Методы оптимизации. Учебное пособие-2

Затраты каждого вида сырья не должны превышать имеющиеся запасы. Таким образом, мы приходим к следующей задаче линейного программирования: максимизировать величину прибыли предприятия:

c1x1 + c2x2 → max

при следующих ограничениях, записанных в виде неравенств:

a11 x1 + a12x2 ≤ b1 a21 x1 + a22x2 ≤ b2

a31 x1 + a32x2 ≤ b3

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

2. Задача оптимального использования производственных мощностей (производственных ресурсов)

Предприятие выпускает n видов продукции Pj (j = 1, 2,… n), используя m типов оборудования Ei, (i = 1, 2,… m). Известны нормы времени на обработку каждого из n видов продукции Pj на i-ом типе оборудования aij, и общий ресурс времени работы каждого типа оборудования bi. Прибыль предприятия от реализации j-го вида продукции Pj равна cj. Требуется составить план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия будет максимальной.

Обозначим через xj количество единиц продукции Pj, которое предприятие планирует выпустить (j = 1, 2,… n). Тогда производственный план выпуска продукции может быть записан как n-мерный вектор x = (x1, x2, … xn).

На изготовление xj единиц Pj продукции на оборудовании Ei будет затрачено aijxj времени. Время работы оборудования Ei для изготовления всех видов продукции равно

ai1 x1 + ai2x2 + ... + ain xn.

Время работы оборудования Ei не может превышать ресурс времени работы i-го типа оборудования bi.

41

ai1 x1 + ai2x2 + ... + ain xn ≤ bi, (i = 1, 2,… m).

Прибыль предприятия будет равна c1 x1 + c2x2 + ... + cn xn.

Таким образом, приходим к следующей задаче линейного программирования:

c1x1 + c2x2 +… + cn xn → max

a11 x1 + a12x2 + ... + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22x2 + ... + a2n xn ≤ b2

……………………………..

am1 x1 + am2x2 + …+ amn xn ≤ bm x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,… xn ≥ 0

среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти решение максимизирующее линейную функцию.

Задачу линейного программирования можно записать в матричном виде:

F(X) = CX → max

AX ≤ B

X ≥ 0,

42

3.1.2. Различные формы задач линейного программирования

Общей задачей линейного программирования называется следующая задача: минимизировать функцию

F(x) = c1x1 + c2x2 +… + cn xn

при условиях

am 11x1 am 12x2 ... am 1n xn bm 1 am 21x1 am 22x2 ... am 2n xn bm 2

................................

Общая задача имеет ограничения в виде неравенств и в виде равенств.

Канонической задачей линейного программирования называется следующая задача: минимизировать функцию

F(x) = c1x1 + c2x2 +… + cn xn

при условиях

43

a11 x1 + a12x2 + ... + a1n xn = b1

a21 x1 + a22x2 + ... + a2n xn = b2

……………………………..

am1 x1 + am2x2 + …+ amn xn = bm x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,… xn ≥ 0.

Каноническая задача линейного программирования имеет ограничения в виде равенств (при неотрицательных значениях переменных xk, ≥ 0, k = 1, 2,… n) и является частным случаем общей задачи линейного программирования.

Основной задачей линейного программирования называется следующая задача: минимизировать функцию

F(x) = c1x1 + c2x2 +… + cn xn

при условиях

a11 x1 + a12x2 + ... + a1n xn ≤ b1 a21 x1 + a22x2 + ... + a2n xn ≤ b2

…………………………….....

am1 x1 + am2x2 + …+ amn xn ≤ bm x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,… xn ≥ 0.

Основная задача линейного программирования имеет ограничения только в виде неравенств и является частным случаем общей задачи линейного программирования.

44

3.1.3.Графический метод решения задач линейного программирования

Рассмотрим задачи линейного программирования с двумя неизвестными и системой ограничений в виде неравенств. Для решения таких задач может быть применен графический метод. Описание графического метода решения задач линейного программирования проведем на примере следующей задачи.

Пример 18. Решить задачу линейного программирования

F(x) = –6x1 – 5x2 → min

при следующих ограничениях в виде неравенств:

19 – 2x1 – 3x2 ≥ 0 13 – 2x1 – x2 ≥ 0 18 – 3x1 ≥ 0.

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат Ox1x2 и построим область допустимых решений, задаваемую системой неравенств. Геометрическим местом точек, задаваемым системой неравенств, является выпуклый многоугольник, называемый многоугольником решений. Сторонами этого многоугольника будут отрезки прямых, задаваемых следующими уравнениями:

19 – 2x1 – 3x2 = 0 13 – 2x1 – x2 = 0 18 – 3x1 = 0.

x1 = 0, x2 = 0

В результате построений получим пятиугольник (см. рис. 10).

Координаты вершин пятиугольника: (0; 0); (0; 6⅓); (5; 3); (6; 1);(6;0).

45

Геометрическим местом точек, для которых линейная функция F(x1, x2) принимает постоянное значение C, является прямая, уравнение которой имеет вид: –6x1 – 5x2 = C.

Меняя значение C, получим семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору-градиенту целевой функции (–6, –5) .

x2

13

6⅓

(5,3)

Рис. 10

При переходе от одной прямой к другой в направлении противоположном градиенту (в направлении вектора (6, 5) значение целевой функции уменьшается. Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока имеется хотя бы одна точка пересечения прямой и многоугольника решений.

