Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика. Сборник задач. Учебное пособие-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Формулы дифференцирования

(u ) u 1 u ,

в частности

u ;

(

ln u

в частности (e

)

u ;

(loga u)

в частности (ln u)

u ln a

5)(sin u) cosu u ;

6)(cosu) sin u u ;

7)(tgu) cos12 u u ;

8)(ctg u) sin12 u u ;


9) (arcsin u)		1				u ;
		1 u2
10)	(arccosu)			1				u ;
				1 u2
11)	(arctgu)	1			u ;
		1 u2
12)	(arcctg u)			1			u .
			1	u2

Задачи

1. Найти производные указанных функций:
1) y x3 x2 / 5 2x 4 ;	2)	y	x	3		9		;
				x
							x2
3) y x3 x 3sin1 ;	4)	y	1		2			7x ;
			3 x2		x5

5) y 5 2x 3 ctg x ;				6)	y tg x ctg x ;
		4
7)	y 10arctg x 7ex ;			8)	y x3 log2 x ;
9)	y (x2	x 1) (x2	x 1) ;	10) f (t) 1		et ;
	z	y 1 arcsin y .			1	et
11)	z	y 1 arcsin y .
2. Найти производные указанных порядков:
1)	y tg3x, y ? ; 2)		y x cos x,		y ? ; 3) y ln2 x,		y ? ;
4)	y x ln x, y ? ; 5) y e2x , y(V ) ? .

3. Найти производную и дифференциал заданных функций:

			5		5				4x			2	3x 5
1)	y 3x4			2	;	2)	y									;
			4 x										x
3)		y 3 x 5 ;				4)		y arccos 2x								1 4x2 ;
5)	y (x2 tg x 1)10 ;					6)	y ln						x2	;
											1 5x
7)		y 2tg x x sin 2x ;				8)		y				6x			63 2 2x ;
									3 2 2x

9)		y 3 (4 2x2 )5 ;				10)		y				x arctg				x ;
11)		y e3x 2x tg3x ;				12)		y sin(cos x) ;
13)		y arctg (1/x) ;				14)		y x2 sin3x ;
15)		y cos(2x) ln(x2 1) ;				16)		y		1 tgx				;
										1 tgx

		y sin2 (3x) ;														7
17)						18)		y cos2 (x 2) x3 ln x ;
19)		y 10x tg(2x) 3 ;				20)		y e2x sin x2 ;
21)		y arctg (2x 3)e3x ;				22)		y e x2 e2x ;

23)

y (x2 1) ln x 3 ;

24)

y x2 ln x sin 3 ;

25)

y (x 5)lg x ;

26)

y x5ctg(7x 2) ;

x sin x 10 ;

27)

y arcsin (2x x3 ) ;

28)

y x2 7

x 1

29)

y 3x 1 sin x ;

30)

y arccos(x2 1) ;

31)

x cos x ;

32)

y sin x2

sin3 2x ;

33)

y ln(1 tg x) ;

34)

y 2cos3(x) ;

35)

y arcsin

x 5 ;

36)

y 5 2x xsin x2 ;

37)

y ln

1 5x

;

38)

y ln 3

sin6 x

;

39)

y e x 1

;

40)

y e x cos

2x ;

x 2

2 x

)

41)

y x

;

42)

x tg (t

;

1 sin2 t

x 0.5sin t

43)

x arcsin(t

;

44)

y arccos 2t

cos3(0.5t2 )

4. Найти предел, используя правило Лопиталя:

lim x ctg2x ;

lim

ln(x 5)

;

x 0

x 4 x 3

3) lim arcsin(4x) ; x 0 5 5e 3x

5)	lim		x2 x 1		;
			ln(1 x2 )
	x
7)	lim	ln(2x 1) ;
	x		3 2x 3
		1		x
9)	lim					;
				x 1
	x 1 ln x

4)	lim	1	1	;

			ex 1
	x 0	x

6)	lim ln(x 7) ;
x		3 x 3
8)	lim	3 x ln x ;
x 0
10)	lim	arctg (4x)	;
	x 0	2 2e 2x

11) lim x3 4x2 4x ; x 2 x3 12x 16

13) lim (x2 x 1)1/ x ; x 0

15) lim (e2x x)1/ x ; x 0

17) lim (ctg (x))1/ln(x). x 0

12)	lim			1	1	;
				1

	x 0	sin(x)			x
14)	lim		sin(x)		tg(x) ;
	x
	2
16)	lim x3/(1 ln(x)) ;
	x 0

5.Средствами дифференциального исчисления найти экстремумы

иточки перегиба функции:

1)y x3 – 9x2 24x –16;

2)y x3 – 11x2 39x – 45;

3)y x3 6x2 9x 4;

4)y x3 x2 – 5x 3;

5)y 1(1 x2 );

6)y x – ln (x 1);

7)y e x2 .

6. Найти уравнение касательной и нормали в точке перегиба функ-

ции y = x3 – 3x2 + 3x – 5.

7. Найти угол между касательными к графику функции

f (x) x3 4x2 3x 1 , проведенными в точках с абсциссами

x 0 и

x1 1.

8. Найти асимптоты функции:

(x 3)2

2 4x2

;

4(x

1 4x2

3 x2

x3 1

;

x 2

4x2

9. Вычислить приближенное значение:

1) sin 31 ;

2) 4 15 ;

3) 4 256,96 ;

4) 5 32,85 .

10. Исследовать функцию средствами дифференциального исчисления и построить ее схематический график:

f (x)

;

f (x)

2x2

;

4(x

4x2 1

f (x)

2x 1

;

f (x)

(x 1)3

;

2x2

f (x) (x 1)2 e

;

f (x)

x 1

arctg (x) .

