Методические указания по теме «Векторная алгебра»-1

10

12. Даны векторы

p(0;1; 2),

q(1; 2; 3),

r(−1;1; − 2), c(0; 4; 3). Найдите

числа x,y,z, если c = xp + yq + zr .

Ответ. x = y =z =1.

13. Выразите вектор c через векторы a и b , если:

а) a(4; − 2), b(3; 5), c(1; − 7);

(− 3; 0), c(19;8);

б) a(5; 4), b

− 3).

в) a(− 6; 2), b(4; 7), c(9;

3a

Ответ. а) c

= a

− b

, б) c

= 2a

− 3b

, в) c = −

.

2

1

; −

4

5

−

3

2

б) P

;

, Q

; 0;

.

2

3

6

5

3

11

4

1

Ответ. а) PQ(− 3; 5; − 3), б) PQ

−

;

; −

.

10

3

6

5

Ответ. Q 0;

.

2

18. Определите,

при

каком значении λ векторы c = a + λb и d

коллинеарны, если:

(−1; 3);

а) a(2; 3), b(3; 5); d

− 5);

б) a(1; 0), b(2; 2)

; d

(3;

Ответ. а) λ = −

9

, б) λ = −

5

, в) λ = −3.

14

16

19. Проверьте, векторы

a и b коллинеарны или нет, если:

3 1

; −

3

2 1

; −

1

а) a

;

, b

;

;

7

2

4

7

3

2

−

3

4

9

;−

9

; −

б) a

;6;

, b

1 .

2

3

8

2

3

4

Ответ. а) да, a =

b , б) да, a

= −

b .

2

3

(1;Y; − 3 )

20. При

каких

значениях

X и Y векторы a(X ;− 2; 5 )и b

Ответ.

11

;

10

;

18

.

7

7 7

25. Векторы

a = −2i

+ 3 j

+ αk и

b

= βi

− 6 j

+ 2k коллинеарны. Найдите

27. Докажите, что векторы a , b

и c

= a

+ λb компланарны.

28. Даны векторы a(5; 2 )

(7;− 3 ). Найдите вектор c , если ac = 38 и

и b

= 30 .

bc

(a

а) ab ; б) (2a

− 3b)(a + 2b); в)

− b)2

; г)

2a − b

.

Ответ. а) 22; б) -200; в) 41; г)

105 .

30. Дан вектор a(− 6; 8 ). Найдите координаты единичного вектора

а) сонаправленного вектору a ;

б) противоположно направленного вектору a .

Ответ. а) e

−

3

;

4

; б) e

3

;−

4

.

5

5

5

5

31. Даны векторы a(3; −1; 0)

(2;1;

−1)

и c = a

, b

+ 2b . Найдите скалярное

произведение векторов b и c .

Ответ. b

c =17.

32. Найдите угол между векторами a и b , если

c

= a

− 2b ,

a(5; − 2; 3) и

(2; − 3;1).

b

Ответ. π .

2

33. Найдите

косинус угла

между

векторами

и

b

c , если c

= a

− b ,

(2;1; 3).

a(3; −1; 4) и b

Ответ.

3

.

84

34. Даны векторы a(3; 2; −1) и b(2; 4;1). Найдите косинус угла между

векторами a + b и

a − b .

Ответ. −

7

.

3

61

a(3; − 2; α)

(β; 4; 2)

35. Векторы

и

b

–

коллинеарные.

Найдите

произведение α и β .

Ответ. α ·β =3.

a(6; α; − 2)

(3; 2; β)

36. Векторы

и

b

–

коллинеарные.

Найдите

коллинеарен вектору a(6; 8; − 7,5),

= 50. Вектор

46. Вектор b

b

b

47. На векторах

a

и b построен параллелограмм. Угол между векторами

a и b равен 300, скалярное произведение векторов a и b

равно 3 . Определите

48. На векторах a и b построен треугольник. Угол между векторами a и

b равен 600, скалярное произведение векторов a

и b равно 2. Найдите площадь

треугольника.

Ответ. 2

3.

49. На векторах a и b построен треугольник. Угол между векторами a и

b равен 300, скалярное произведение векторов a

и b равно 3. Найдите площадь

треугольника.

Ответ.

3

.

2

50. ABCD – параллелограмм, AB = 2i +

j ,

AC = i

− 2 j . Найдите угол

1

; ±

1

1

Ответ. a

;

.

3

3

3

Ответ. γ = 4 .

54. Даны векторы a

= αi

+ βj

+ 2k , b = i − j

+ k

и c

= i

+ 2 j

. Векторы a

и b перпендикулярны. Скалярное произведение a и c равно 4. Найдите α и β .

Ответ. α = 0, β = 2.

c

a(2; 3; −1)

− 2; 3).

55. Вектор

перпендикулярен

векторам

и b(1;

Скалярное произведение c и

(− 6). Найдите координаты

d

= 2i −

j

+ k

равно

вектора c .

Ответ. с(− 3; 3; 3 ).

56. Вектор

c

перпендикулярен векторам a = 2 j

− k и

b

= −i + 2 j

− 3k .

c , если

c

=

c и

Найдите координаты вектора

7 , и угол между вектором

ортом j – тупой.

4

; −

1

; −

2

Ответ. c

.

3

3

3

58. ABCD

–

прямоугольник,

A(1; −1;1), B(1; 3;1),

C(4; 3;1),

D(1; −1;1).Найдите длины его диагоналей и координаты точки их пересечения.

Ответ. AC = 5, O

5

;1;1 .

2

59. ABCD

–

параллелограмм,

A(4; 4; − 4),

B(1;1; − 3),

C(− 2; 0; 5),

D(−1; 3; 4). Найдите угол между его диагоналями.

Ответ. arccos

63

.

6441

60. ABCD

–

параллелограмм,

A(2;1; 3),

B(5; 2; −1),

C(− 3; 3; − 3).

61. ABC

– треугольник,

A(3; − 2;1), B(3;1; 5),

C(4; 0; 3).

Вычислите

длины медиан AA1 и BB1, величины углов треугольника.

Ответ.

AA =

31

, BB =

53

, arccos

14

, arccos

11

, π − arccos

5

.

1

2

1

2

15

5

6

3

6

62. ABC

–

правильный

треугольник, A(1; 3), B(3;1). Вычислите

координаты вершины C треугольника.

Ответ. C(2 +

; 2 +

) или C(2 −

; 2 −

).

3

3

3

3

1+ 7

3

1+

3

1− 7

3

1−

3

Ответ.

A

;

,C

;

или C(− 3; 2), D(−1; −1).

2

2

2

2

66.

ABC

–

треугольник, A(−1; − 2; 4),

B(− 4; − 2;0),

C(3; − 2;1).

Вычислите длины сторон треугольника и величину его углов.

Ответ. AB = 5, BC = 5

2

, AC = 5, A = 900 , B = C = 450 .

67.

Точки

A(3; − 2;1),

B(3; 0; 2) и C(1; 2; 5) – координаты вершин

треугольника ABC. Найдите угол между медианой BD и основанием AC

треугольника.

Ответ. π .

4

68.

ABCD

–

параллелограмм, у которого

AB(− 3; 4;1),

BD(− 2; 4;1),