Математика. Сборник задач. Учебное пособие-1

Общий интеграл имеет вид: f1(x) dx 2 (y) dy 0 .

1(x) f2 (y)

Дифференциальное уравнение 1-го порядка y f (x, y) называется

однородным если f(x, y) можно представить как функцию только одного отношения переменных f(x, y) = (x/y), т. е. уравнение

y = u x + u, где u dudx .

Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид:

y P(x) y Q(x),

где P(x), Q(x) – заданные непрерывные функции от x или константы (содержит y и y в первой степени).

Решение линейного уравнения ищем в виде произведения двух функций, зависящих от x: y = uv, u = u(x), v = v(x), тогда y = u v + uv .

Подставляем в исходное уравнение u v uv Puv Q,

u v u (v Pv) Q .

Решение уравнения разбивается на решение двух уравнений:

Линейным однородным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

y р1 y р2 y 0,

где р1, р2 константы, функция и ее производные в первой степени.

Общее решение находится с помощью характеристического уравнения:

2 р1 р2 0,

72

которое получается из исходного дифференциального уравнения заменой

y = 1, y(n) n.

Находим корни характеристического уравнения: 1, 2.

Тогда общее решение линейного однородного уравнения получаем

ввиде:

1.если 1 2 – различные, действительные, то

yC1e 1x C2e 2x ;

2.если 1 = 2 – действительные, то

ye 1x C1 C2 x ;

3.если 1,2 = i – комплексно-сопряженные, то

y C1e x (C1 cos x C2 sin x) .

Линейным неоднородным уравнением 2-го порядка с постоян-

ными коэффициентами называется уравнение первой степени относительно функции и ее производной:

y р1 y р2 y q(x).

Отличие от линейного однородного уравнения – в правой части уравнения q(x) – известная функция от переменной x.

Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид: y yoo yчн , где yчн – какое-либо частное решение неоднородного

уравнения, yoo – общее решение соответствующего однородного

уравнения.

Для специальных видов функции q(x) частное решение yчн можно

найти методом неопределенных коэффициентов.

По виду правой части q(x):

1)q(x) emx P(x) , где P(x) многочлен;

2)q(x) eax (Acos bx B sin bx);

3)q(x) – сумма указанных функций.

73

В этих случаях yчн функция подобная q(x), т. е. отличается от q(x)

только числовыми коэффициентами. Но если в первом случае m и во втором случае + i – корни характеристического уравнения кратно-

сти k, то yчн отличается от q(x) множителем xk . Тогда

1)вид yчн – определяем по правой части уравнения;

2)подставляем yчн в исходное неоднородное уравнение;

3)сравниваем коэффициенты у подобных членов из обеих частей полученного равенства.

74

3. Найти частное решение линейного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

75

Признак сравнения I. Пусть даны два числовых ряда (2) и (3). Исследуется на сходимость ряд (2). Известно поведение ряда (3). Если начиная с некоторого номера n:

1) an bn – члены ряда (2) не больше соответствующих членов ря-

да (3), и ряд (3) сходится, то и ряд (2) также сходится;

2) an bn – члены ряда (2) не меньше соответствующих членов ря-

да (3), и ряд (3) расходится, то и ряд (2) также расходится.

Сравнение исследуемых рядов производится обычно со следующими известными рядами:

и расходящийся при p 1).

Признак сравнения II. Пусть даны два числовых ряда (2) и (3). Исследуется на сходимость ряд (2). Известно поведение ряда (3). Если

существует конечный предел lim an 0 , то оба ряда (2) и (3) либо n bn

одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же

lim an 0 , то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2). n bn

Если, в частности, общие члены сравниваемых рядов эквивалентны как бесконечно малые при n (an ~ bn), то оба ряда (в смысле сходимости) ведут себя одинаково.

