Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие-1
.pdf
Количественно степень близости экспериментальных точек к прямой линии, т.е. силу линейной взаимосвязи случайных переменных X
и Y, характеризует выборочный парный коэффициент корреляции
|
|
|
n |
(xi - x )(yi - y ) |
|
|||||
|
|
|
∑ |
|
||||||
rxy = |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
, |
(3.1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
n |
|
|||||
|
|
(x |
- x )2 |
(y - y )2 |
|
|||||
|
|
∑ |
∑ |
|
||||||
|
|
i=1 |
|
i |
|
i=1 |
i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где x,y – выборочные средние выборок x1,x2,...,xn и y1,y2,...,yn . Парный коэффициент корреляции (3.1) изменяется в пределах
-1≤ rxy ≤1.
Чем ближе rxy к единице, тем плотнее точки на точечном графике группируются около наклонной прямой линии, тем сильнее (на фоне случайного разброса) выражена линейная связь переменных X и Y. Если rxy = ±1, то линейная связь является функциональной и точки ложатся строго на прямую. Условие rxy > 0 означает, что переменные X и Y изменяются в одном направлении, условие rxy < 0 – что они изменяются противоположных направлениях (как на рис. 3.1). Если rxy близок к нулю, то взаимосвязанного изменения случайных переменных X и Y нет, и точки на диаграмме рассеяния расположены хаотично. Величина парного коэффициента корреляции rxy не изменится, если каждое значение любой из выборок x1,x2,...,xn и y1,y2,...,yn умножить на произвольное число или прибавить ко всем значениям произвольное число.
Поскольку значения x1,x2,...,xn и y1,y2,...,yn являются выборочными, случайная группировка точек вокруг прямой линии может получиться и тогда, когда переменные X и Y на самом деле не коррелированны. Чтобы убедиться, что рассчитанный парный коэффициент корреляции rxy не случайно отличается от нуля, проверяют гипотезу о значимом отличии rxy от нуля. Значение rxy сравнивают с критическим (табличным) значением выборочного коэффициента корреляции ra,n с уровнем значимости a и числом степеней свободы n = n -2. Если
rxy |
> ra,n , |
(3.2) |
то с риском ошибки, не большим a считается, что выборочный парный коэффициент корреляции rxy отличается от нуля не случайно
31
(значимо отличается от нуля) и отражает действительную тенденцию взаимосвязанного изменения переменных X и Y. Если знак неравенства (3.2) противоположный, то нет достаточных оснований утверждать, что отличие коэффициента корреляции rxy от нуля не случайное. В этом случае говорят, что парный коэффициент корреляции rxy незначимо отличается от нуля (коэффициент незначимый).
Эмпирический эллипс рассеяния
Множеству наблюдений xi ,yi (i =1,2,...,n ) можно сопоставить
эмпирический эллипс рассеяния (рис. 3.1). Если случайные перемен-
ные X и Y распределены нормально, то внутрь эллипса попадает в среднем доля Р всех наблюдений (вероятность попадания точки xi ,yi внутрь эллипса равна P). Центр эллипса имеет координаты ( x y ), т.е. находится в центре тяжести точек xi ,yi . Форма и размеры эллипса определяются величинами стандартных отклонений выборок sx, sy, парного коэффициента корреляции rxy и заданной вероятностью Р. Уравнение эллипса рассеяния
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x - x |
|
|
y - y |
-2r |
x - x |
|
y - y |
= c 2 |
, |
(3.3) |
|||
|
|
+ |
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
sx |
|
|
|
sy |
|
xy |
sx |
|
sy |
|
P |
|
|
|
-rxy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где cP2 - квантиль распределения Пирсона (c2 -распределения) с двумя степенями свободы. Если распределения случайных
переменных X и Y не слишком отличаются от нормального, эмпирический эллипс рассеяния дает наглядное представление о совместной области рассеяния данных.
Чтобы построить эллипс рассеяния надо перейти к новым переменным, т.к. рассчитывать координаты точек эллипса непосредственно по уравнению (3.3) неудобно. Для расчета сначала перейдем к стандартизованным безразмерным переменным h и g – центрируем исходные переменные и нормируем их на стандартные отклонения соответствующих выборок
h = x - x ; g = y - y . sx sy
Затем введем новые переменные u и v, координатные оси которых совпадают с главными осями эллипса рассеяния
32
u = h +2g ; v = g -2h .
