3. Рассчет доверительных границ для коэффициента корреляции

Вероятность события γ рассчитывается по формуле:

γ=1-α

Следовательно, γ=0,98 (98%)

Тогда, t_γ=2,33 (по таблице нормального закона распределения)

Для значения r=0,96 найдем Z’ (по таблице Z-преобразований Фишера)

Z’=1,9459

По формуле

найдем интервал для Z’.

1,9459 – 2,33≤Z ≤ 1,9459 + 2,33

0,7809 ≤ Z ≤ 3,1109

По таблице Z-преобразований Фишера найдем границы для r

0,65 ≤ r ≤ 0,996

Вывод: с вероятностью γ=98% можно утверждать, что значение линейного коэффициента корреляции лежит в пределах от 0,65 до 0,996.

2. Определение параметров уравнения линейной регрессии.

1. Определение параметров

Для нахождения параметров линейной регрессии используем метод наименьших квадратов. Этот метод позволяет получить систему нормальных уравнений для оценки параметров a и b.

Для решения данной системы построим вспомогательную таблицу.

Таблица 2. Расчет сумм для определения параметров a и b линейной регрессии

№
1	69,5	934	4830,25	64913
2	103,1	1078,2	10629,61	111162,42
3	133,4	1137,1	17795,56	151689,14
4	133,5	1260,7	17822,25	168303,45
5	150,9	1425,7	22770,81	215138,13
6	166,1	1548,4	27589,21	257189,24
7	223,4	1711,3	49907,56	382304,42
сумма	979,9	9095,4	151345,25	1350699,8
сред	140	1299,3	25224,21

Решим эту систему при помощи матрицы.

Отсюда, параметры a и b будут равны соответственно:

Решением системы уравнений являются a=534,15 и b=5,47. Следовательно, уравнение линейной регрессии будет иметь следующий вид:

2. Оценка значимости уравнения линейной регрессии

Для осуществления оценки существенности линейной регрессии необходимо определить коэффициент детерминации по формуле:

Для этого заполним вспомогательную таблицу:

Таблица 3. Расчет сумм для определения коэффициента детерминации

N			()2		()2
1	914,315	-385,0279	148246,4508	-365,3429	133475,4033
2	1098,1070	-201,2359	40495,8702	-221,1429	48904,1633
3	1263,848	-35,4949	1259,8849	-162,2429	26322,7447
4	1264,395	-34,9479	1221,3527	-38,6429	1493,2704
5	1359,573	60,2301	3627,6701	126,3571	15966,1276
6	1442,717	143,3741	20556,1448	249,0571	62029,4604
7	1756,148	456,8051	208670,9385	411,9571	169708,6876
сумма			424078,3121		457899,8571
среднее

Вывод: значение коэффициента детерминации В близко к 1, следовательно полученное уравнение линейной регрессии хорошо описывает существующую зависимость данных переменных (инвестиции в основной капитал сельского хозяйства и продукция сельского хозяйства). Изменение валового выпуска продукции сельского хозяйства на 92,6% обусловлено изменениями инвестиций в основной капитал сельского хозяйства, а на 7,4% прочих случайных факторов.

Корреляционное поле и уравнение линейной регрессии представлено в Приложении 1.

2. Определение тренда для факторного признака

   1. Расчет параметров уравнений

Предположим, что уравнением тренда будет являться прямая, квадратичная парабола или показательная функция.

а) расчет параметров уравнения тренда для линейной функции вида

Параметры иопределяются методом наименьших квадратов

Таблица 4. Расчет сумм для определения параметров уравнения

1	69,5	1	69,5
2	103,1	4	206,2
3	133,4	9	400,2
4	133,5	16	534
5	150,9	25	754,5
6	166,1	36	996,6
7	223,4	49	1563,8
сумма 28	979,9	140	4524,8

Решением системы уравнений являются следующие значения и.

Уравнение линейного тренда имеет вид

Рассчитаем показатель рассеивания Q для линейного тренда по формуле:

Заполним вспомогательную таблицу.

Таблица 5. Расчет сумм для определения коэффициента рассеивания Q₁

t		t	t	t)2
1	69,5	75,14	-5,64	31,8096
2	103,1	96,75	6,35	40,3225
3	133,4	118,36	15,04	226,2016
4	133,5	139,97	-6,47	41,8609
5	150,9	161,58	-10,68	114,0624
6	166,1	183,19	-17,09	292,0681
7	223,4	204,80	18,60	345,96
сумма 28				1092,2851

Q₁=1092,29

б) расчет параметров a и b для показательной функции вида по формуле

Для определения параметров a и b заполним таблицу.

Таблица 6. Расчет сумм для определения параметров a и b функции

1	69,5	1	1,842	1,842
2	103,1	4	2,0133	4,0265
3	133,4	9	2,1252	6,3755
4	133,5	16	2,1255	8,5019
5	150,9	25	2,1787	10,8934
6	166,1	36	2,2204	13,3222
7	223,4	49	2,3491	16,4436
сумма 28	979,9	140	14,854	61,4051

;

Решением системы уравнений будут следующие значения и. Уравнение тренда для показательной функции будет иметь следующий вид:

Рассчитаем показатель рассеивания Q₂ для показательной функции.

Таблица 7. Расчет сумм для определения показателя рассеивания Q₂

		t	t	t)2
1	69,5	80,5704	-11,0704	122,5538
2	103,1	95,0731	8,0269	64,4316
3	133,4	112,1862	21,2138	450,0243
4	133,5	132,3797	1,1203	1,2550
5	150,9	156,2081	-5,3081	28,1759
6	166,1	184,3256	-18,2256	332,1709
7	223,4	217,5042	5,8958	34,761
сумма 28	979,9			1033,3724

Q₂=1033,37

в) расчет параметров a, b и c для квадратичной параболы вида по формуле

Заполним таблицу

Таблица 8. Расчет сумм для определения параметров a, b и c функции

1	69,5	1	1	1	69,5	69,5
2	103,1	4	8	16	206,2	412,4
3	133,4	9	27	81	400,2	1200,6
4	133,5	16	64	256	534	2136
5	150,9	25	125	625	754,5	3772,5
6	166,1	36	216	1296	996,6	5979,6
7	223,4	49	343	2401	1563,8	10946,6
сумма 28	979,9	140	784	4676	4524,8	24517,2

Уравнение тренда для квадратичной параболы имеет вид

Вычислим показатель рассеивания Q₃

Таблица 9. Расчет сумм для определения показателя рассеивания Q₃

		t	t	t)2
1	69,5	79,76	-10,26	105,2676
2	103,1	96,77	6,33	40,0689
3	133,4	115,62	17,78	316,1284
4	133,5	136,31	-2,81	7,8961
5	150,9	158,84	-7,94	63,0436
6	166,1	183,21	-17,11	292,7521
7	223,4	209,42	13,98	195,4404
сумма 28	–	–	–	1020,5971

Q₃=1020,6