Замечание. При оценке факториалов больших чисел и вычислении пределов, содержащих n!, часто бывает полезна формула Стирлинга

77

Признак Даламбера. Пусть дан числовой ряд (2). Если существует

предел lim an 1 q , то n an

при q < 1 ряд (2) сходится; при q > 1 ряд (2) расходится,

при q = 1 вопрос о сходимости ряда (2) остается открытым. Замечание. Признак Даламбера целесообразно применять тогда,

когда общий член ряда содержит факториал или содержит одновременно степенную и показательную функции относительно n.

Признак Коши (радикальный). Пусть дан числовой ряд (2). Если

существует предел lim n an q , то n

при q < 1 ряд (2) сходится; при q > 1 ряд (2) расходится,

при q = 1 вопрос о сходимости ряда (2) остается открытым. Замечание. Признак Коши (радикальный) целесообразно приме-

нять в том случае, если общий член ряда представляет собой n-ю степень некоторого выражения.

Интегральный признак Коши (основан на сравнении рядов с несобственными интегралами). Пусть общий член ряда (2) an = f(n) > 0. Если функция f(x), принимающая в точках x = n, n = 1, 2, 3, ... значения f(n), монотонно убывает в некотором интервале A < x < , где A > 1, то

n 1

в котором все un, n = 1, 2, 3, … – числа одного знака, называется зна-

кочередующимся.

Для знакочередующихся рядов справедлив следующий достаточный признак сходимости.

78

Признак Лейбница. Пусть дан знакочередующийся ряд (4). Если 1) un 1 un – члены, начиная с некоторого монотонно убывают по

абсолютной величине; 2) lim un 0 – выполнен необходимый при- n

знак, то ряд (4) сходится.

Пусть x0 , c0 , c1, c2 , , cn , – заданные числа. Ряд вида

c0 c1(x x0 ) c2 (x x0 )2 ... cn (x x0 )n ... cn (x x0 )n , (5) n 0

называется степенным. Членами ряда (5) являются степенные функ-

ции un cn (x x0 )n , а, c0 , c1, c2 , , cn , – называется коэффициентами ряда (5). Этот ряд всегда сходится, по крайней мере при x x0 .

При фиксированном x ряд (5) представляет из себя числовой ряд, который либо сходится, либо расходится.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений переменной x, для которых ряд (5) сходится.

Теорема Абеля. Если степенной ряд cn (x x0 )n сходится при n 1

x x1 0 ,то он сходится, и притом абсолютно, для всех значений x, удовлетворяющих неравенству x1 x0 x x0 x1 x0 . Если же степенной ряд расходится при x x1 , то он расходится и для всех значений x, для которых x x0 x1 x0 .

Из теоремы Абеля вытекает:

1)всякая точка сходимости степенного ряда (5) расположена не дальше от точки x x0 , чем всякая точка его расходимости;

2)существует интервал x0 R x x0 R , для всех точек x кото-

рого степенной ряд сходится, а для всех x, таких что x x0 R – рас-

ходится.

Интервал (x0 R; x0 R) , внутри которого ряд сходится, а вне его расходится называется интервалом сходимости, а число R – радиу-

79

сом сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного ряда можно вычислять по одной из формул

при условии, что пределы, в них входящие, существуют.

Замечание. Для каждого степенного ряда вида (5), если только он не является всюду расходящимся, область сходимости представляет собой сплошной промежуток от x0 R до x0 R , со включением кон-

цов или нет. Промежуток этот может быть точкой (x0 ) или быть бес-

конечным.

Замечание. Внутри области сходимости, степенной ряд (5) сходится абсолютно. Исследовать степенной ряд на сходимость – значит, найти интервал его сходимости и выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости.

Замечание. При фиксированном x степенной ряд (5) представляет из себя конкретный числовой ряд (знакопеременный – в общем случае). Для этого ряда (если он знакопеременный) сначала проводится исследование на абсолютную сходимость, т. е. составляется ряд из модулей. Следовательно, для определения области сходимости степенных рядов можно использовать признак Даламбера, т. е. нужно найти

те значения x, при которых предел lim un 1 1, а затем отдельно ис- n un

следовать те значения x, при которых данный предел равен единице. Разложение в степенной ряд (ряд Маклорена) некоторых элемен-

тарных функций:

80