В переменных u и v уравнение эллипса рассеяния примет вид
|
u |
2 |
|
v |
2 |
||
|
|
+ |
|
= c2P , |
|||
|
|
||||||
su |
sv |
|
|||||
где стандартные отклонения переменных u и v
su = |
1+ rxy |
; sv = |
1-rxy |
. |
(3.4) |
Точки на эллипсе рассчитываются из параметрического уравнения эллипса
u = ksu cos(j), v = ksv sin(j), |
(3.5) |
где k – коэффициент размера эллипса: k = 
cP2 , j – параметр:
0≤j≤ 2π.
После расчета точек на эллипсе в переменных u и v по параметрическому уравнению (3.5) их координаты преобразуются к исходным переменным х и у по формулам
x = u |
|
v s + x ; y = u + |
v sy + y . |
(3.6) |
|
|
|||
2 |
|
|
||
3.2. Задание
1. По наблюдениям xi ,yi (i =1,2,...,n ) рассчитать выборочный парный коэффициент корреляции rxy, сравнить его с табличным значением с уровнем значимости a = 0,05, проверить гипотезу о значимом отличии коэффициента корреляции rxy от нуля.
2. По 12 точкам рассчитать эллипс рассеяния наблюдений xi yi с вероятностью попадания внутрь эллипса P = 0,95. Построить точечный график наблюдений xi ,yi , нанести на него эллипс рассеяния. Отметить особенности данных, если они есть.
33
3.3. Порядок выполнения задания
Задание 1 1.1. Вычислить суммы
n |
n |
n |
Cx = ∑xj ; Cy = ∑y j ; C2x = ∑x2j ; |
||
j=1 |
j=1 |
j=1 |
|
n |
n |
C2y = ∑y2j ; Cxy = ∑xj y j . |
||
|
j=1 |
j=1 |
1.2.Рассчитать средние
x= Cnx ; y = Cnx .
1.3.Провести промежуточные расчеты
Dx =C2x - 1n Cx2 ; Dy =C2y - 1n Cy2 ;
V =Cxy - 1n CxCy .
1.4. Рассчитать парный коэффициент корреляции r = |
|
V |
. |
|
|
||
xy |
Dx Dy |
||
|
|
||
1.5.Оценить значимость парного коэффициента корреляции, срав-
нив его с критическим (табличным) значением ra,n с уровнем значимости a = 0,05 и числом степеней свободы n = n -2 (табл. 5 приложения).
1.6.Построить диаграмму рассеяния исходных данных – нанести на график точки с координатами хi, уi (рис. 3.1).
Задание 2 2.1. Вычислить дисперсии и стандартные отклонения
sx2 = n1-1Dx ; s2y = n1-1Dy ; sx = 
sx2 ; sy = 
s2y .
2.2. Рассчитать по формуле (3.4) стандартные отклонения su и sv. 2.3. Для вероятности попадания наблюдения внутрь эллипса P = 0,95 по табл. 3.1 приложения определить квантиль распределе-
34
ния Пирсона с двумя степенями свободы cP2 и рассчитать коэффициент размера эллипса k = cP2 . (Учесть, что в табл. 3 приложения в качестве аргумента приводится не величина Р, а величина a =1- P.)
В табл. 3.1 даны 12 значений параметра ji (j [0;2π]) с шагом π
6 (ст. 1). В ст. 2 и 3 табл. 3.1 рассчитаны значения cos(ji ) и sin(ji). По формулам (3.5) рассчитать координаты u и v точек эллипса (пример – столбцы 4 и 5 табл. 3.1).
Рассчитать координаты х и у точек эллипса, используя формулы
(3.6) (пример – ст. 6 и 7 табл. 3.1).
Нанести точки эллипса в координатах х и у на диаграмму рассеяния и построить по точкам эмпирический эллипс рассеяния (пример – рис. 3.1). Описать взаимное расположение экспериментальных точек и эллипса рассеяния. Отметить особенности данных, если они есть (например, расположение точек несколькими обособленными группами, отдельные точки, далеко отстоящие от всех остальных, большое число точек вне 95%-ного эллипса рассеяния).
