Методы оптимизации. Учебное пособие-2

y

1

Рис. 5

Рассмотрим задачу о нахождении минимума функции f(x, y), линии уровня которой близки к концентрическим окружностям (рис. 6). Берем некоторую начальную точку P0(x0, y0) и сдвигаемся вдоль оси Ox в сторону уменьшения функции до тех пор, пока функция не начнет возрастать, получаем точку P1(x1, y0). Далее сдвигаемся вдоль оси Oy в сторону уменьшения функции f(x, y) до тех пор пока функция не начнет возрастать. Получим точку P2(x1, y1). Проделываем эти два шага несколько раз и получаем с нужной точностью точку минимума функции f(x, y).

y

Рис. 6

Описанный выше метод обычно дает возможность более или менее быстро найти точки локального экстремума функции. Обычно, но не всегда.

31

Действительно, если у функции z(x, y) есть точки P1(x1, y1), не являющиеся точками экстремума, в которых обе частные производные z'x(x1, y1) и z'x(x1, y1) обращаются в ноль, то метод покоординатного спуска, может привести нас в такую точку. Дальнейшее движение из нее (параллельно осям Ox и Oy) в сторону уменьшения значения функции невозможно, хотя сама точка P1 не является точкой минимума.

Пример 17 Возьмем лемнискату Бернулли (см. рис. 7), задаваемую в декартовых координатах уравнением (x2 + y2)2 = a2(x2 – y2) (или уравнением r2 = a2cos2φ – в полярных координатах). Для удобства дальнейших вычислений растянем ее в два раза и повернем на 45° против часовой стрелки. Получится кривая r2 = 4a2sin2φ или

(x2 + y2)2 = 8a2xy (см. рис. 8).

Рис. 7

Введем функцию двух переменных z(x, y) = (x2 + y2)2 – 8a2xy. Для этой функции изображенная на рис. 8 лемниската будет линией уровня z(x, y) = 0. Внутри лемнискаты функция отрицательна, снаружи – положительна. Поставим задачу найти точки эктремума функции z(x, y) двумя способами: аналитически и методом покоординатного спуска.

Найдем частные производные первого порядка.

z 2(x2 + y2)2x – 8a2y = 4x3 + 4xy2 – 8a2y

x

z 2(x2 + y2)2y – 8a2x = 4y3 + 4yx2 – 8a2x

y

32

2 z 12x2 + 4y2

x 2

2 z 8xy – 8a2

x y

2 z 12y2 + 4x2

y 2

Для изучения критических точек удобно составить следующую таблицу, где буквами A, B и C обзначены значения вторых частных производных в исследуемых точках, а D = AC – B2.

Следовательно, в точках P1(a, a) и P2(–a, –a) функция имеет локальный минимум; точка P3(0, 0) не является точкой экстремума (это – точка перевала).

Теперь попробуем найти минимум функции методом покоординатного спуска. Если мы начнем процесс с какой-нибудь точки M(b, 0), лежащей на оси Ox (см. рис. 8), то после первого же шага придем в точку (0, 0). Действительно, на оси Ox функция z(x, y) равна z(x, y)|y = 0 = x4. Она обращается 0 в точке x = 0 и положительна в остальных точках оси. То же самое мы видим на оси Oy:

z(x, y)|x = 0 = y4. Поэтому движение из точки P3(0, 0) параллельно осям в сторону уменьшения значения функции z невозможно. В то же время, эта точка не является точкой минимума.

34

Более эффективным, чем метод покоординатного спуска, является метод градиентов. Основная его идея состоит в том, что что выбор последующих точек осуществляется не параллельно осям координат, а в направлении наибыстрейшего убывания функции

Пусть мы начинаем движение из точки P0(x0, y0) (см. рис. 9). Через эту точку проходит линия уровня функции f(x, y).

y

P0

x

Рис. 9

Вычислим в точке P0(x0, y0) градиент функции f(x, y):

Вектор градиента, как известно, направлен в сторону наибыстрейшего возрастания функции, противоположный вектор – в сторону ее наибыстрейшего убывания. Проведем через точку P0(x0, y0) прямую параллельную вектору grad f(x0, y0)

grad f (x0 , y0 ) ( f (x0 , y0 ) , f (x0 , y0 )) .

x y

Эта прямая перпендикулярна касательной, проведенной в точке P0(x0, y0) к линии уровня, проходящей через эту точку. На указанной

35

прямой найдем точку P1, значение функции в которой меньше чем в точке P0 (т.е., f(x0,y0) > f(x1, y1)). Через точку P1 также проходит линия уровня. Повторяя указанную процедуру, получим точки P2, P3 и т. д.

