Ргр «Математический анализ» з а д а ч а 1

Правило 1. Чтобы вычислить , нужно вместо переменной х поставить её предельное значение.

Если то

Если то.

Если то- неопределенность.

Правило 2. Чтобы раскрыть неопределенность в алгебраическом выражении, надо в числителе и знаменателе выделить множитель, который стремится к нулю, и на него под знаком предела сократить.

Правило 3. Если в числителе и знаменателе стоят многочлены, то чтобы получить множитель , нужно многочлены разложить на множители.

Пример 1

Вычислить предел .

.

Найдем корни многочленов

.

Контрольные варианты к задаче 1

Вычислить пределы функции:

.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.
.	.	.

З а д а ч а 2

Пример 2

Вычислить предел .

В числителе и знаменателе получаются нули за счет сомножителя , который стремится к нулю при. Разложим многочлены на множители, разделив их на

.

-

-

.

-

-

-

-

.

Замечание. При разложении многочлена в числителе можно было применить способ группировки и вынесения общего множителя, а в знаменателе найти корни, решив биквадратное уравнение.

Контрольные варианты к задаче 2

Вычислить пределы функций:

.	.
.	.
.	.
.	.
. .	.
	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	28. .
.	.

З а д а ч а 3

Если в числителе или знаменателе стоят иррациональные выражения, то для получения сомножителя умножим числитель и знаменатель на сопряженные им выражения.

Пример 3

Вычислить .

Контрольные варианты к задаче 3

Вычислить пределы функций:

1.	.	2.	.	3.	.
4.	.	5.	.	6.	.
7.	.	8.	.	9.	.
10.	.	11.	.	12.	.
13.	.	14.	.	15.	.
16.	.	17.	.	18.	.
19.	.	20.	.	21.	.
22.	.	23.	.	24.	.
25.	.	26.	.	27.	.
28.	.	29.	.	30.	.

З а д а ч а 4

Пример 4

Вычислить

Контрольные варианты к задаче 4

Вычислить пределы функций:

.	.
.	.
.	.
.	8.
.
.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.

З а д а ч а 5

Если при и, то отношениепредставляет собой неопределенность. В этом случае рекомендуется числитель и знаменатель разделить почленно на старшую степень переменной х.

Пример 5

Вычислить предел .

.

Контрольные варианты к задаче 5

Вычислить пределы функций:

.	.
.	.
.	.
.	.
.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
	.

З а д а ч а 6

Пример 6

Вычислить предел .

Здесь старшая степень при n – вторая и - степень, поэтому

Контрольные варианты к задаче 6

Вычислить пределы числовых последовательностей:

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.	.

З а д а ч а 7

Если при и, то разностьпредставляет собой неопределенность. Чтобы раскрыть такую неопределенность, надо привести её к видуили.

Пример 7

Вычислить предел .

Умножим и разделим на сопряженное выражение , тогда

Здесь старшая степень - первая, поэтому

Контрольные варианты к задаче 7

Вычислить пределы функции:

.	.
.	.
.	.
.	.
.	.
.
.	.
.	.
.	.
.	.
	.
	.
.	.
.	.
.	.

З а д а ч а 8

Две бесконечно малые функции приилиназываются эквивалентными, если предел их отношения равен единице. Эквивалентность бесконечно малых функций записывается в виде~.

Таким образом, если , то~.

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций

~ .

~ .

~

~ .

~ .

~ .

~ .

Теорема. Предел отношения двух бесконечно малых не изменится, если одну или обе бесконечно малые заменить им эквивалентными, т. е. если ~и~, то

Заметим, что с помощью эквивалентных бесконечно малых раскрывают неопределенность

Пример 8

Вычислить предел

Пример 9

Вычислить предел

Пример 10

Вычислить предел