equation of motion of a mechanism
Sample problem 10. The mechanism of a manipulator consists of col-
umn 1, the equipment for vertical displacement 2, and the swivelled arm with
144 Chapter 4
gripper 3 (see Fig. 4.20). The moment of inertia of link 1 about the axes of
rotation is J
the axis of rotation is J
; the mass of link 2 is m2; the moment of inertia of link 2 about
1
; the mass of arm 3 with the gripper is m3; a distance
2
from the axis of rotation to the link’s mass center is ρ ; the moment of inertia of
link 3 about the same axis is J
forces which move translational pairs equals F
. Couple M is applied to the axis of rotation;
3
and F12. Write the differential
12
equations of the motion of the mechanism. Friction should be neglected [9].
ρ
3
z
2
1
Figure 4.20
Solution. It is obvious that the mechanism has three degrees of freedom:
one turn and two independent translations along axes. Therefore generalized
coordinates specifying all these motions are: q
= ϕ, q2= z, q3= ρ.
1
By the data given we regard constraints as holonomic, scleronomic and
fixed ones.
In accordance with possible motions of the mechanism we mast obtain one
differential equation of a rotational motion in the form of
J ¨ϕ =
e
M
,
j
j
and two differential equation of translations in the form of
m
iai
N
j=1
e
F
.
j
=
4.8. Differential equation of motion of a mechanism 145
Here J — moment of inertia of the mechanism with respect to the
axis of rotation; a
links; M
e
e
,F
j
j
— accelerations of mechanism’s links; mi— masses of
i
— external couples and forces applied to the mechanism.
Moment of inertia of the mechanism equals the sum of moments of inertia
of the links about the axis of rotation:
+ J2+(J3+ m3ρ2),
1
where J
J = J
— moment of inertia of link 3 with respect to the axis which is parallel
3
to the axis of rotation but passing through the mass center of the link.
Active couple M , weights of links and driving forces F
and F23are
12
classified as external couples and forces.
Then the first two equations takes the form:
+ J2+ J3+ m3ρ2)¨ϕ = M,
(J
1
(m
+ m3)¨z = F12− (m2+ m3)g.
2
The second equation characterizes the motion of the mechanism (movable links 2 and 3) in the field of a gravity force and under the action of
force F
Therefore, we must take into account two accelerations ¨ρ and ρ ˙ϕ
which can move the links up or decelerate their motion down.
23
Link 3 simultaneously makes two motions: translational and rotational.
2
to write
an equation which describes a motion of link 3 relative to link 2. Here ρ ˙ϕ
is a normal component of a rotational acceleration, it is directed opposite to ¨ρ.
Whence,
(¨ρ − ρ ˙ϕ2)=F23.
m
3
The problem has been solved by the method of a qualitative analysis. The
same equations may be obtained by more rigorous methods, for example using
Lagrange’s equations.
Answer:
(J
+ J2+ J3+ m3ρ2)¨ϕ = M,
1
+ m3)¨z = F12− (m2+ m3) g,
(m
2
m
(¨ρ − ρ ˙ϕ2)=F23.
3
2
Bibliography
[1] Никитин Н. Н. Курс теретической механики. — М.: Высш. шк., 1990. —
607 с.
[2] Полищук Д. Ф. Техническое творчество в механике. Системно–
операторная механика. Ижевск: Изд–во Удм. ун–та, 1993. — 230 с.
[3] Альтшуллер Г. С. Творчество как точная наука. М.: Сов. радио, 1973. —
175 с.
[4] Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения, М.: Наука,
1975. — 464 с.
[5] Павловский М. А. и др. Теоретическая механика. Статика. Кинематика.
Киев: Выща школа, 1989. — 351 с.
[6] Зингерман Ю. М. Об одном мало известном способе определения уско-
рений при плоском движении твёрдого тела: // Сб. научно–метод. статей по теор. механике. Вып. 17. М.: Высшая школа, 1986. — С. 69–79.
[7] Бабаков И. М. Теория колебаний М.: Гос. изд. тех.-теор. лит., 1958. —
628 с.
[8] Ишлинский А. Ю. Классическая механика и силы инерции. М.: Наука,
1987. — 320 с.
[9] Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике.: М. 1985.
[10] Malvern L. E. Engineering mechanics. New Jersey, 1976.
[11] Жичкина Е. С., Крылов Э. Г. Как решать задачи по теоретической ме-
ханике Часть 1. Статика. (на английском языке). How to solve problems
on classical mechanics. Part 1. Statics. Ижевск, 1996.
[12] Жичкина Е. С., Крылов Э. Г. Как решать задачи по теоретической ме-
ханике Часть 2. Кинематика. (на английском языке). How to solve
problems on classical mechanics. Part 2. Kinematics. Ижевск, 1998.
BIBLIOGRAPHY 147
[13] Крылов Э. Г., Пирожкова Л. Н. Динамика материальной точки.
Dynamics of mass – point particle (на английском языке). Ижевск, 2001.
[14] Крылов Э. Г., ПирожковаЛ. Н. Принцип Даламбера. D’Alembert’s
principle (на английском языке). Ижевск, 2001.
[15] Крылов Э. Г., Пирожкова Л. Н. Элементы аналитической механики.
Elements of analytical mechanics (на английском языке). Ижевск, 2001.
[16] Крылов Э. Г. Русско – английский словарь лексики по теоретической
механике. Ижевск, 1999.
[17] Полищук Д. Ф. Введение в инженерную интеграционную механику.М.–
Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2004. — 68 с.
[18] Полищук Д. Ф. Введение в интеграционную механику. Методы творче-
ства в классической механике. Ижевск: Издательство ИжГТУ, 2004. —
132 с.
[19] Полищук Д. Ф. Методы творчества в математике интеграционной ме-
ханики. М. – Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 184 с.
[20] Полищук Д. Ф.Интеграционная механика. Комплексная методика ре-
шения взаимосвязанных нелинейных задач. — М. - Ижевск: Институт
компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 116 с.
[21] Полищук Д. Ф., Полищук А. Д. Интеграционная механика. Физико–
математический полигон для численных методов решения взаимосвязанных нелинейных задач. — Москва — Ижевск: Институт компьютерных исследований; НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»,
2005. — 86 с.
D. F. Polishchuk, E. G. Krylov
INTEGREATIONAL MECHANICS.
ECTURES AND EXERSCISES
L
Авторская редакция
Дизайнер М. В. Ботя
Технический редактор А. В, Широбоков
Подписано в печать 20.02.2019. Формат 60 × 841/16.
Печать офсетная. Усл.печ. л. 8,60. Уч. изд. л. 8,34.
Гарнитура Таймс. Бумага офсетная №1. Заказ №106.
Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика»
http://rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел./факс: (+73412) 500–295
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]