Формула для нахождения k-го приближения точки минимума функции n переменных f(x1, x2,… xn) = f(x) имеет вид:

xk = xk – 1 – k·grad f (xk – 1), k = 1, 2, 3…

где k· – шаг итерации.

36

2.4.Контрольные вопросы

1.Что является необходимым условием существования локального максимума дважды дифференцируемой функции двух переменных?

2.Как определяется градиент дифференцируемой функции, трех переменных?

3.Что называется линией уровня функции двух переменных?

4.Каков геометрический смысл градиента функции двух переменных?

5.Что является достаточным условием существования локального минимума дважды дифференцируемой функции двух переменных?

6.Что называется функцией ограничения?

7.Что называется точкой условного максимума функции двух переменных?

8.Чему равна функция Лагранжа?

37

2.5.Задачи

1.Среди прямоугольных параллелепипедов, сумма длин ребер которых равна 30 см, найти параллелепипед, имеющий наибольший объем.

2.Из квадратного листа жести со стороной 100 см, вырезая по углам равные квадраты и сгибая края, составляют открытую коробку. Найти наибольший возможный объем коробки.

3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 2x 5 4x на отрезке [–1, 1].

4.Найти максимальную прибыль фирмы1) при фиксированной цене единицы продукции 51 р. и функции издержек C(x) = ¼x2 +x +5.

5.Найти максимальную прибыль1) P(x), если функция дохода

R(x) = 80x – x2, а функция издержек C(x) = x3 – 37x2 + 149x + 3000.

6.Определить вид кривых, которые являются линиями уровня функции z = x2 – 9y2.

7.Определить вид поверхностей, которые являются поверхностями уровня функции u = x2 + y2 + 9z2.

8. Найти градиент функции z = xexy в точке (0, 0).

9. Найти точки экстремума функции z = (x – 2)2 + (y – 1)2 .

1) Доходом предприятия R за определенный временной промежуток времени T называется произведение py, где y – общий объем выпущенной продукции, p – рыночная цена продукции.

Издержками предприятия C за определенный временной промежуток T называют выплаты предприятия за все виды ресурсов p1x1 + p2x2 + … pnxn, где xk – объем использованного k-го ресурса, pk – его рыночная цена (k = 1, 2, … n).

Прибылью предприятия P за временной промежуток T называют разность между доходом и издержками предприятия за время T: P = R – C.

10. Найти наименьшее значение функции z = (x – 3)2 + (y – 1)2 в

области D = {(x, y): 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3}.

38

11. Доход предприятия имеет вид R(x, y) 204 x y , где x и y –

ресурсы; стоимость единицы первого ресурса 5 руб., второго 10 руб. Найти максимальную прибыль предприятия.

12. Функция прибыли P(x, y) = 30·F(x, y) – 10x – 20y. Найти оптимальный план и максимум функции прибыли, если. F(x, y) = 2(x y)⅓ .

39

3.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

3.1.Линейное программирование. Симплекс-метод

3.1.1Примеры задач линейного программирования

Математические модели многих задач планирования и управления представляют собой задачи, в которых требуется найти такое неотрицательное решение системы линейных алгебраических уравнений или неравенств, при котором линейная функция принимает свое наибольшее или наименьшее значение. Линейное программирование – раздел математики, посвященный изучению и исследованию методов решения задач указанного вида.

1. Задача максимизации прибыли

Предприятию для изготовления двух видов продукции P1 и P2 требуются три вида сырья: S1, S2 и S3. Запасы сырья каждого вида ограничены и составляют b1, b2 и b3 единиц, соответственно. Для изготовления единицы продукции вида Pj (j = 1, 2) требуется aij единиц сырья вида Si (i = 1, 2, 3). Прибыль предприятия от реализации единицы продукции Pj составляет cj единиц. Требуется составить такой производственный план, чтобы прибыль предприятия была максимальной.

Перейдем к математической формулировке задачи. Обозначим через x1 и x2 количество единиц продукции вида P1 и P2, которые планирует изготовить предприятие. Тогда величина прибыли, которую получит предприятие, равна:

c1x1 + c2x2

Затраты сырья вида Si составят ai1 x1 + ai2x2

40