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.1 |
Параметр j |
cos(j) |
sin (j) |
u эллипса |
v эллипса |
x эллипса |
у эллипса |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
0 |
1 |
0 |
1,540 |
0 |
736,3 |
24,12 |
0,524 |
0,866 |
0,5 |
1,333 |
1,550 |
697,2 |
26,05 |
1,047 |
0,5 |
0,866 |
0,770 |
2,685 |
659,4 |
26,88 |
1,571 |
0 |
1 |
0 |
3,100 |
633,0 |
26,36 |
2,094 |
-0,5 |
0,866 |
-0,770 |
2,685 |
625,1 |
24,66 |
2,618 |
-0,866 |
0,5 |
-1,333 |
1,550 |
637,8 |
22,21 |
3,142 |
-1 |
0 |
-1,540 |
0 |
667,7 |
19,68 |
3,665 |
-0,866 |
-0,5 |
-1,333 |
-1,550 |
706,8 |
17,75 |
4,189 |
-0,5 |
-0,866 |
-0,770 |
-2,685 |
744,6 |
16,92 |
4,712 |
0 |
-1 |
0 |
-3,100 |
771,0 |
17,44 |
5,236 |
0,5 |
-0,866 |
0,770 |
-2,685 |
778,9 |
19,14 |
5,760 |
0,866 |
-0,5 |
1,333 |
-1,550 |
766,2 |
21,59 |
35
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. 12-е изд. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с.
2.Крамер Г. Математические методы статистики. 2-е изд. – М.: Мир, 1975. – 648 с., репринтное переиздание – М.: Издательство РХД, 2003.
3.Худсон Д. Статистика для физиков. Лекции по теории вероятностей и элементарной статистике. 2-е изд. – М.: Мир, 1970. – 296 с.
4.Мельниченко А.С. Статистический анализ в металлургии и материаловедении. – М.: Издательский Дом МИСиС, 2009. – 268 с.
5.Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статисти-
ки. 3-е изд. – М. Наука, 1983. – 416 с.
36
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П1. Процентные точки t-распределения Стьюдента
В таблице приведены значения t, такие, что |
|
|
∞ |
|
|
2∫wt (x,n)dx = a, где wt (x,n) - плотность |
|
|
t |
|
|
t-распределения Стьюдента с n степенями сво- |
|
|
боды (значения двустороннего t-критерия |
-t |
t |
ta 2,n |
|
|
с уровнем значимости a). |
|
|
n |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,002 |
0,001 |
1 |
3,078 |
6,314 |
12,706 |
31,821 |
63,657 |
318,309 |
636,619 |
2 |
1,886 |
2,920 |
4,303 |
6,965 |
9,925 |
22,327 |
31,599 |
3 |
1,638 |
2,353 |
3,182 |
4,541 |
5,841 |
10,215 |
12,924 |
4 |
1,533 |
2,132 |
2,776 |
3,747 |
4,604 |
7,173 |
8,610 |
5 |
1,476 |
2,015 |
2,571 |
3,365 |
4,032 |
5,893 |
6,869 |
6 |
1,440 |
1,943 |
2,447 |
3,143 |
3,707 |
5,208 |
5,959 |
7 |
1,415 |
1,895 |
2,365 |
2,998 |
3,499 |
4,785 |
5,408 |
8 |
1,397 |
1,860 |
2,306 |
2,896 |
3,355 |
4,501 |
5,041 |
9 |
1,383 |
1,833 |
2,262 |
2,821 |
3,250 |
4,297 |
4,781 |
10 |
1,372 |
1,812 |
2,228 |
2,764 |
3,169 |
4,144 |
4,587 |
11 |
1,363 |
1,796 |
2,201 |
2,718 |
3,106 |