Если у многоугольника решений нет сторон параллельных указанным прямым, то оптимальным решением будет одна из вершин многоугольника. В данном примере это вершина с координатами (5, 3), x1 = 5, x2 = 3, значение линейной функции в этой точке равно F = –45.

46

Пример 19. Решить задачу линейного программирования:

F(x) = 2x1 + x2 → max

при следующих ограничениях в виде неравенств:

x2 ≥ 1

2x1 + x2 ≥ 4 x1 – 2x2 ≤ 4 2x1 + 4x2 ≤ 16 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Построим область допустимых решений, задаваемую системой неравенств. Геометрическим местом точек, задаваемым системой неравенств является выпуклый многоугольник. Сторонами этого многоугольника будут отрезки прямых, задаваемых следующими уравнениями:

x2 = 1

2x1 + x2 = 4 x1 – 2x2 = 4 2x1 + 4x2 = 16 x1 = 0, x2 = 0

В результате построений получим треугольник ABC (cм. рис. 11). Координаты вершин треугольника: A(1,5; 1), B(0; 4); C(6; 1).

x2

B

A C

x1

Рис. 11

47

Геометрическим местом точек, для которых линейная функция F(x1, x2) принимает постоянное значение C, является прямая, уравнение которой имеет вид: 2x1 + x2 = C. Меняя значение C, получим семейство параллельных прямых, перпендикулярных вектору-градиенту целевой функции (2, 1). При переходе от одной прямой к другой в направлении, задаваемом градиентом (в направлении вектора (2, 1)), значение целевой функции увеличивается. Этот процесс продолжаем до тех пор, пока имеется хотя бы одна точка пересечения прямой и многоугольника решений. В данном примере это вершина с координатами C(6,1), x1 = 6, x2 = 1, значение линейной функции в этой точке равно F = 13.

Графическим методом могут быть решены задачи линейного программирования с двумя или тремя переменными.

3.1.4. Метод жордановых преобразований

Рассмотрим следующую задачу линейной алгебры: переменные y1, y2, y3 выражаются через переменные x1, x2, x3:

y1 = 4x1 + 3x2 + 2x3 y2 = 3x1 + 2x2 + x3 y3 = x1+ x2 + 2x3

Требуется найти выражения для x1, x2, x3 через y1, y2, y3.

Для решения этой задачи выразим из первого уравнения x1 через y1, x2, x3, и подставим это выражение во второе и третье уравнения системы. В результате этих преобразований получим следующую систему:

x1= 0,25y1 – 0,75x2 – 0,5x3 y2 = 0,75y1 – 0,25x2 – 0,5x3 y3 = 0,25y1 + 0,25x2 + 1,5x3

48

Из второго уравнения выразим x2 и подставим найденное выражение в первое и третье уравнения, тогда

x1= –2y1 + 3y2 + x3 x2= 3y1 – 4y2 – 2x3

y3= y1 – y2 + x3

Для решения поставленной задачи достаточно из третьего уравнения выразить x3 через y1, y2, y3 и подставить в первое и второе уравнения системы. Окончательно получим:

x1 = –3y1 + 4y2 + y3 x2 = 5y1 – 6y2 – 2y3

x3 = – y1 + y2 + y3 .

Для решения подобных задач можно применять метод жордановых преобразований таблиц, значительно упрощающий вычисления. При применении указанного метода системе линейных уравнений

y1 = a11x1 + a12x2 + … + a1nxn

y2 = a21x1 + a22x2 + … + a2nxn

………………………………

ym = am1x1 + am2x2 + … + amnxn

сопоставим таблицу:

Таблица образована коэффициентами при переменных x1, x2,… xn. Первый столбец и первая строка таблицы состоит из символов y1, y2,…, ym и x1, x2,… xn соответственно, остальные элементы являются элементами матрицы A = (aij), i = 1, 2,…m, j = 1, 2,…n, при этом i-ой

49

строке таблицы соответствуют коэффициенты i-го уравнения. Алгоритм жордановых преобразований таблицы состоит в следующем:

1)выбираем какой-либо ненулевой элемент ai0 j0 0 и называем его разрешающим. Строку и столбец, на пересечении которых стоит разрешающий элемент, называем разрешающей строкой

иразрешающим столбцом;

2)заменяем разрешающей элемент единицей;

3)меняем знаки элементов разрешающей строки за исключением разрешающего элемента на противоположные знаки;

4)элементы разрешающего столбца не изменяем;

5)элементы таблицы aij, находящиеся вне разрешающей строки

иразрешающего столбца, пересчитываем по ”правилу

6)все элементы таблицы делим на разрешающий элемент;

7)меняем местами символы yi0 и x j0 .

Проведение жордановых преобразований таблицы с разрешающим элементом ai0 j0 приводит к новой таблице, которой соответствует линейная система m уравнений, выражающих переменные yi при i ≠ i0 и x j0 через n переменных xj при j ≠ j0 и yi0 .

Применим метод жордановых преобразований для решения сформулированной ранее задачи.

y1 = 4x1 + 3x2 + 2x3 y2 = 3x1 + 2x2 + x3 y3 = x1+ x2 + 2x3

Таблица, соответствующая рассматриваемой системе имеет вид:

50