Указания к выполнению

Задача 1.

По графику функции путем сдвигов и деформаций построить график функции.

Построение заданной функции проводится в несколько этапов, которые мы здесь рассмотрим. Функцию будем называтьосновной.

Построение графика функции .

Предположим, что для некоторых x₁ и x₂ основная и заданная функции имеют равные ординаты, то есть . Но тогда должно бытьи

. В зависимости от знака a возможны два случая.

1. Если a > 0, то точка графика функциисмещена вдоль осиOX на a единиц вправо по сравнению с точкой N(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.1).

2. Если a < 0, то точка смещена вдоль осиOX на единиц влево по сравнению с точкойN(x,y) графика функции f(x) (рис. 3.2). Таким образом получаем

y y

y N(x; y) M(x+a; y) M(x+a; y) y N(x; y)

a

0 x x+a x x+a 0 x x

Рис. 3.1 Рис. 3.2

Правило 1. Если a > 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на “a” единиц вправо.

Если a < 0, то график функции f(x-a) получается из графика основной функции f(x) путем его параллельного переноса вдоль оси OX на единицвлево.

Примеры. Построить графики функций: 1) ; 2).

1. Здесь a = 2 > 0. Строим график функции . Сдвинув его на 2 единицы вправо вдоль осиOX, получим график функции

(рис. 3.3).

2) Здесь a = -3 < 0. Строим график функции . Сдвинув его на 3 единицы влево, получим график функции(рис. 3.4).

Y Y

y=(x+3)² y=x²

-1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 x

Рис. 3.3 Рис. 3.4

Замечание. Построение графика функции можно выполнить иначе: построив график основной функциив системенадо перенести осьна а единиц влево, если , и наединицвправо, если . Тогда в системеполучим график функции. Системаимеет вспомогательное значение, поэтому осьизображается пунктирно или карандашом.

В качестве примера построим еще раз графики функций и(рис. 3.5) и (рис. 3.6)

Y Y₁ Y₁ Y

О₁ О

0 1 2 x -3 -2 -1 0 x

Рис. 3.5 Рис. 3.6

Построение графика функции где

Пусть для некоторых значений иординаты функцийиравны, то есть. Тогдаи. Таким образом, каждой точкеграфика основной функциисоответствует точкаграфика функцииВозможны два случая.

1. Если , то точкалежит вk раз ближе к оси OY, чем точка (рис. 3.7).

2. Если же 0 < k < 1, то точка лежит враз дальше от осиOY по сравнению с точкой (рис. 3.8). Таким образом, происходит сжатие или растяжение графика функции.

Y Y

y y

0 x X 0 x X

Рис. 3.7 Рис. 3.8

Правило 2. Пусть k > 1. Тогда график функции f(kx) получается из графика функции f(x) путем его сжатия вдоль оси OX в k раз (иначе: его сжатием к оси OY в k раз).

Пусть 0 < k < 1. Тогда график f(kx) получается из графика f(x) путем его растяжения вдоль оси OX в раз.

Примеры. Построить графики функций: 1) и;

2) и.

Y Y

^{(3) (1) (2)} p

p/2 _{(2) (1) (3)}

¹

-2 -1 0 ½ 1 2 x 0 p/2 p 2p x

Рис. 3.9 Рис. 3.10

1. Строим график функции - кривая (1) на рис. 3.9. Сжав его в два раза к осиOY, получим график функции - кривая (2) на рис. 3.9. При этом, например, точка (1; 0) переходит в точку, точкапереходит в точку.

Замечание. Обратите внимание: точка , лежащая на осиOY, остается на месте. Действительно, всякой точке N(0, y) графика f(x) соответствует точка графикаf(kx).

График функции получается растяжением графика функцииот осиOY в 2 раза. При этом снова точка остается без изменения (кривая (3) на рис. 3.9).

2. По графику функции , построенному в промежутке, строим графики функций- кривые (1), (2), (3) на рис. 3.10. Обратите внимание, что точка (0; 0) остается неподвижной.

Построение графика функции y=f(-x).

Функции f(x) и f(-x) принимают равные значения для противоположных значений аргумента x. Следовательно, точки N(x;y) и M(-x;y) их графиков будут симметричны относительно оси OY.

Правило 3. Чтобы построить график f(-x), надо график функции f(x) зеркально отразить относительно оси OY.

Примеры. Построить графики функций и.

