Образец выполнения контрольной работы

“ Функции нескольких переменных ”

1) Найти ифункции.

Решение Считаем переменную “y” постоянной величиной.

Считаем переменную “х” постоянной величиной.

Ответ:

2) Показать, что при.

Решение. Сначала найдем первые частные производные

Теперь находим смешанные вторые частные производные и сравниваем их.

Видим, что смешанные производные равны, что и требовалось доказать.

3) Вычислить приближенно с помощью дифференциала .

Решение. Введем функцию двух переменных . Так как 2,01=2+0,01,. Аналогично, т. к.. Воспользуемся тем, чтопри малыхи.

Так как ,

отсюда следует, что .

Заменим приращение функции ее дифференциалом,

где .

Тогда ,

т. е. в данном случае .

Вычислим . Найдем. Для этого сначала найдем частную производнуюпов произвольной точке.

.

Теперь найдем

;

.

Находим искомое значение корня

.

Если найти на калькуляторе, то получим. Различие только в четвертом знаке после запятой.

Ответ: .

4) Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем сначала стационарные точки, т. е. те точки, в которых частные производные одновременно равны нулю:

Изменим порядок во втором уравнении и приведем систему линейных уравнений к стандартному виду, чтобы ее можно было решить методом Крамера.

.

Нашли одну стационарную точку, в которой , это точка.

Выясним с помощью вторых производных, есть ли в экстремум, и, если есть, какой.

Составляем определитель .

Так как , экстремум существует. Так как, в стационарной точкефункция имеет минимум. Найдем его.

.

Ответ: .

5) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике со сторонами.

Решение. Так как свои наибольшее и наименьшее значения непрерывная функция может иметь или в стационарной точке внутри рассматриваемой области или на границе этой области, задачу будем решать в два действия. Найдем стационарные точки и значения функции в тех из них, которые лежат в рассматриваемой области.

2

В

1

Д

А С

0 1 2 х

М₀

Точка не принадлежит треугольнику(рис. 7), поэтому значение функции в этой точке не вычисляем. Переходим ко второму действию. Треугольникограничивают три прямые. Будем исследовать функцию на экстремум на каждой из них. Сначала найдем значения функции в вершинах треугольника.

Рисунок 7

Рассмотрим границу :Подставляяв выражение функции, получим

Получили задачу на экстремум для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Находимпри, а это значениене входит в рассматриваемый отрезок. На концах отрезка значения функции уже подсчитаны, этои.

Переходим к границе :. Подставляяв выражение функции, получим.

Снова решаем задачу для функции одной переменной. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Находим при. Эта точка входит в отрезок. Поэтому вычислим значение функции в этой точке.

.

На концах отрезка значения функции подсчитаны заранее, это и.

Рассматриваем третью границу :. Выразими подставим в выражение функции:

.

Ищем наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Находим при, а это значениене входит в. Теперь выбираем из найденных значений функциинаибольшее. Это значение равно 6 в точке. А наименьшее значение принимается в двух точках:и.

Ответ: ,.

6) Найти производную функции в точкев направлении от этой точки к точке.

Решение. Напишем формулу производной функции по направлению вектора .

,

где – орт направления вектора.

Сначала найдем вектор , в направлении которого будем искать производную.. Найдем длину.. Направляющие косинусы векторасовпадают с координатами орта, поэтому.

Теперь найдем частные производные функции .

Все найденные значения подставляем в формулу производной по направлению:

Вывод. Функция убывает по направлению вектора, так как полученная производная меньше нуля.

Ответ: