Математический анализ. Учебное пособие-1

постоянной c

из условия y

0

y(x ). В нашем случае

5 y(2), т. е.

0

5 (2,c ) 22

c , следовательно,

c 1. Соответствующее частное решение

f (x,y) h(x)g(y), то такое уравнение называется

уравнением c

разделяющимися переменными. Такое уравнение можно привести к виду

y h(x)g(y)

dy

h(x)g(y)

1

dx

dy h(x)dx,

(8.6)

g(y)

dy

h(x)dx C .

g(y)

Замечание. При разделении переменных потребовалось деление

уравнения

на

g(y), которое

должно быть отлично от нуля

g(y) 0,

следовательно,

имеется

возможность

потерять решение уравнения y a

(a const),

где g(a) 0.

Чтобы не потерять решение, необходимо отдельно

проверить присутствие функции

y a

в полученном общем решении и если

его там нет, то отдельно дописать его в ответ.

Пример

1.

Найти

общее

решение

дифференциального

уравнения

y 2x xy.

Решение. Запишем уравнение в виде

dy

2x xy, заметив, что его правая

dx

часть представима в виде произведения

f (x,y) h(x)g(y) x(2 y), а значит,

является уравнением в разделяющихся переменных.

Исходное

уравнение при

делении на

(2 y)

допускает

разделение

переменных

dy

xdx

(далее следует проверить,

что решение

y 2 не

2 y

dy

xdx ln y 2 x

2

x2

x2

c y 2 e 2

y 2 e 2 C , где C ec .

c

2 y

2

x2

Итак, общее решение имеет вид y(x,C) Ce

2.

2

При C 0 имеем решение y 2, т. е. решение y 2 не потеряно.

Ответ: y(x) Ce

x2

2.

2

Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными может

быть

представлено

в

виде

уравнения

с

дифференциалами (8.2)

f1(x,y)dx f2 (x,y)dy, где

f1(x,y)

и f2 (x,y) допускают представления в виде

произведения функций

f1(x,y) h1(x)g1(y), f2 (x,y) h2 (x)g2 (y):

h1(x)

dx

g2

(y)

dy.

(8.7)

h2 (x)

g1

(y)

h (x)

g (y)

1

dx

2

dy C.

(8.8)

h

(x)

g

(y)

2

1

Разделим обе его части на произведение

h (x)g

(y) (x2 1)(y2 1) 0

2

1

(решения y 1 следует проверить отдельно):

x

dx

y

dy.

x

1

y2

2

1

Очевидно, это уравнение в разделенных переменных вида (8.7),

проинтегрируем его:

x

dx

y

dy.

x

2

y

2

1

1

x

U x2 1

1

dU

1

dU

1

1

dx

dU 2xdx

ln

U

C1

ln

x2

1

C1,

2

x

1

xdx

dU

U

2

2

U

2

2

y

2

1

аналогично

dy

ln

y2 1

C2 .

y

2

1

2

1

ln

x2 1

(C C

)

1

ln

y2 1

Общее решение имеет вид

, умножим обе

2

1

2

2

части

на

2

и, представив 2(C C

) lnC,

получим lnC x2 1 ln

y2

1

,

1

2

откуда C x2

1 y2

1 y

.

C x2

1 1

При C 0 имеем решение y 1, т. е. решение не потеряно.

Ответ: y

.

C x2

1 1

Пример

3.

Найти

частное

решение

дифференциального

уравнения

2

x2

1

1 ln

y dx

dy,

удовлетворяющее начальному условию y 0 1.

y

y

Решение. Определим общее решение дифференциального уравнения, для

чего представим уравнение в виде (8.7):

dx

1 ln2 y dx

1

x2 1 dy

1

dy

x

2 1

y 1 ln2 y

.

y

Проинтегрируем последнее уравнение:

dx

dy

.

x2

1

y 1 ln2

y

Интеграл левой стороны табличный.

Интеграл правой стороны вычислим отдельно:

dy

dln y

arctg(ln y).

y 1 ln2 y

1 ln2

y

Итак, общее решение имеет вид

arctgx arctg(ln y) C .

Определим частное решение, для этого из общего решения определим то

единственное решение,

которое соответствует начальному условию y 0 1,

т. е. при

x0

0

и

y0 1

определим

значение

постоянной

C:

arctg0 arctg(ln1) C

0 arctg0 C C 0.

2

y y , удовлетворяющее начальному условию

ctgx cos

y

0.

2

чего представим

уравнение в

виде ctgx cos2

y

dy

ctgxdx

dy

.

dy

dx

cos2 y

Проинтегрируем последнее уравнение: ctgxdx

.

2

Интеграл правой стороны табличный.

cos

y

Интеграл левой стороны вычислим отдельно:

ctgxdx

cosx

dx

d(sin x)

ln

sin x

c.

sin x

sin x

c tgy. Обозначив c lnC,

Итак, общее

решение

имеет вид ln

sin x

получим общее решение в виде y arctg ln C

sinx

.

Из общего

решения

определяется

решение,

которое

соответствует

начальному условию y

0, т.

е. при x

0

и

y

0 определим значение

2

2

0

постоянной C: 0 arctg lnC

sin

0 arctg lnC

lnC 0 C 1.

2

ВАРИАНТ 1

ВАРИАНТ 2

2x x2 4

5x3 6x

2

x

x

1.

dx

1.

dx

x

3

2x

2.

x3 5

dx

x

dx

1 x4

2.

3 x

3.

dx

2

2

sin x

1

x

2

3.

dx

9

1 6cosx

3x 8

5x 2

4.

dx

4.

dx

9x 1

2x 3

5.

dx

5.

dx

x

1

x 1

x 1

6.

(7x 3)sin3xdx

6.

(5x 1)exdx

7.

xcosx

dx

7.

x2 ln(x)dx

sin

3

x