Решения показаны на рис. 3.11 и 3.12.

Y Y

1

1 -1 1 х

0 x

Рис. 3.11 Рис. 3.12

Построение графика функции y=f(-kx), где k > 0.

Правило 4. Строим график функции y=f(kx) в соответствии с правилом 2. График функции f(kx) зеркально отражаем от оси OY в соответствии с прави-

лом 3. В результате получим график функции f(-kx).

Примеры. Построить графики функций

.

Решения показаны на рис. 3.13 и 3.14.

Y Y

p

p/2

1

-1/2 0 1/2 x -p/2 0 p/2 x

Рис. 3.13 Рис. 3.14

Построение графика функции , гдеA > 0. Если A > 1, то для каждого значения ордината заданной функции в А раз больше, чем ордината основной функцииf(x). В этом случае происходит растяжение графика f(x) в А раз вдоль оси OY (иначе: от оси OX).

Если же 0 < A < 1, то происходит сжатие графика f(x) в раз вдоль осиOY (или от оси OX).

Правило 5. Пусть A > 1. Тогда график функции получается из графикаf(x) путем его растяжения в А раз вдоль оси OY (или от оси OX).

Пусть 0 < A < 1. Тогда график функции получается из графикаf(x) путем его сжатия в раз вдоль осиOY (или к оси OX).

Примеры. Построить графики функций 1) ,и 2),

.

Y Y

2

1

1 0p/2 p p/3 p x

-1

1 х -2

Рис. 3.15 Рис. 3.16

Построение графика функции.

Для каждого точкиN(x,y) функцииf(x) иM(x, -y) функции -f(x) симметричны относительно осиOX, поэтому получаем правило.

Правило 6.Для построения графика функциинадо графикзеркально отразить относительно осиOX.

Примеры.Построить графики функцийи(рис. 3.17 и 3.18).

Y Y

1

1

0 1 x 0 π /2 π 3π/2 2π x

-1 -1

Рис. 3.17 Рис. 3.18

Построение графика функции , где A>0.

Правило 7. Строим график функции , гдеA>0, в соответствии с правилом 5. Полученный график отражаем зеркально от оси OX в соответствии с правилом 6.

Построение графика функции .

Если B>0, то для каждого ордината заданной функции наB единиц больше, чем ордината f(x). Если же B<0, то для каждого ордината первой функции уменьшается наединиц по сравнению с ординатойf(x). Таким образом, получаем правило.

Правило 8. Чтобы построить график функции по графикуy=f(x), надо этот график перенести вдоль оси OY на В единиц вверх, если B>0, или на единиц вниз, еслиB<0.

Примеры. Построить графики функций: 1) и

2) (рис. 3.19 и 3.20).

Y

Y

2

2

1 1

0 x 0 π/2 π 3π/2 2π x

1/2

-1

Рис. 3.19 Рис. 3.20

Схема построения графика функции .

Прежде всего запишем уравнение функции в виде и обозначим. Тогда график функциистроим по следующей схеме.

1. Строим график основной функции f(x).

2. В соответствии с правилом 1 строим график f(x-a).

3. Путем сжатия или растяжения графика f(x-a) с учетом знака k по правилам 2-4 строим график функции f [k(x-a)].

Обратите внимание: сжатие или растяжение графика f(x-a) происходит относительно прямой x=a (почему?)

4. По графику в соответствии с правилами 5-7 строим график функции.

5. Полученный график сдвигаем вдоль оси OY в соответствии с правилом 8.

Обратите внимание: на каждом шаге построения в качестве графика основной функции выступает предыдущий график.

Пример. Построить график функции . Здесьk=-2, поэтому . Учитывая нечетность, имеем.

1. Строим график основной функции .

2. Сместив его вдоль оси OX на единицы вправо, получим график функции

(рис. 3.21).

3. Полученный график сжимаем в 2 раза к прямой и таким образом получаем график функции(рис. 3.22).

4. Сжав к оси OX последний график в 2 раза и зеркально отразив его от оси OX, получим график функции (рис. 3.22 и 3.23).

5. Наконец, смещением на вверх по осиOY получаем график искомой функции (рис. 3.23).

YY

π/2 π/2

π/4

-1 0 1/2 3/2 x 0 1 3/2 2 x

-π/4

-π/2 -π/2

Рис. 3.21 Рис. 3.22

Y Y

π/2

π/4

0 1 3/2 2 x -π/2 0 π/2 x

-π/4

Рис. 3.23 Рис. 3.24

Задача 2.

Построение графиков функций, содержащих знак модуля.

Решение этой задачи также состоит из нескольких этапов. При этом необходимо помнить определение модуля:

Построение графика функции .

Для тех значений , для которых, будет. Поэтому здесь графики функцийиf(x) совпадают. Для тех же , для которыхf(x)<0, будет . Но график -f(x) получается из графика f(x) зеркальным отражением от оси OX. Получаем правило построения графика функции .

Правило 9. Строим график функции y=f(x). После этого ту часть графика f(x), где , оставляем без изменения, а ту его часть, гдеf(x)<0, зеркально отражаем от оси OX.

Замечание. Обратите внимание, что график всегда лежит выше осиOX или касается ее.

Примеры. Построить графики функций

(рис. 3.24, 3.25, 3.26).

Y Y

2

0 2 x 0 x

-2

Рис. 3.25 Рис. 3.26

Построение графика функции .

Так как , то, то есть задана четная функция, график которой симметричен относительно осиOY.

Правило 10. Строим график функции y=f(x) при . Отражаем построенный график от осиOY. Тогда совокупность двух полученных кривых даст график функции .

Примеры. Построить графики функций

(рис.3.27, 3.28, 3.29)

Y Y Y

-π/2 0 π/2 x -2 0 2 x -1 1 x

Рис. 3.27 Рис. 3.28 Рис. 3.29

Построение графика функции .

Строим график функции по правилу 10.

Строим график функции по правилу 9.

Примеры. Построить графики функций и.

1. Строим график функции (рис. 3.28)

Отрицательную часть графика отражаем от оси OX. График изображен на рис. 3.30.

Y Y

2

-2 0 2 x -1 0 1 x

-2

Рис. 3.30 Рис. 3.31

2. Строим график функции (рис. 3.29).

Отражаем отрицательную часть графика от оси OX. График изображен на рис. 3.31.

При построении графика функции, содержащей знаки модуля, весьма существенно знать промежутки знакопостоянства функции. Поэтому решение каждой задачи необходимо начинать с определения этих промежутков.

Пример. Построить график функции .

Область определения . Выраженияx+1 и x-1 изменяют свои знаки в точках x=-1 и x=1. Поэтому область определения разобьем на четыре промежутка:

.

-1 0 1 x

Учитывая знаки x+1 иx-1, имеем

;

;

;

.

Таким образом, функцию можно записать без знаков модуля следующим образом:

Функциям соответствуют гиперболы, а функцииy=2 – прямая линия. Дальнейшее построение можно провести по точкам (рис. 3.32).

x	-4	-2	-1	-		1	2	4
y		1	2	2	2	2	1

Y

2

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Рис. 3.32

Замечание. Обратите внимание, что при x=0 функция не определена. Говорят, что функция в этой точке терпит разрыв. На рис. 3.32 это отмечено стрелками.

Задача 3. Построение графика функции, заданной несколькими аналитическими выражениями.

В предыдущем примере функцию мы представили несколькими аналитическими выражениями. Так, в промежуткеона изменяется по закону гиперболы; в промежутке, кромеx=0, это линейная функция; в промежутке снова имеем гиперболу. Подобные функции часто будут встречаться в последующем. Рассмотрим простой пример.

Путь поезда от станции А до станции B состоит из трех участков. На первом участке он набирает скорость, то есть в промежутке его скорость, где. На втором участке он движется с постоянной скоростью, то естьv=c, если . Наконец, при торможении его скорость будет. Таким образом, в промежуткескорость движения изменяется по закону

Построим график этой функции, полагая a₁=2, c=2, b=6, a₂=1 (рис. 3.33).

V₂ Y

2

1 1

0 1 2 3 4 5 6 x 0 π/2 π x

Рис. 3.33 Рис. 3.34

В этом примере скорость v изменяется непрерывно. Однако в общем случае процесс может протекать более сложно. Так, функция

имеет более сложный график (рис. 3.34), который в точке терпит разрыв.

Таким образом, если задана функция

то надо построить график функции y=f(x) в промежутке и график функциив промежутке. Совокупность двух таких линий даст график заданной функции.

Задача 4. Построение кривых, заданных параметрически.

Задание кривой L параметрически характеризуется тем, что координаты x,y каждой точки задаются как функции некоторого параметраt :

(1)

При этом в качестве параметра t может выступать время, угол поворота и т.д.

