Математика. Сборник задач. Учебное пособие-1

35)

x arctg 2xdx ;

36)

x2 sin(2x)dx ;

37)

x ln(x2 1)dx ;

38)

x arccos xdx ;

39)

x ln(x 1)dx ;

40)

x2arctg xdx .

41)

xdx

;

42)

5x 2dx ;

x2 2x

1

x3 x

43)

x3dx

;

44)

x 1

dx ;

x4

2x3 x2

x2

3x

2

45)

x3

12x 7

dx ;

46)

x3

2

dx ;

x3

x2

x2

5x

6

47)

x3

12

dx

;

48)

x3

6

dx .

x2

4x

5

x2

5x

6

49)

1

dx ;

50)

1

dx ;

3cos x

4sin x

2sin x cos x

2

51)

1

dx ;

52)

1

dx ;

4cos x

3sin x 5

1

5sin2 x

53)

sin 2x

dx ;

54)

1

dx ;

1

2sin x sin 2x

4cos2 x

55)

(sin x sin3 x)

dx

;

56)

(cos3 x cos5 x)

dx ;

cos 2x

sin2 x sin4 x

57)

sin2 x

4 cos2 x

4 dx ;

58)

sin 3x sin xdx ;

59)

cos5 x dx ;

60)

sin3 x cos2 xdx ;

sin x

61)

sin4 xdx ;

62)

cos5 xdx .

1

2 sin3 2x dx ;

x

1

1)

2)

dx ;

3)

x2 cos 2x dx ;

2

4

0

0 x

0

2

x

1

2

4)

dx ;

5)

x ln(x2

1)dx ;

6)

(ex 3)exdx ;

1)3

0 (x

0

1

5

dx

1

7)

xsin 2xdx ;

8)

;

9)

xarctg(2x)dx ;

x ln x

2

2

1 2

3

x

2

10)

dx ;

11) 4xe 2xdx .

4

1 x

1

1

3. Найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями:

1) x y = 4, y = x, x = 4;

2) y 3x2 2x 7, y x 13 ;

3) 3y x2 6x , y = x;

4) x y 4 , y = 0, x = 1, x = 4;

5) y = – x2 + 3x + 7, y = 2x + 1;

6) y x2 4x , y = x + 4;

7) y2 4 x , x + 3у = 0;

8) y x2 , 4y x2 ,; x 2 ;

9)

y x2 6x 5,

y 2x 7 ;

10) y x2

3x 7, y 2x 1;

11) y 3x2

2x 7, y x 13 .

4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой,

заданной в пара-

3

t,

x 8cos

метрическом виде:

y sin3 t.

фигуры, ограниченной линиями y x ex ;

y 0;

x 1.

1)

8cos3 , 3, ( 3) ;

2)

2cos 4 , 1, ( 1)

9. Вычислить длину дуги кривой:

1)

2(1 cos ) ;

2)

y2 x3, 0 x 4 / 3 .

10. Вычислить площадь поверхности вращения дуги вокруг оси OX

1)

y sin x, 0 x ;

2)

y2 2x, 0 x 1,5 .

11. Найти объем тела вращения дуги вокруг оси OX

1)

y 3 x2 , y x2 1 ;

2)

y (2 x)

x, y 0 ;

3)

y 2x , y x 1 ;

4)

( y 1)2 x, x 1.

12. Вычислить несобственный интеграл или установить его расхо-

димость:

x

5

dx

x

1)

dx

;

2)

;

3)

dx ;

0 (x 1)3

1 x ln x

1 x2

x 1

2

1

dx

1

dx

xsin xdx ;

4)

5)

cos

3 ;

6)

;

2

x

2

x

4

1

0

x

0 x

xdx

ln x

е

dx

7)

;

8)

dx

;

9)

;

x2 5 3

x3

ln3 x

2

1

1 x

2

x3dx

10)

.

4 x2

0

zx

z

lim

f (x x, y) f (x, y)

,

x

x

x 0

zy

z

lim

f (x, y y) f (x, y)

.

y

y 0

y

Полный дифференциал: dz z dx

z dy dx z d y z , где dx z ,

d y z – частные дифференциалы.

x

y

Дифференциалы высших порядков:

2

d 2 z d(dz) d

z dx

z dy

dx

dy z

x

y

x

y

n

d n z d(d n 1z)

dx

dy z .

x

y

Производная сложной функции z = f(x; y),

в случае если x = x(t),

y = y(t):

dz

z

dx

z

dy .

dt

x

dt

y

dt

grad f (x; y; z)

M (x ;y ;z )

f

i

x

0 0 0

M (x

;y

;z

0

)

0

0

f

f

y

j

z

k

M (x

;y

;z

)

M (x ;y ;z )

0 0 0

0

0

0

Производная по направлению вектора a

от функции w = f(x; y; z) в

точке M (x0 ; y0 ; z0 ) :

f

grad f (x; y; z)

M (x ;y ;z )

a

0 0 0

.

a

M (x ;y ;z )

a

0

0

0

Уравнение нормали

к поверхности

F(x; y; z) = 0 в

точке

M (x0 ; y0 ; z0 ) :

x x0

y y0

z z0

.

Fx (x0; y0; z0 )

Fy (x0; y0; z0 )

Fz (x0; y0; z0 )

Необходимое условие экстремума. Если в точке M (x0 ; y0 )

диф-

; y0 ) ,

; y0 ) ,

A B

AC B

2

.

