Математическая статистика и анализ данных. Учебное пособие-1

Рис. 2.1. Распределение Фишера. Заштрихована правая критическая область F-критерия. Левая критическая область не показана

Сравнение двух средних

Сравнение средних x и y двух выборок x1,x2,...,xn и y1,y2,...,yk , как и сравнение дисперсий, отвечает на вопрос, различаются ли средние x и y статистически значимо и тогда математические ожидания

где сводная дисперсия

степенями свободы. Критерий двусторонний с двумя критическими областями t < -ta/2,n и t >ta/2,n (рис. 1.4). Но, поскольку

21

t-распределение симметрично относительно нуля, на практике после замены t на t можно использовать только правую половину t-распределения, для которой и составляются таблицы. Если вычисленное значение t-критерия (2.3) превосходит критическое (табличное) с уровнем значимости a и числом степеней свободы n :

то гипотеза о равенстве математических ожиданий mx и my отклоняется с риском ошибки не большим, чем a. Иначе говорят, что средние x и y различаются значимо. Если знак неравенства (2.5) противоположный, гипотеза о равенстве математических ожиданий не отклоняется, и различие средних x и y незначимо.

Несколько групп данных

Часто необходимо сравнить m > 2 групп данных c различным числом наблюдений в группах. Обозначим число наблюдений в i-й

( i =1,2,...,m ) группе – ni, а общее число наблюдений N: N ∑n .

Считаем, что данные в i-й группе x1i ,x2i ,...,xnii – независимая выборка из своей (i-й) нормально распределенной генеральной совокупности с математическим ожиданием mi и истинной дисперсией si . Выборочное среднее в группе

Сравнение нескольких дисперсий (проверка гипотезы однородности дисперсий)

Сравнение дисперсий s12,s22,...,sm2 предполагает проверку гипотезы о том, что истинные дисперсии соответствующих нормальных генеральных совокупностей равны: s12 = s22 =...= s2m – гипотезы одно-

22

родности дисперсий. Альтернативной является гипотеза, что хотя бы одна из дисперсий si2 не равна всем остальным.

Проверочная статистика этой гипотезы (критерий Бартлетта) – отношение

Если все ni > 3, то критерий Бартлетта приближенно подчиняется c2 -распределению (распределению Пирсона) с m -1 степенями свободы. Если величина критерия В (2.8) больше критического значения

B > c2,m 1 , (2.11)

a -

то гипотеза однородности дисперсий отвергается с риском ошибки, не большим a. Если знак неравенства (2.11) противоположный, гипотеза однородностидисперсийнепротиворечитнаблюденияминеотвергается.

Сравнение нескольких средних (дисперсионный анализ)

Оценка различий между средними в нескольких группах проводится методом дисперсионного анализа. В нем сравнивается разброс данных между группами с разбросом данных внутри групп.

При условии однородности дисперсий все дисперсии в группах si2 (2.7) оценивают одну и ту же внутригрупповую дисперсию s2: s12 = s22 =...= s2m = s2 . Тогда все выборочные дисперсии можно объединить, получив средний квадрат отклонений в группе (иначе – остаточную дисперсию) с числом степеней свободы ne = N -m

23

Остаточная дисперсия se2 – обобщенная оценка истинной внутригрупповой дисперсии s2, характеризующей разброс наблюдений внутри групп.

При равенстве дисперсий s12 = s22 =...= s2m = s2 различие между группами проявляется в разнице математических ожиданий в группах mi . Если все математические ожидания равны: m1 =m2 =...=mm =m, то различия между группами нет. В этом случае все группы являются выборками из одной и той же (нормальной) генеральной совокупности с математическим ожиданием m и дисперсией s2 .

Различие между группами оценивается по разбросу средних в группах xi (2.6) вокруг общего среднего x

Поскольку дисперсия выборочного среднего по k наблюдениям в k раз меньше дисперсии генеральной совокупности, то в оценке дисперсии между группами через выборочные средние xi каждое слагаемое берется со своим множителем ni :

Величина sg2 называется средним квадратом между группами или межгрупповой дисперсией; она характеризует разброс данных между группами. Число ее степеней свободы ng = m -1. Если гипотеза m1 =m2 =...=mm =m верна, то разброс между группами наблюдений только случайный, дисперсия генеральной совокупности совпадает с внутригрупповой дисперсией s2 и оба средних квадрата sg2 и se2 оценивают эту дисперсию. Если же реальное различие между группами существует (т.е. гипотеза m1 =m2 =...=mm =m не верна), то остаточная дисперсия se2 оценивает только дисперсию в группах, истинное значение которой, как и ранее равно s2 , а межгрупповая дисперсия sg2 оценивает истинную межгрупповую дисперсию, значение которой больше, чем s2 .

Поскольку принята гипотеза нормального распределения в группах, оценку различия дисперсий sg2 и se2 можно провести количественно, рассчитав F-критерий – отношение

24

Критерий (2.15) односторонний – альтернативная гипотеза (различия математических ожиданий в группах mi ) предполагает, что дисперсия в числителе отношения (2.15) больше дисперсии в знаменателе. Следовательно, если рассчитанное значение критерия (2.15) превосходит критическое значение одностороннего критерия Фишера с уровнем значимости a и с числом степеней свободы дисперсии в числителе ng = m -1 и дисперсии в знаменателе ne = N -m

этого утверждения не большим, чем a. Иначе говоря, если дисперсия между группами значимо больше остаточной дисперсии, то средние в группах различаются значимо, т.е. изменение свойства Х между группами заметно на фоне его разброса внутри групп. При противоположном знаке неравенства (2.16) гипотеза о равенстве математических ожиданий в группах m1 =m2 =...=mm =m не противоречит наблюдениям или средние в группах различаются незначимо.