К параметрическому заданию кривой L прибегают в тех случаях, когда трудно или вообще невозможно выразить явным образом y как функцию аргумента x , то есть y=f(x). Приведем некоторые примеры.

Пример 1. Декартовым листом называется кривая L , уравнение которой имеет вид .

Положим здесь , тогдаили, то есть,. Итак, параметрические уравнения декартова листа имеют вид:,, где.

Кривая изображена на рис. 3.35. Она имеет асимптоту y=-a-x.

Y Y

-a 0 x 02a x

-a

Рис. 3.35 Рис. 3.36

Пример 2. Циссоидой называется кривая L, заданная уравнением . Полагая здесьx=ty, получим ее параметрические уравнения:

.

Циссоида изображена на рис. 3.36. Она имеет асимптоту x=2a.

Построение кривой L, заданной параметрически, выполняется по точкам. При этом рекомендуется следующий план действий.

1. Из уравнений (1) определить промежуток изменения параметра t, а также переменных x и y.

2. Учесть особенности уравнений (1). В частности, если

а) функция нечетная, а- четная, то есть, еслии, то график функции (1) симметричен относительно осиOY.

б) функция - четная,- нечетная, то есть, еслии, то график функции (1) симметричен относительно осиOX.

3. Найти точки пересечения кривой с осями координат.

4. Исследовать поведение x и y при , а также при, если.

5. Составить таблицу значений для параметра t, переменных x и y.

6. По координатам (x, y) полученных точек построить кривую.

Пример 3. Построить кривую, заданную уравнениями:

1. Так как , тои. Тогда из первого уравнения следует, что; а из второго. Итак,,,.

2. Так как и, то кривая симметрична относительно осиOY. Следовательно, достаточно построить кривую при .

3. Если x=0, то , то естьt=0. Тогда y=0. Таким образом, кривая проходит через начало координат.

4. Если , тои. Следовательно, прямаяесть асимптота кривой.

5. Составляем таблицу значений

t	0
x	0
y	0

Кривая изображена на рис. 3.37.

Y Y

-π/2 0 π/2 x

1. x

Рис. 3.37 Рис. 3.38

Замечание. Уравнение кривой можно записать в явном виде, если исключить параметр t из обоих уравнений. Так как , то. Подставив это значениеt во второе уравнение, получим . Таким образом,.

Пример 4. Построить кривую, заданную уравнениями

1. Здесь .

2. Так как и, то кривая симметрична относительно осиOY. Следовательно, график ее строим для .

3. Если x=0, то t=0 и y=0. Кривая проходит через точку O(0;0).

4. Если , то.

5. Составляем таблицу значений

t	0		1		2
x	0		1		8
y	0		1		4

Кривая изображена на рис. 3.38. Она называется полукубической параболой. Запишем уравнение этой параболы в явном виде. Так как , то.

Задача 5. Построение кривых в полярной системе координат.

Помимо декартовой прямоугольной системы XOY на плоскости можно определить так называемую полярную систему координат. Ее образует луч , на котором указано начало отсчета О и единица масштаба (рис. 3.39).

M(ρ,φ) Y M

ρ ρ

y

0 φ ρ 0 φ x

1 x

Рис. 3.39 Рис. 3.40

При этом луч называетсяполярной осью, а точка О – полюсом. Положение точки M плоскости можно определить парой чисел и, где- длина радиуса-вектора точки М, то есть, а- угол между осьюи радиусом-вектором точки М. Таким образом,. Числаr, j называются полярными координатами точки М.

Если декартову систему XOY совместить с полярной так, как на рис. 3.40, то нетрудно видеть, что .

Итак, связь между декартовыми координатами x, y точки М и ее полярными координатами r, j выражается формулами

(1), где или

Решив уравнение (1) относительно r и j, получим формулы перехода от декартовых координат x, y к полярным координатам r, j

(2)

Из последних формул видно, что при переходе от декартовых координат к полярным выражение заменяется значительно более простым:. Этим обстоятельством объясняется преимущество полярной системы координат перед декартовой во многих случаях: уравнение кривой в полярной системе зачастую принимает более простой вид. Приведем примеры.

Пример. Записать уравнение следующих кривых в полярных координатах и построить эти кривые:

, ,,.

Уравнению соответствует окружность (рис. 3.41).

