Методы оптимизации. Учебное пособие-2

В случае двух ступеней наращиваемая площадь f1(2) равна произведению ширины первой ступени на высоту второй, т.е. f1(2) = = 1,5∙3 = 4,5 (на. рис. 13 наращиваемая площадь заштрихована).

Рис. 13

Аналогично, для трех ступеней найдем

f1(3) = 1,5∙3+0,7∙(3+4) = f1(2) + 0,7∙(3+4) = 9,4.

Далее

f1(4) = 9,4+1∙(3+4+1) = 17,4; f1(5) = 17,4+1,2∙(3+4+1+5) = 33; f1(6) = 33+1∙(3+4+1+5+3) = 49.

Очевидно, что f1(7), f1(8), f1(9) рассматривать не нужно, поскольку в новой лестнице должно быть ровно четыре ступеньки, если же мы заменим одной ступенькой более шести старых ступенек, то в новой лестнице ступеней будет меньше четырех.

Обозначим минимальную площадь наращиваемого сечения при замене n первых ступеней старой лестницы k новыми ступеньками fk(n), 1 ≤ k ≤ 4, k ≤ n ≤ k + 5.

Перейдем теперь ко второму шагу – случаю, когда старая лестница заменяется двумя ступенями, и найдем минимальные площади сечения наращиваемой части. Если мы заменяем две ступени, двумя новыми, то и наращивать их не придется, следовательно

f2(2) = 0.

81

Для f2(3) имеем:

f2(3) = min{(f1(1)+0,7∙4), (f1(2)+0)}.

Величины в фигурных скобках соответствуют двум различным вариантам: наращивание второй ступени и наращивание первой ступени. Подставляя найденные ранее значения f1(1) и f1(2), получим

f2(3) = min{(0+0,7∙4), (4,5+0)} = 2,8.

Следовательно, если бы в лестнице было три ступени, а их число нужно было бы сократить до двух, то для экономии материала нужно наращивать первую ступень.

Пусть мы имеем четыре ступени, тогда

f2(4) = min{(f1(1)+0,7∙4+1∙(4+1)), [f1(2)+1∙1], (f1(3)+0)} = = min{(0+7,8), [4,5+1], (9,4+0)} = 5,5.

Далее:

f2(5) = min{(f1(1)+0,7∙4+1(4+1)+1,2∙(4+1+5)), [f1(2)+1∙1+1,2∙(1+5)], (f1(3)+1,2∙5), f1(4)} = min{(19,8), [12,7], (15,4), (17,4)} = 12,7;

f2(6) = min{(0+19,8+1∙(4+1+5+3)), (4,5+8,2+1∙(1+5+3)), (9,4+1,2∙5+8), +[17,4+1∙3],(33+0)} =

= min{(32,8), (21,7), (23,4), [20,4], (33)} = 20,4.

Рассмотрим случай, когда лестница заменяется тремя ступенями. Очевидно,

f3(3) = 0.

Для нахождения f3(4) заметим, что вторая ступень может заканчиваться на второй старой ступени или на третьей старой ступени, следовательно:

f3(4) = min{(f2(2)+1∙1), (f2(3)+0)} = min{([0+1], (2,8+0)} = 1.

Далее:

82

f3(5) = min{(f2(2)+1∙1+1,2∙(1+5)), (f2(3)+1,2∙5), [f2(4)+0]} = = min{(0+1+7,2), (2,8+6), [5,5+0]} = 5,5;

f3(6) = min{(f2(2)+8,2+1∙9), (f2(3)+6+1∙8), [f2(4)+1∙3], (f2(5)+0)} = = min{(0+17,2), (2,8+14), [5,5+3], (12,7+0)} = 8,5;

f3(7) = min{(f2(2)+17,2+0,8∙(1+5+3+4), (f2(3)+1,2∙5+1∙8+0,8∙(5+3+4)), [f2(4)+3+0,8∙(3+4)], (f2(5)+0,8∙4), f2(6)+0} =

= min{(0+27,6), (2,8+23,6), [5,5+8,6], (12,7+3,2), (20,4+0)} = 14,1.