4,025 |
4,437 |
12 |
1,356 |
1,782 |
2,179 |
2,681 |
3,055 |
3,930 |
4,318 |
13 |
1,350 |
1,771 |
2,160 |
2,650 |
3,012 |
3,852 |
4,221 |
14 |
1,345 |
1,761 |
2,145 |
2,624 |
2,977 |
3,787 |
4,140 |
15 |
1,341 |
1,753 |
2,131 |
2,602 |
2,947 |
3,733 |
4,073 |
16 |
1,337 |
1,746 |
2,120 |
2,583 |
2,921 |
3,686 |
4,015 |
17 |
1,333 |
1,740 |
2,110 |
2,567 |
2,898 |
3,646 |
3,965 |
18 |
1,330 |
1,734 |
2,101 |
2,552 |
2,878 |
3,610 |
3,922 |
19 |
1,328 |
1,729 |
2,093 |
2,539 |
2,861 |
3,579 |
3,883 |
20 |
1,325 |
1,725 |
2,086 |
2,528 |
2,845 |
3,552 |
3,850 |
21 |
1,323 |
1,721 |
2,080 |
2,518 |
2,831 |
3,527 |
3,819 |
22 |
1,321 |
1,717 |
2,074 |
2,508 |
2,819 |
3,505 |
3,792 |
23 |
1,319 |
1,714 |
2,069 |
2,500 |
2,807 |
3,485 |
3,768 |
24 |
1,318 |
1,711 |
2,064 |
2,492 |
2,797 |
3,467 |
3,745 |
25 |
1,316 |
1,708 |
2,060 |
2,485 |
2,787 |
3,450 |
3,725 |
26 |
1,315 |
1,706 |
2,056 |
2,479 |
2,779 |
3,435 |
3,707 |
27 |
1,314 |
1,703 |
2,052 |
2,473 |
2,771 |
3,421 |
3,690 |
37
n |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
0,1 |
0,05 |
0,02 |
0,01 |
0,002 |
0,001 |
28 |
1,313 |
1,701 |
2,048 |
2,467 |
2,763 |
3,408 |
3,674 |
29 |
1,311 |
1,699 |
2,045 |
2,462 |
2,756 |
3,396 |
3,659 |
30 |
1,310 |
1,697 |
2,042 |
2,457 |
2,750 |
3,385 |
3,646 |
40 |
1,303 |
1,684 |
2,021 |
2,423 |
2,704 |
3,307 |
3,551 |
60 |
1,296 |
1,671 |
2.000 |
2,390 |
2,660 |
3,232 |
3,460 |
120 |
1,289 |
1,658 |
1,980 |
2,358 |
2,617 |
3,160 |
3,373 |
∞ |
1,282 |
1,645 |
1,960 |
2,326 |
2,576 |
3,090 |
3,291 |
Таблица П2. Функция нормального распределения
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В таблице приведены значения функции F(x) = |
exp -t |
|
dt . |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
-∫∞ |
|
2π |
|
|
2 |
|
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
7 |
|
8 |
|
|
9 |
|
– 2,9 |
0,002 |
0,002 |
0,002 |
0,002 |
0,002 |
0,002 |
0,002 |
|
0,001 |
0,001 |
|
0,001 |
|||
–2,8 |
0,003 |
0,002 |
0,002 |
0,002 |
0,002 |
0,002 |
0,002 |
|
0,002 |
0,002 |
|
0,002 |
|||
–2,7 |
0,003 |
0,003 |
0,003 |
0,003 |
0,003 |
0,003 |
0,003 |
|
0,003 |
0,003 |
|
0,003 |
|||
–2,6 |
0,005 |
0,005 |
0,004 |
0,004 |
0,004 |
0,004 |
0,004 |
|
0,004 |
0,004 |
|
0,004 |
|||
–2,5 |
0,006 |
0,006 |
0,006 |
0,006 |
0,006 |
0,005 |
0,005 |
|
0,005 |
0,005 |
|
0,005 |
|||
–2,4 |
0,008 |
0,008 |
0,008 |
0,008 |
0,007 |
0,007 |
0,007 |
|
0,007 |
0,007 |
|
0,006 |
|||
–2,3 |
0,011 |
0,010 |
0,010 |
0,010 |
0,010 |
0,009 |
0,009 |
|
0,009 |
0,009 |
|
0,008 |
|||
–2,2 |
0,014 |
0,014 |
