Математический анализ. Учебное пособие-1

Рис. 16. График функции y x3 3x2

Пример 2. Исследовать функцию y x 33x2 и построить ее график.

1.Областью определения данной функции является вся числовая ось ( ; ), т. к. каждое слагаемое определено при любом значении аргумента.

2.Найдем точки пересечения графика с осями координат:

с осью Ox (при y=0): 0 x 33x2 0 3x2 (3x 3) A 0;0 иB 27;0 . Функция не периодическая, т. к. не содержит тригонометрических функций. Функция не является ни четной, ни нечетной:

y( x) ( x) 33 ( x)2 x 33x2 , т. е. y( x) y(x) и y( x) y(x).

3.Найдем точки возможного экстремума функции, определив, при каких x обращается в ноль или не определена первая производная функции:

Проверим достаточное условие для последующего заполнения таблицы, определим знаки производной y (x), они приведены на рис. 17:

Рис. 17. Знаки производной y (x) функции y x 33x2

31

производная не определена, но функция в этой точке вычисляется – в этой точке функция имеет “излом”).

4.Найдем точки возможного перегиба функции, определив, при каких x обращается в ноль или не определена вторая производная функции:

Проверим достаточное условие смены знаков y (x) для последующего заполнения таблицы, знаки производной приведены на рис. 18:

Рис. 18. Знаки производной y (x) функции y x 33x2

В точке x 0 вторая производная не определена, но знак не меняет, т. к. знак на всей числовой оси “минус”, то перегибов нет и функция везде выпукла.

6. Составим таблицу, в которую будут включены все особые точки: x 8, x 0, в которых уже проверены достаточные условия существования перегиба и экстремума. В последней строке таблицы вычисляем значения функции в особых точках.

7.Для построения графика:

отметим на плоскости xOy все точки, определенные в п. 2 и п. 6;

32

на каждом из промежутков ; 8 , 8;0 и 0; построим график функции, руководствуясь таблицей и точками графика A 0;0 , B 27;0 ,

C 8;4 .

Рис. 19. График функции y x 33x2

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется точкой максимума и точкой минимума функции?

2.Что называется точкой перегиба функции?

3.Какая функция является выпуклой в точке, выпуклой в интервале?

4.Укажите необходимое условие существования экстремума функции в точке.

5.Укажите достаточное условие существования экстремума функции в точке.

6.Укажите условия существования перегиба функции в точке.

7.Установите соответствие между производными функций и количеством точек экстремума:

8.Определить точки экстремума функции y(x) (x 2)e2x 1 , указать интервалы возрастания и убывания функции.

9.Определить точки перегиба функции y(x) (2x 1)e3x , указать интервалы выпуклости и вогнутости функции.

33

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ ПО ТЕМЕ “ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ”

Задача 1. Продифференцировать функции.

34

35