Таким образом, значения fk(n) выражаются через значения fk-1(k – 1), fk-1(k),…, fk-1(n – 1), и величины наращиваемых сечений, определяемых конкретными размерами старой лестницы. Это определяет рекуррентные отношения – уравнение Беллмана. В данной задаче для упрощения вычислений можно заметить, что при нахождении величин в фигурных скобках, минимум которых равен fk(n), можно использовать уже вычисленные для нахождения fk(n-1) величины в фигурных скобках (ниже эти величины взяты в скобки).

f3(8) = min{(f2(2)+17,2+0,8∙(1+5+3+4))+1,2(1+5+3+4+3), (f2(3)+1,2∙5+1∙8+0,8∙(5+3+4))+1,2(5+3+4+3),

(f2(4)+3+0,8∙(3+4))+1,2(3+4+3), (f2(5)+0,8∙4)+1,2(4+3), f2(6)+1,2∙3, f2(7) } = min{(46,8), (44,4), (26,1), (24,3), [24], (26,8)}=24.

Перейдем к случаю четырех ступеней. Последняя ступень новой лестницы должна заканчиваться на девятой ступени старой лестницы, следовательно, необходимо вычислить:

f4(9) = min{(f3(3)+1,2∙5+1∙8+0,8∙12+1,2∙16+1,1∙19), (f3(4)+1∙3+0,8∙7+1,2∙11+1,1∙14), (f3(5)+0,8∙4+1,2∙8+1,1∙11), (f3(6)+1,2∙4+1,1∙7), [f3(7)+1,1∙3], f3(8)}=17,4.

83

Таким образом, на лестницу понадобится 17,4∙100 = 1740 дм3 бетона.

Рис. 14

Определим теперь расположение ступеней. Всюду оптимальные варианты взяты в квадратные скобки. В последний оптимальный вариант вошла f3(7), следовательно, новая третья ступень должна заканчиваться на седьмой старой ступени. В определение f3(7) вошла f2(4), поэтому вторая новая ступень должна заканчиваться на четвертой старой и, аналогично, первая новая ступень должна заканчиваться на второй старой ступени (см. рис. 14).

Уравнение Беллмана в данной задаче имеет вид:

где gm(n) – площадь сечения, которую нужно нарастить, чтобы заменить ступени с (m + 1)-ой по n-ю одной новой ступенькой, k = 2, 3, 4, k ≤ n ≤ k+5.

84

3.4.Контрольные вопросы

1.Какие существуют формулировки задач линейного программирования?

2.Как записывается целевая функция в задачах линейного программирования?

3.Что является допустимым и оптимальным решением в задачах линейного программирования?

4.Какова геометрическая интерпретация симплекс-метода?

5.В чем состоит основная идея симплекс-метода?

6.В чем состоит критерий выбора разрешающей неизвестной при переходе от одного базисного допустимого решения к другому при применении симплекс метода?

7.В чем состоит критерий оптимальности базисного решения при применении симплекс метода?

8.Для чего вводятся искусственные базисные неизвестные?

9.Как формулируются прямая и двойственная задачи линейного программирования?

10.Какова экономическая интерпретация первой теоремы двойственности?

11.В чем состоит принцип оптимальности Беллмана?

85

3.5. Задачи

1. Привести задачу линейного программирования

F(x1, x2) = 2x1 + x2 → max x2 ≥ 2

2x1 + 4x2 ≥ 8

6x1 – 4x2 ≤ –16

–x1 + x2 ≥ 3 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

кканоническому виду.

2.Графическим методом решить задачу линейного программирования

F(x1, x2) = 2x1 + 7x2 → max

2x1 + 3x2 ≤ 19

2x1 + x2 ≤ 13

3x2 ≤ 15

3x1 ≤ 15

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

3. При застройке микрорайона используются дома трех типов. Количество квартир в доме и стоимость одного здания заданы в таблице.

Составить план застройки микрорайона, минимизирующий затраты на строительство, если потребность в однокомнатных, двухкомнатных и трехкомнатных квартирах составляет 500, 700 и 400 квартир, соответственно.

86

4. Однородный груз, находящийся в четырех пунктах отправления A1, A2, A3 и A4 , необходимо переправить в три пункта B1, B2 и B3. Стоимость перевозки единицы груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения, запасы груза в пунктах отправления и потребности в грузе в пунктах назначения заданы в таблице.