0,013 |
0,013 |
0,013 |
0,012 |
0,012 |
|
0,012 |
0,011 |
|
|
0,011 |
||
–2,1 |
0,018 |
0,017 |
0,017 |
0,017 |
0,016 |
0,016 |
0,015 |
|
0,015 |
0,015 |
|
0,014 |
|||
–2 |
0,023 |
0,022 |
0,022 |
0,021 |
0,021 |
0,020 |
0,020 |
|
0,019 |
0,019 |
|
0,018 |
|||
–1,9 |
0,029 |
0,028 |
0,027 |
0,027 |
0,026 |
0,026 |
0,025 |
|
0,024 |
0,024 |
|
0,023 |
|||
–1,8 |
0,036 |
0,035 |
0,034 |
0,034 |
0,033 |
0,032 |
0,031 |
|
0,031 |
0,030 |
|
0,029 |
|||
–1,7 |
0,045 |
0,044 |
0,043 |
0,042 |
0,041 |
0,040 |
0,039 |
|
0,038 |
0,038 |
|
0,037 |
|||
–1,6 |
0,055 |
0,054 |
0,053 |
0,052 |
0,051 |
0,049 |
0,048 |
|
0,047 |
0,046 |
|
0,046 |
|||
–1,5 |
0,067 |
0,066 |
0,064 |
0,063 |
0,062 |
0,061 |
0,059 |
|
0,058 |
0,057 |
|
0,056 |
|||
–1,4 |
0,081 |
0,079 |
0,078 |
0,076 |
0,075 |
0,074 |
0,072 |
|
0,071 |
0,069 |
|
0,068 |
|||
–1,3 |
0,097 |
0,095 |
0,093 |
0,092 |
0,090 |
0,089 |
0,087 |
|
0,085 |
0,084 |
|
0,082 |
|||
–1,2 |
0,115 |
0,113 |
0,111 |
0,109 |
0,107 |
0,106 |
0,104 |
|
0,102 |
0,100 |
|
0,099 |
|||
–1,1 |
0,136 |
0,133 |
0,131 |
0,129 |
0,127 |
0,125 |
0,123 |
|
0,121 |
0,119 |
|
|
0,117 |
||
–1 |
0,159 |
0,156 |
0,154 |
0,152 |
0,149 |
0,147 |
0,145 |
|
0,142 |
0,140 |
|
0,138 |
|||
–0,9 |
0,184 |
0,181 |
0,179 |
0,176 |
0,174 |
0,171 |
0,169 |
|
0,166 |
0,164 |
|
0,161 |
|||
–0,8 |
0,212 |
0,209 |
0,206 |
0,203 |
0,200 |
0,198 |
0,195 |
|
0,192 |
0,189 |
|
0,187 |
|||
–0,7 |
0,242 |
0,239 |
0,236 |
0,233 |
0,230 |
0,227 |
0,224 |
|
0,221 |
0,218 |
|
0,215 |
|||
38
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
–0,6 |
0,274 |
0,271 |
0,268 |
0,264 |
0,261 |
0,258 |
0,255 |
0,251 |
0,248 |
0,245 |
–0,5 |
0,309 |
0,305 |
0,302 |
0,298 |
0,295 |
0,291 |
0,288 |
0,284 |
0,281 |
0,278 |
–0,4 |
0,345 |
0,341 |
0,337 |
0,334 |
0,330 |
0,326 |
0,323 |
0,319 |
0,316 |
0,312 |
–0,3 |
0,382 |
0,378 |
0,374 |
0,371 |
0,367 |
0,363 |
0,359 |
0,356 |
0,352 |
0,348 |
–0,2 |
0,421 |
0,417 |
0,413 |
0,409 |
0,405 |
0,401 |
0,397 |
0,394 |
0,390 |
0,386 |
–0,1 |
0,460 |
0,456 |
0,452 |
0,448 |
0,444 |
0,440 |
0,436 |
0,433 |
0,429 |
0,425 |
–0 |
0,500 |
0,496 |
0,492 |
0,488 |
0,484 |
0,480 |
0,476 |
0,472 |
0,468 |
0,464 |
0 |
0,500 |
0,504 |
0,508 |
0,512 |
0,516 |
0,520 |
0,524 |
0,528 |
0,532 |
0,536 |
0,1 |
0,540 |
0,544 |
0,548 |
0,552 |
0,556 |
0,560 |
0,564 |
0,567 |
0,571 |
0,575 |
0,2 |
0,579 |
0,583 |
0,587 |
0,591 |
0,595 |
0,599 |
0,603 |
0,606 |
0,610 |
0,614 |
0,3 |
0,618 |
0,622 |
0,626 |
0,629 |
0,633 |
0,637 |
0,641 |
0,644 |
0,648 |
0,652 |
0,4 |
0,655 |
0,659 |
