Математическая логика и теория алгоритмов. Учебное пособие-1

УДК 510.6(07) ББК 22.122я73 М693

Рецензенты:

А. К. Шлепкин, доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика и компьютерное моделирование» КрасГАУ;

Н. Г. Сучкова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и компьютерная безопасность» ИКИТ СФУ

Михальченко, Г. Е.

М693 Математическая логика и теория алгоритмов : учеб. пособие / Г. Е. Михальченко. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 74 с.

ISBN 978-5-7638-3932-6

Кратко изложен теоретический материал по дисциплине «Математическая логика и теория алгоритмов», приведены примеры решения типовых задач, представлены задачи различной сложности для решения на практических занятиях и самостоятельной работы.

Предназначено для студентов направления 09.03.02 «Информационные системы и технологии», а также других направлений (09.03.04 «Программная инженерия», 27.03.03 «Системный анализ и управление», 27.03.04 «Управление в технических системах»).

3

ВВЕДЕНИЕ

Математическая логика, как и классическая, исследует процессы умозаключений и позволяет из истинности одних суждений делать выводы об истинности или ложности других независимо от их конкретного содержания. Использование в логике математических методов (алгебраизация логики и построение логических исчислений) стало началом развития математической логики – новой области математики. Основная задача математической логики – это формализация знаний и рассуждений. Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, поэтому математическая логика, по существу, – наука о математике.

Математическая логика дала средства для построения логических теорий и вычислительный аппарат для решения задач. Она нашла широкое применение в различных областях науки и техники (например, в лингвистике, в теории релейно-контактных схем, в экономике, в вычислительной технике, в информационных системах и др.). Понятия математической логики лежат в основе таких ее приложений, как базы данных, экспертные системы, системы логического программирования. Эти же понятия становятся методологической основой описания анализа и моделирования автоматизированных интегрированных производств.

Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. На практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и, соответственно, входит в языки программирования. Это важнейшее практическое приложение методов математической логики.

4

Алгебра высказываний

ГЛАВА 1. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

1.1.Высказывания и операции с ними

Визвестном труде Аристотеля «Органон» (IV в. до н. э.) есть раздел

оправильных умозаключениях «Силлогистика». До XVII века в Европе логика развивалась на основе логики Аристотеля. Попытку превратить логику в математическую науку в XVII веке предпринял Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716), но решительного успеха не добился. Однако в современной математической логике его конструктивный подход отражается в применении так называемых таблиц истинности.

Современный вид математическая логика приобрела в 80-е годы XIX века в трудах Готлиба Фреге (1848–1925). Он построил аксиоматику логики высказываний, ввел понятие предиката и др.

Определение. Высказыванием называется повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным. Истина («И» или «1») и ложь («Л» или «0») называются истинностными значениями высказываний.

Высказывания обозначаются буквами A, B, C, …; их истинностные значения [A], [B], [C], … соответственно. Таким образом,

[A] = 1, если A истинное высказывание;0, если A ложное высказывание.

Примеры:

1)A – «2 – простое число», [A] = 1;

2)B – «Cолнце светит» [B] = 1, если солнце светит;

3)C – «x + y > 1» – не высказывание;

4)D – «3 < 1», [D] = 0.

Приведенные высказывания нельзя разбить на части, также являющиеся высказываниями. Высказывания «Неверно, что 3 < 1» или «2 – простое число», или «3 < 1» таковыми не являются. Высказывания, построенные из простых с помощью связок «не», «и», «или» и сочетаний «если ..., то ...», «... тогда и только тогда, когда ...» носят специальные названия. Приведем соответствующие определения.

Определение. Отрицанием высказывания A называется высказыва-

ние A («Не A», «Неверно, что A»), которое истинно тогда, когда A ложно и ложно тогда, когда A истинно.

Данное и следующие далее определения удобно приводить с помощью так называемой таблицы истинности. Для отрицания она имеет вид

5

Глава 1

Если A – «2 – простое число», то A – «Неверно, что 2 – простое число» или «2 не является простым числом». Если B – «Солнце светит», то

B – «Неверно, что солнце светит» или «Солнце не светит». Определение. Конъюнкцией высказываний A и B называется вы-

сказывание A ˄ B («A и B»), которое истинно тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Таблица истинности операции конъюнкции имеет вид

Пример. Если A – «2 – простоечисло», B – «Солнце светит», то A ˄B – «2 – простое число и солнце светит».