2.2. Задание

F-критерия и, сравнив его с табличным значением с уровнем значи-

мости a = 0,05, проверить гипотезу о значимом различии дисперсий. 3.  Для выборочных средних x1 и x2 рассчитать значение t-критерия и, сравнив его с табличным значением с уровнем значимо-

сти a = 0,05, проверить гипотезу о значимом различии средних.

4.  Для выборочных дисперсий в группах s12,s22,s32,s42 рассчитать значение критерия Бартлетта В, и сравнив его с табличным значением критерия c2 с уровнем значимости a = 0,05, проверить гипотезу однородности дисперсий.

25

5.Провести дисперсионный анализ: рассчитать отношение дисперсии между группами к остаточной дисперсии, сравнить его со значением F-критерия с уровнем значимости a = 0,05, проверить гипотезу о значимом различии средних в группах.

6.Рассчитать доверительные интервалы истинных средних в группах с доверительной вероятностью 0,95. Построить диаграмму средних в группах с доверительными интервалами. Описать особенности диаграммы, если они есть.

2.3. Порядок выполнения задания

Задание 1 1.1. Составить таблицу, в которую заносить результаты расчетов.

1.2. Посчитать число данных в каждой группе ni.

1.3. Рассчитать числа степеней свободы дисперсий в группах ni =1.4.ni -Рассчитать1. суммы и суммы квадратов в каждой группе

26

1.5. Рассчитать выборочные средние в группах xi = Ci . ni

Задание 2

2.1. Рассчитать отношение дисперсий F = max((s12,s22)). min s12,s22

2.2. Сравнить рассчитанное в п. 2.1 значение F-критерия с табличным (табл. 4 приложения) с уровнем значимости a = 0,05. Учесть, что здесь применяется двусторонний критерий Фишера [см. неравенство (2.2)]. Сделать вывод о значимости различия дисперсий s12 и .

Задание 3

3.1.Для дисперсий s12 и s22 рассчитать объединенную дисперсию S2 (2.4) и число ее степеней свободы n = n1 +n2 .

3.2.Рассчитать по (2.3) значение t-критерия.

3.3.Сравнить рассчитанное значение t с табличным (табл. П1 приложения) с уровнем значимости a = 0,05 и числом степеней свободы n. Сделать вывод о значимости различия средних x1 и x2 .

27

4.5.  Рассчитать критерий Бартлетта (2.8) B = GD .

4.6.  Сравнить рассчитанное значение В с табличным критерия Пирсона c2 (табл. 3 приложения) с уровнем значимости a = 0,05 и числом степеней свободы m -1=3. Подтвердить (или опровергнуть) гипотезу однородности дисперсий.

Задание 5

4

5.1. Рассчитать общее число данных N = ∑ni и общее среднее

i=1

5.2. Рассчитать остаточную дисперсию как взвешенную сумму дис-

персий в группах s2 = 1 ∑4 n s2 [это другая форма выражения (2.12)].

Li=1

5.3.Рассчитать квадраты отклонения групп от общего среднего –e i i

слагаемые суммы (2.14) – Si = ni (xi - x )2 .

5.4. Рассчитать дисперсию между группами sg2 = 1∑4 Si . 3 i=1

5.5. Вычислить отношение дисперсий (2.15) F = sg2 . se2

5.6. Сравнить рассчитанное значение с табличным значением критерия Фишера Fa,m-1,N -m (табл. 4 приложения) с уровнем значимости a = 0,05 и числом степеней свободы дисперсии в числителе m -1=3 , дисперсии в знаменателе L. Сделать вывод о значимости различия нескольких средних в группах [см. неравенство (2.16)].

Задание 6 6.1. Рассчитать в каждой группе полуширину доверительного ин-

пользовать таблицы процентных точек t-распределения (табл.1 приложения) для a =1- P = 0,05.

28

Рис. 2.2. Средние в группах с 95% доверительными интервалами для математических ожиданий

Рассчитать нижние доверительные границы средних в группах

gi- = xi -Di .

Рассчитать верхние доверительные границы средних в группах

gi+ = xi + Di .

Построить график – диаграмму изменчивости средних в группах – на который нанести средние с 95%-ными доверительными границами (рис. 2.2). Описать график, отметить особенности данных (если они есть).

29

3.ПАРНЫЙ КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

ИЭЛЛИПС РАССЕЯНИЯ

3.1. Теоретическое введение

Выборочный парный коэффициент корреляции

Пусть имеются выборки двух случайных нормально распределен-

ных переменных X и Y – x1,x2,...,xn и y1,y2,...,yn , и каждая пара xi ,yi ( i =1,2,...,n ) получена в идентичных условиях, например, xi ,yi – два

свойства материала, измеренные в одном (i-том) эксперименте. Случайные переменные X и Y могут изменяться взаимосвязано, так, что с возрастанием одной переменной возрастает (или убывает) вторая. Такое изменение можно заметить на диаграмме рассеяния – точечном графике, на котором результаты экспериментов изображаются точками в плоскости с координатными осями x и y (рис. 3.1).

Если переменные X и Y изменяются закономерно, то точки на графике расположены не хаотично во всей области изменения переменных, а группируются около наклонной прямой (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Диаграмма рассеяния двух случайных переменных и эмпирический эллипс рассеяния

30