затраты будут минимальны.

5. Имеются три специализированные мастерские по ремонту строительно-монтажных механизмов, производственные мощности которых равны 280, 310 и 150 ремонтов в год, соответственно. Стоимость ремонта одного механизма в 1-ой мастерской – 80 у. е., во 2-ой мастерской – 95 у. е. и в 3-ей мастерской - 90 у. е. В четырех филиалах строительной фирмы, обслуживаемых этими мастерскими, потребности в ремонте составляют соответственно 190, 280, 150 и 120 единиц в год. Ниже в таблице приведены затраты на перевозку одного механизма из фирмы в мастерскую и обратно в у. е.

87

Определить план прикрепления филиалов к мастерским, обеспечивающий минимальные суммарные затраты на ремонт с учетом транспортных расходов.

6. Для составления комплектов из листового проката определенной формы вырезают заготовки двух типов: A и B. Каждый комплект содержит: три заготовки типа A и восемь заготовок типа B. Возможные варианты и время на раскрой одного листа проката, а также отходы от раскроя приведены в таблице.

Определить, предназначенный для изготовления 150 комплектов, план раскроя листового проката, при котором отходы будут минимальными.

Определить, предназначенный для изготовления 180 комплектов, план раскроя листового проката, при реализации которого время, затраченное на раскрой, будет минимальным.

7. Является ли задачей квадратичного программирования следующая задача

F(x1, x2 ) 14x12 6x22 2x1x2 16x1 64x2 max,

при ограничениях

5x1 + 7x2 ≤ 30 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

88

3.6.Ответы и указания

1.3.1.Четырехугольник ABCD c вершинами A(0,0), B(0,10),

C(3,4), D(3,0).

1.3.2.Четырехугольник ABCD c вершинами A(0,0), B(0,4),

C(1,5), D(1,0).

1.3.3.Нет.

2.4.1.Куб со стороной 10 см.

2.4.2.272 м3.

2.4.3.–6, 12527 .

2.4.4.2495 руб.

2.4.5.2290.

2.4.6.Гиперболы.

2.4.7.Эллипсоиды.

2.4.8.Градиент – вектор, компоненты которого равны частным производным функции. (1, 0).

2.4.9.x = 2, y = 1.

2.4.10.4.

2.4.11. 5 руб. 2.4.12. 40.

3.5.1.Ввести искусственные переменные x3, x4, x5, x6.

3.5.2.F(2; 5) = 39.

3.5.3.x1 = 4, x2 = 4, x3 = 4.

89

3.5.4. Обозначить план перевозок из пункта Ai в пункт Bj через xij x11 = 25, x22 = 40, x31 = 15, x33 = 15, x42= 20, x43 = 35, остальные равны 0.

3.5.5.Обозначить план прикрепления филиала Ai к j-ой мастерской через xij. x12 = 190, x21 = 280, x33 =150, x42 = 120,

остальные равны 0.

3.5.6.1) x3 = 150, x5 = 55; 2) x2 = 90, x4 = 180.

3.5.7.Да.

Литература

1.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 1, 2. – М.: Интеграл-пресс, 2001.

2.Ильин В.А. Основы математического анализа/ В.А.Ильин, Э.Г.Позняк – М.: Наука, 1971 Ч.1.

3.Ильин В.А. Линейная алгебра/ В.А.Ильин, Э.Г.Позняк - М.:

Наука, 1976.

4.Высшая математика для экономистов/ под ред. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006

5.Макаров В.И. Задания к выполнению домашних работ по теме ”Линейное программирование”. – М.: Изд-во МИСИ, 1988.

6.Алероев Т.С. Избранные разделы математического анализа/ Т.С.Алероев, О.А.Васильева, Н.Г.Голикова, В.Г.Григулецкий, Е.А.Ларионов, Н.И.Сураева, В.М. Фролов.

– М.: МГАКХиС, 2013.

7.Васильева О.А. Программный модуль ECSYS 1. 2. – 2./Труды Х11 межд. конференции. Математика. Компьютер. Образование. – Пущино, 2007.

8.Васильев Ф.П. Линейное программирование/ Ф.П.Васильев, А.Ю.Иваницкий. – М.: Изд-во «Факториал Пресс», 2003.

90