0,663 |
0,666 |
0,670 |
0,674 |
0,677 |
0,681 |
0,684 |
0,688 |
0,5 |
0,691 |
0,695 |
0,698 |
0,702 |
0,705 |
0,709 |
0,712 |
0,716 |
0,719 |
0,722 |
0,6 |
0,726 |
0,729 |
0,732 |
0,736 |
0,739 |
0,742 |
0,745 |
0,749 |
0,752 |
0,755 |
0,7 |
0,758 |
0,761 |
0,764 |
0,767 |
0,770 |
0,773 |
0,776 |
0,779 |
0,782 |
0,785 |
0,8 |
0,788 |
0,791 |
0,794 |
0,797 |
0,800 |
0,802 |
0,805 |
0,808 |
0,811 |
0,813 |
0,9 |
0,816 |
0,819 |
0,821 |
0,824 |
0,826 |
0,829 |
0,831 |
0,834 |
0,836 |
0,839 |
1 |
0,841 |
0,844 |
0,846 |
0,848 |
0,851 |
0,853 |
0,855 |
0,858 |
0,860 |
0,862 |
1,1 |
0,864 |
0,867 |
0,869 |
0,871 |
0,873 |
0,875 |
0,877 |
0,879 |
0,881 |
0,883 |
1,2 |
0,885 |
0,887 |
0,889 |
0,891 |
0,893 |
0,894 |
0,896 |
0,898 |
0,900 |
0,901 |
1,3 |
0,903 |
0,905 |
0,907 |
0,908 |
0,910 |
0,911 |
0,913 |
0,915 |
0,916 |
0,918 |
1,4 |
0,919 |
0,921 |
0,922 |
0,924 |
0,925 |
0,926 |
0,928 |
0,929 |
0,931 |
0,932 |
1,5 |
0,933 |
0,934 |
0,936 |
0,937 |
0,938 |
0,939 |
0,941 |
0,942 |
0,943 |
0,944 |
1,6 |
0,945 |
0,946 |
0,947 |
0,948 |
0,949 |
0,951 |
0,952 |
0,953 |
0,954 |
0,954 |
1,7 |
0,955 |
0,956 |
0,957 |
0,958 |
0,959 |
0,960 |
0,961 |
0,962 |
0,962 |
0,963 |
1,8 |
0,964 |
0,965 |
0,966 |
0,966 |
0,967 |
0,968 |
0,969 |
0,969 |
0,970 |
0,971 |
1,9 |
0,971 |
0,972 |
0,973 |
0,973 |
0,974 |
0,974 |
0,975 |
0,976 |
0,976 |
0,977 |
2 |
0,977 |
0,978 |
0,978 |
0,979 |
0,979 |
0,980 |
0,980 |
0,981 |
0,981 |
0,982 |
2,1 |
0,982 |
0,983 |
0,983 |
0,983 |
0,984 |
0,984 |
0,985 |
0,985 |
0,985 |
0,986 |
2,2 |
0,986 |
0,986 |
0,987 |
0,987 |
0,987 |
0,988 |
0,988 |
0,988 |
0,989 |
0,989 |
2,3 |
0,989 |
0,990 |
0,990 |
0,990 |
0,990 |
0,991 |
0,991 |
0,991 |
0,991 |
0,992 |
2,4 |
0,992 |
0,992 |
0,992 |
0,992 |
0,993 |
0,993 |
0,993 |
0,993 |
0,993 |
0,994 |
2,5 |
0,994 |
0,994 |
0,994 |
0,994 |
0,994 |
0,995 |
0,995 |
0,995 |
0,995 |
0,995 |
2,6 |
0,995 |
0,995 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
0,996 |
2,7 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
0,997 |
2,8 |
0,997 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
2,9 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,998 |
0,999 |
0,999 |
0,999 |
Аргумент х функции F(х) с шагом 0,01 приведен в левом столбце (целая часть и первый десятичный знак) и верхней строке (второй десятичный знак) таблицы.
39
Таблица П3. Процентные точки c2 распределения
Пирсона
В таблице приведены значения c2 , такие,
∞
что ∫wc (x,n)dx = a , где wc (x,n) - плотность
c2
c2 -распределения Пирсона с n степенями свободы.