11.Найти наибольшее и наименьшее значения функции y x4 2x2 3 на отрезке [ 2; 3] .

12.Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 2x2 20x 3 на отрезке 1; 9 .

13. Представить функцию				y f (x)	в виде многочлена пятой степе-
ни относительно двучлена x – x0 :
1)	y 3 x ,	x 1 ;		2)	y ln(5x 3) ,				x –2 / 5 ;
		0							0
3)	y sin x 4 ,		x0 2 ;	4)	y	1		,	x0 1 .
3)	y sin x 4 ,		x0 2 ;	4)	y	x)	2	,	x0 1 .
					(3	x)

7. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СВОЙСТВА

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a; b) , если для любого x (a; b) выполняется равенство

F (x) f (x) .

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется семей-

ство первообразных F(x) + С, где С – произвольное число, и обознача-

ется:	f (x)dx F(x) C .
Свойства неопределенного интеграла
1)	d f (x)dx f (x)dx, f (x)dx	f (x) ;
2)	dF(x) F(x) C ;
3)	af (x)dx a f (x)dx, a const 0 ;

4)( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx ;

5)Если f (x)dx F(x) C , то и f (u)du F (u) C, u (x) .

Таблица неопределенных интегралов

1) 0dx C ;

x 1

2) x dx 1 C, 1 dx x C ; 3) dxx ln x C ;

4) axdx	ax	C ;
	ln a

5)exdx ex C ;

6)sin xdx cos x C ;

7)cos xdx sin x C ;

8)tg xdx ln cos x C ;

9)ctg xdx ln sin x C ;

10)cos12 x dx tg x C ;

11)sin12 x dx ctg x C ;

12)sin1 x dx ln tg 2x C ;

C ;

13)

cos x

14)

arcsin

C ;

x2 a2

C ;

15)

x2 a2

16)

1 arctg

C ;

a2 x2

17)

a x

C ;

a2 x2

a x

18)

a2 x2 dx

a2 x2

a2 arcsin

C ;

19)

x2 a2 dx

x2 a2

a2 ln

x2 a2

C .

Формула интегрирования по частям: udv u v vdu .

	b		ba F(b) F(a) .
Формула Ньютона-Лейбница: f (x)dx F(x)


	a
Площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми f1(x) и f2 (x) ,
прямыми x = a, x = b при условии		f1(x) f2 (x) можно найти по фор-
муле:
b	b	b
S f2 (x)dx f1(x)dx ( f2 (x) f1(x))dx .
a	a	a

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат, ограниченной непрерывной линией r = r( ) и двумя лучами = и = :

S1 r2 ( )d . 2

Длина дуги плоской кривой AB, описываемой уравнением y = f(x), где a x b:

b		2
l			dx .
	1 f (x)

Длина дуги плоской кривой AB, заданной в параметрической форме

x x(t),			2		2
	t : l		2		2	dt .
	t : l	x (t)		y (t)		dt .
y y(t),

Длина дуги плоской кривой AB, заданной в полярной системе координат:

	r( )	2		2
r = r( ), : l					d .
			r ( )

Объем тела вращения вокруг оси OX криволинейной трапеции ограниченной непрерывной линией y = f(x), f(x) 0, где a x b:

Vx y2 (x)dx .

Объем тела вращения вокруг оси OY криволинейной трапеции ограниченной непрерывной линией x = (y), (y) 0, где c y d:

Vy x2 ( y)dy .

Площадь поверхности вращения вокруг оси OX криволинейной трапеции ограниченной непрерывной линией y = f(x), f(x) 0, где a x b:

b	2
	2	dx .
Sx 2 y(x) 1 y (x)		dx .

Задачи

1. Найти неопределённые интегралы, результаты проверить дифференцированием:

с использовавнием свойств и таблицы неопределенных интегралов:

1) (x

x cos x)dx ;

dx ;

1 x2

3)	ctg x x3 3			x dx ;	4)	(x 2 5x 1 3sin x)dx ;
5)		x2 x x 1	dx ;		6)	(2ex 2 x )dx ;

		x
		(4x 5x )dx ;				1
7)					8)		x dx ;

						cos2 x

9)1 2x x2 dx ;

11) 1 1x2 ex 1 dx ;

	1		1

10)	1 x2		4 x2		dx ;
	1 x2		4 x2
	1		1
12)	1	x

	1 x2			dx .
	1 x2

с использовавнием приема внесения функции под знак дифференциала или замены переменной:

	(x 1)4		3sin(2x 1) dx ;							1				1
13)								14)							dx ;
											2x		4x 3
									sin2
		1		2x 1		2				1				3x
15)			2		(x 1)		dx ; 16)					2		dx ;
										4	4x2
		3x 1

			1		1

17)		7x 4			1 9x2		dx ;
		7x 4			1 9x2
19)		1 2x2		dx	;
19)	xe			dx	;
21)				1		dx
21)		x	3		(x 3)3	dx
		x	3		(x 3)3
23)	xex2 dx ;
25)	esin x cos xdx ;

27) sincos3xx dx

29) ln2 x dx ; x

с использовавнием метода

31) xe1 2xdx ; 33) arctg xdx ;

18)	(tg10x 102x 10 )dx ;
20)			dx		;
20)		x ln x			;
		x ln x
22)			xdx				;
22)							;
			x2 4
24)	x3			x4		5dx ;
26)	x2 cos x3dx
28)			x2			dx ;
28)		9	x6			dx ;
		9	x6
30)					1			dx .
30)		(2 x)				1 x		dx .
		(2 x)				1 x
интегрирования по частам:
32)	xsin 2xdx ;
34)	x arccos xdx ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]