A fxx (x0

B fxy (x0

; y0 ) , C f yy (x0

B C

Тогда: 1) если > 0, то функция f(x; y) в точке M (x0 ; y0 )

имеет экстре-

1)

z ln(x2 y2 R2 ), R 0 ;

2)

z x arccos( y) ;

3)

z

y sin x ;

4)

z

1

(x y)2 ;

5)

z

1

;

6)

z

x2 4 4 y2 ;

y x

7)

u(x; y; z) arccos(x / 2) arcsin( y / 2) arctg(z) ;

1)

z (5x2 y – y3 7)3 ;

2)

v arctg (u / t)

;

3)

z(x, y) cos(x2 y2 ) – ln (xy) ;

4)

z(x, y) exy y2cos(x) ;

5)

z(x, y) arctg (x2 y2 ) ;

6)

z(x, y) 2x – cos(x) sin( y) .

3.

Найти частные производные второго порядка:

2 z

,

2 z

,

2 z

:

x2

y

2

x y

1)

z(x, y) cos (x2 y2 ) – ln(xy) ;

2) z(x, y) arctg (x2 y2 ) .

4. Найти производную функции u xz2

x3 y в точке M0 (2; 2; 4)

нением x2 – y2 – 3z 12 0 .

5. Найти

угол

между

градиентами

функций

u f (x, y, z) и

v g(x, y, z)

в точке M0 x; y; z :

xz2

1

1

1)

u

, v 6 6x3 6 6y3

2z3 ,

M0

;

;1

;

y

6

6

x3 y2

3

4

1

1

2)

u

, v

,

M0 1;2;

;

z

x

y

6z

6

u

6

6

2

yz

2

1

1

1

3)

,

v

,

M0

;

;

;

2x

2 y

3z

x

2

2

3

u

1

, v

4

2

2

1

,

M0

2;

1

;

1

4)

.

x2 yz

x

9y

3z

3

6

6. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхно-

сти F(x, y, z) 0 в заданной на ней точке M0 x; y; z :

1) (8 – z2 )x2 –4 y2 0, M0 2; 2; 2 ;

2)

x y ln (z2 y2 ) 0,

M0 (–1; 1; 0);

3)

x2 z y2 z –4 0,

M0 (–2; 0; 1).

7. Дана

функция

z(x; y),

точка

A(x0 ;

y0 )

и

вектор a = (a1; a2 ) .

Найти: 1) grad (z) в точке A; 2) производную в точке A по направлению

вектора a :

1)

z 2x2 y ,

A(1; 2),

a = (3; 4);

2)

z 2x2 xy ,

A(–1; 2),

a = (3; 4);

3)

z arctg (x y2 ) ,

A(–1; 1),

a = (1; –1);

4)

z 5x2 y 3xy2 ,

A(1; 1),

a = (6; –8);

5)

z ln(3x2 2xy2 ) , A(1; 2),

a = (3; –4);

6)

z 2x2 / y 3x / y2 ,

A(1; 2),

a = (3; 4).

8. Найти экстремумы функции во всей их области определения:

1)

z x2 2xy 3y2 1;

2) z x2 x y 3y2 ;

3)

z x2 xy y2 ;

4) z 2x2 xy 4y2 ;

5) z x2 2xy 3y2 ;

6) z = y2 + 2xy – x2 – 4y.

9. Исследовать заданную функцию z = z(x,y) на условный экстре-

мум при условии (x,y) = 0.

1)

z 4 – 2 y2 x2 , y x2 –1 0;

2) z 1 xy2 , 1 2 y – x / 3 0;

3 )z 4 – 2x2 – y2 , y – 4x2 4 0;

4) z x2 y, x2 y –1 0;

5)

z x2 xy – 2,

y – 4x2

4 0;

6) z x2 2xy –10, y – x2 4 0.

1)

z x2 2y2 1,

x 0,

y 0,

x y 3 ;

2)

z 3 2x2 xy y2 ,

x 1,

y 0,

y x ;

3)

z x2 3y2 x y,

x 1,

y 1,

x y 1 ;

4)

z x2 2xy y2 4x,

x 0,

y 0,

x y 2 0 ;

5)

z x2 xy,

1 x 1,

0 y 3 .

11.

Вычислить приближенное значение:

1)

3 (3,98)2 (3,03)2 2 ;

2) 1,083,97 ;

3) 1,942 e0,12 ;

4) 22,95 100,09;

5) 3,022,98;

6) sin29 46 .

12. Изменить порядок интегрирования:

1

0

0

0

1)

dy

f (x, y)dx dy

f (x, y)dx ;

2

2 y

1

y

1

y

2

2 y

2)

dy

f x, y dx dy

f x, y dx ;

0

0

1

0

1

3 y

2

2 y

3)

dy

f x, y dx dy f (x, y)dx ;

0

0

1

0

1

0

2

0

4) dy f x, y dx dy

f (x, y)dx ;

0

y

1

2 y2

1

0

0

0

5) dy

f x, y dx dy f (x, y)dx ;

2

2 y

1

3 y

1

x2

2

2 x2

6) dx f x, y dy dx

f (x, y)dy .

0

0

1

0

x2 y2 2x 0,

x2 y2 8x 0,

y

x

, x 0.

3

x2 y2 2,

x

y, x 0,

z 0,

z 15y.

z

x2 y2 ;

z2 4x .

x2 y2 4 y 0,

x2 y2 6 y 0,

y 3x,

x 0.

x y 8,

y 4x,

z 3y,

z 0.