0 |
c2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
n |
0,99 |
0,975 |
0,95 |
0,90 |
|
0,10 |
0,05 |
0,025 |
0,01 |
1 |
0,00016 |
0,00098 |
0,00393 |
0,0158 |
|
2,706 |
3,841 |
5,024 |
6,635 |
2 |
0,0201 |
0,0506 |
0,103 |
0,211 |
|
4,605 |
5,991 |
7,378 |
9,210 |
3 |
0,115 |
0,216 |
0,352 |
0,584 |
|
6,251 |
7,815 |
9,348 |
11,345 |
4 |
0,297 |
0,484 |
0,711 |
1,064 |
|
7,779 |
9,488 |
11,143 |
13,277 |
5 |
0,554 |
0,831 |
1,145 |
1,610 |
|
9,236 |
11,071 |
12,833 |
15,086 |
6 |
0,872 |
1,237 |
1,635 |
2,204 |
|
10,645 |
12,592 |
14,449 |
16,812 |
7 |
1,239 |
1,690 |
2,167 |
2,833 |
|
12,017 |
14,067 |
16,013 |
18,475 |
8 |
1,647 |
2,180 |
2,733 |
3,490 |
|
13,362 |
15,507 |
17,535 |
20,090 |
9 |
2,088 |
2,700 |
3,325 |
4,168 |
|
14,684 |
16,919 |
19,023 |
21,666 |
10 |
2,558 |
3,247 |
3,940 |
4,865 |
|
15,987 |
18,307 |
20,483 |
23,209 |
11 |
3,053 |
3,816 |
4,575 |
5,578 |
|
17,275 |
19,675 |
21,920 |
24,725 |
12 |
3,571 |
4,404 |
5,226 |
6,304 |
|
18,549 |
21,026 |
23,337 |
26,217 |
13 |
4,107 |
5,009 |
5,892 |
7,042 |
|
19,812 |
22,362 |
24,736 |
27,688 |
14 |
4,660 |
5,629 |
6,571 |
7,790 |
|
21,064 |
23,685 |
26,119 |
29,141 |
15 |
5,229 |
6,262 |
7,261 |
8,547 |
|
22,307 |
24,996 |
27,488 |
30,578 |
16 |
5,812 |
6,908 |
7,962 |
9,312 |
|
23,542 |
26,296 |
28,845 |
32,000 |
17 |
6,408 |
7,564 |
8,672 |
10,085 |
|
24,769 |
27,587 |
30,191 |
33,409 |
18 |
7,015 |
8,231 |
9,390 |
10,865 |
|
25,989 |
28,869 |
31,526 |
34,805 |
19 |
7,633 |
8,907 |
10,117 |
11,651 |
|
27,204 |
30,144 |
32,852 |
36,191 |
20 |
8,260 |
9,591 |
10,851 |
12,443 |
|
28,412 |
31,410 |
34,170 |
37,566 |
21 |
8,897 |
10,283 |
11,591 |
13,240 |
|
29,615 |
32,671 |
35,479 |
38,932 |
22 |
9,542 |
10,982 |
12,338 |
14,041 |
|
30,813 |
33,924 |
36,781 |
40,289 |
23 |
10,196 |
11,689 |
13,091 |
14,848 |
|
32,007 |
35,172 |
38,076 |
41,638 |
24 |
10,856 |
12,401 |
13,848 |
15,659 |
|
33,196 |
36,415 |
39,364 |
42,980 |
25 |
11,524 |
13,120 |
14,611 |
16,473 |
|
34,382 |
37,652 |
40,646 |
44,314 |
26 |
12,198 |
13,844 |
15,379 |
17,292 |
|
35,563 |
38,885 |
41,923 |
45,642 |
27 |
12,879 |
14,573 |
16,151 |
18,114 |
|
36,741 |
40,113 |
43,195 |
46,963 |
28 |
13,565 |
15,308 |
16,928 |
18,939 |
|
37,916 |
41,337 |
44,461 |
48,278 |
29 |
14,256 |
16,047 |
17,708 |
19,768 |
|
39,087 |
42,557 |
45,722 |
49,588 |
30 |
14,953 |
16,791 |
18,493 |
20,599 |
|
40,256 |
43,773 |
46,979 |
50,892 |
40