Y

-R 0 R x(ρ) 0 1 4 ρ

Рис. 3.41 Рис. 3.42

Так как , тоили- уравнение этой окружности в полярных координатах.

Полагая и, запишем уравнение окружностив видеили. Окружностьстроим по точкам (рис.3.42), полагая, что. Для этого составим таблицу значений.

	0
	4			2	0

Полагая ,, из уравненияполучаем,,,.

Таким образом, полярное уравнение равнобочной гиперболы имеет вид

. Область определения этой функции найдем из условия , то естьили.

Составим таблицу значений

	0
	1	1,1	1,25	1,4

Кривая изображена на рис. 3.43.

0 1 ρ 0 a ρ

Рис. 3.43 Рис. 3.44

Так как и, то из уравненияимеемили.

Таким образом, ,a > 0. Эта кривая называется лемнискатой Бернулли. Здесь . Составим таблицу значений и построим кривую

(рис. 3.44).

	0
	а				0

Обобщенная полярная система координат.

В полярной системе координат кривая L задается уравнением r=f(j), где r принимает неотрицательные значения, то есть . Это ограничение не позволяет построить кривуюL полностью. Причина здесь в следующем.

В декартовой системе координат XOY кривая L задается уравнением F(x,y)=0 с двумя переменными. Это уравнение может порождать две функции и

.

Примеры. Уравнению соответствует окружность с центром в точке

О(0,0) и радиусом R=1. Решив его относительно Y, получим и. Графиком первой функции является верхняя, а второй функции – нижняя полуокружности.

Аналогично, уравнение равнобочной гиперболы порождает пару функцийи, графиками которых являются соответственно верхние и нижние полуветви гиперболы.

Подобная ситуация возможна и в тех случаях, когда кривая L задана уравнением r=f(j) в полярной системе координат. Чтобы построить кривую L полностью, необходимо допустить, чтобы r принимало отрицательные значения. Таким образом мы приходим к обобщенной полярной системе координат, в которой и.

Примеры. Ранее мы получили для равнобочной гиперболы ее уравнение в полярной системе. Отсюда следует, чтои

. Графиком второй функции будет левая ветвь гиперболы.

Для лемнискаты Бернулли имееми

(здесь a > 0). Графиком второй функции будет левая часть “восьмерки” (рис. 3.45).

B₂

A₁

M₁

-a 0 a ρ 0 ρ

M₂

A₂

B₁

Рис. 3.45 Рис. 3.46

Замечание. В обобщенной полярной системе точки исимметричны относительно полюса О (рис. 3.46).

Пример. Построить точки и;и(рис. 3.46).

Схема построения кривых в обобщенной полярной системе координат.

1. Уравнение кривой F(x,y)=0 записать в полярных координатах, полагая ,,.

2. Получив уравнение , надо найти область изменения аргументаj и функции r.

3. Составить таблицу значений r и j. При этом рекомендуется изменение аргумента j проводить с постоянным шагом h, например илии т.д.

3. Построить полученные точки и соединить их плавной кривой.

Пример. Построить кривую, заданную уравнением:

, a > 0.

Из формул перехода ,следует, чтои. Подставив эти значения в уравнение кривой, получимили,.

Таким образом, уравнение кривой в полярной системе координат имеет вид , гдеa > 0. Эта кривая называется гиперболической спиралью. Здесь и.

Составим таблицу значений, полагая здесь a = 2, .

	0
	1

Так как и, то получим новую таблицу

	0
	1

Для построения кривой делим плоскость на секторы с углами и на полученных лучах откладываем последовательно значенияr. Кривая изображена на рис. 3.47.

0 a ρ

0 1 ρ

Рис. 3.47 Рис. 3.48

Из уравнения видно, что если, то, то есть спираль развертывается против часовой стрелки. Если же, то, то есть спираль закручивается по часовой стрелке, делая около полюса О бесконечное число оборотов и не достигая его. Эта часть кривой изображена пунктирно.

Пример. Семейство кривых, описываемых в полярных координатах уравнением , гдеa и k – константы, называется розами.

Так как , то из уравнения розы следует, что вся кривая умещается внутри круга радиуса а. Количество лепестков розы зависит отk : при k – четном роза содержит 2k лепестков, при k – нечетном их будет ровно k.

Построим розу, заданную уравнением с шагом. Здесьk=2, следовательно, роза содержит четыре лепестка. Составим таблицу значений, полагая, что .

	0
	0
	a		0		-a		0		a

Кривая изображена на рис. 3.48. Часть кривой, соответствующая , изображена пунктирно.

“ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ”

ЗАДАНИЕ 29а. Найти ифункции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

ЗАДАНИЕ № 29 б. Найти ифункции:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

ЗАДАНИЕ 30. Показать, что

1.	для функции .
2.	для функции
3.	для функции .
4.	для функции .
5.	для функции .
6.	для функции
7.	для функции .
8.	для функции .
9.	для функции .
10.	для функции .
11.	для функции .
12.	для функции .
13.	для функции .
14.	для функции .
15.	для функции .
16.	для функции .
17.	для функции .
18.	для функции
19.	для функции .
20.	для функции .
21.	для функции .
22.	для функции
23.	для функции .
24.	для функции .
25.	для функции .
26.	для функции .
27.	для функции .
28.	для функции .
29.	для функции .
30.	для функции .

ЗАДАНИЕ 31. Исследовать на экстремум:

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

ЗАДАНИЕ 32.Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1.	в треугольнике со сторонами .
2.	в треугольнике со сторонами .
3.	в замкнутой области, ограниченной и осью.
4.	в треугольнике со сторонами .
5.	в треугольнике со сторонами
6.	в замкнутой области, ограниченной и осью.
7.	в квадрате
8.	в квадрате
9.	в замкнутой области, ограниченной линиями и
10.	в области, ограниченной прямыми
11.	в области, ограниченной прямыми
12.	в прямоугольнике, ограниченном прямыми
13.	в треугольнике со сторонами
14.	в треугольнике со сторонами
15.	в треугольнике со сторонами
16.	в квадрате, ограниченном прямыми
17.	в треугольнике со сторонами .
18.	в треугольнике со сторонами .
19.	в замкнутой области, ограниченной и осью.
20.	в треугольнике со сторонами .
21.	в треугольнике со сторонами
22.	в замкнутой области, ограниченной и осью.
23.	в квадрате
24.	в квадрате
25.	в замкнутой области, ограниченной линиями и
26.	в области, ограниченной прямыми
27.	в области, ограниченной прямыми
28.	в прямоугольнике, ограниченном прямыми
29.	в треугольнике со сторонами
30.	в треугольнике со сторонами

ЗАДАНИЕ 33.Найти производную функции:

1.	в точке (3; 1) в направлении от этой точки к точке (6; 5).
2.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
3.	в точке (2; 1) в направлении от этой точки к началу координат.
4.	в точке (1; 1) в направлении луча, образующего угол в 60ос осью ОХ.
5.	в начале координат в направлении луча, образующего угол в 30ос осьюOX.
6.	в точке (1; 3) по направлению вектора .
7.	в точке (1; 2) в направлении, составляющем с осью OXугол в 60о.
8.	в точке (1; 2) в направлении вектора, образующего с осью OXугол в 45о.
9.	в точке (3; 1) по направлению вектора .
10.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
11.	в точке (1; 2) в направлении от этой точки к точке (1; 1).
12.	в точке (1; 1) в направлении, образующем углы α = 30о, β = 60о.
13.	в точке (4; 1) в направлении от этой точки к точке (5; 1).
14.	в точке (5; 1) в направлении от этой точки к точке (9; 4).
15.	в точке (1; 1) по направлению вектора .
16.	в точке (1; 1) в направлении от этой точки к точке (2; 2).
17.	в точке (3; 1) в направлении от этой точки к точке (6; 5).
18.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
19.	в точке (2; 1) в направлении от этой точки к началу координат.
20.	в точке (1; 1) в направлении луча, образующего угол в 60ос осью ОХ.
21.	в начале координат в направлении луча, образующего угол в 30ос осьюOX.
22.	в точке (1; 3) по направлению вектора .
23.	в точке (1; 2) в направлении, составляющем с осью OXугол в 60о.
24.	в точке (1; 2) в направлении вектора, образующего с осью OXугол в 45о.
25.	в точке (3; 1) по направлению вектора .
26.	в точке (1; 1) в направлении биссектрисы 1-го координатного угла.
27.	в точке (1; 2) в направлении от этой точки к точке (1; 1).
28.	в точке (1; 1) в направлении, образующем углы α = 30о, β = 60о.
29.	в точке (4; 1) в направлении от этой точки к точке (5; 1).
30.	в точке (5; 1) в направлении от этой точки к точке (9; 4).