Определение. Дизъюнкцией высказываний A и B называется высказываниеA ˅B («A илиB»), котороеложнотогдаитолькотогда, когдаложны оба высказывания.

Таблица истинности операции дизъюнкции имеет вид

Определение. Импликацией высказываний A и B называется высказывание A → B («Если A, то B», или «Из A следует B»), которое ложно тогда и только тогда, когда A истинно, а B ложно. При этом A называется посылкой, B – следствием или заключением.

Таблица истинности операции импликации имеет вид

Пример. Предложение «Если я лягу поздно, то встану тоже поздно» является импликацией высказываний «Я лягу поздно» и «Я встану поздно».

6

Алгебра высказываний

Определение. Эквиваленцией высказываний A и B называется высказывание A ↔ B («A тогда и только тогда, когда B», или «A необходимо и достаточно для B»), которое истинно только тогда, когда оба высказывания имеют одинаковые истинностные значения.

Таблица истинности операции эквиваленции имеет вид

Пример. Определитьистинностноезначениевысказывания A B C ,

если [A] = 0, [B] = 1, [C] = 0.

Решение.

Из определения конъюнкции высказываний следует, что [B ˄C] = 0. Из определения отрицания высказывания следует, что [ B C ] = 1. Из

определения операции эквиваленции следует, что [ A B C ] = 0. Коротко эти рассуждения можно записать так:

0

1

0

Пример. Определить истинностное значение высказывания (P ˅ Q) →

(R ↔ S ), если [P] = 1, [Q] = 0, [R] = 0, [S] = 0.

Решение.

1.2. Формулы алгебры высказываний

Определение. Пропозициональной переменной называется переменная, обозначающая высказывания.

Обозначения – P, Q, R, … A, B, C, … X, Y, … .

7

Глава 1

Определение.

1.Пропозициональная переменная является формулой.

2.Если F и G – формулы, то формулами также являются

( F ), (F ˄ G), (F ˅ G), (F → G), (F ↔ G),

3. Других формул нет.

Примеры:

1)((X ˅ Y) → Z), ((( X ) → Y) ↔ X) – формулы;

2)(Z ˅ (X ˄ Y)) и ((Z ˅ X) ˄ Y) – разные формулы;

3)Z → X ˅ Y – не формула.

Далее рассмотрим классификацию формул алгебры высказываний, для чего понадобится понятие интерпретации формулы.

Определение. Говорят, что задана интерпретация I = (A1, A2, …, An) формулы F(X1, X2, …, Xn), если в ней переменные заменяют определенными высказываниями: X1 = A1, X2 = A2, …, Xn = An.

Высказывание, полученное в результате интерпретации, будем обозначать

F(I) = F (A1, A2, …, An).

Формулы алгебры высказываний делятся на четыре (иногда на три) вида, в зависимости от истинностных значений высказываний, которые можно получить в результате интерпретаций этих формул.

Определение. Формула F называется тавтологией (|= F) или тождественно истинной, если при любой интерпретации I она становится истинным высказыванием

I ([F(I)] = 1).

Пример. Показать, что тавтологиями являются формулы

X ˅X , (X ˄ Y) → X.

Решение.

Достаточно составить их таблицы истинности:

8

Алгебра высказываний

Определение. Формула F называется выполнимой, если существует такая её интерпретация I, в результате которой она становится истинным высказыванием

I ([F(I)] = 1).

Составив таблицу истинности для формулы (X ˅ Y) → X, можно убедиться в том, что она выполнима.

Определение. Формула F называется опровержимой, если существует такая её интерпретация I, в результате которой она становится ложным высказыванием

I ([F(I)] = 0).

Приведенная выше выполнимая формула одновременно является и опровержимой (нужно взять интерпретации, при которых [X] = 0, [Y] = 1).

Определение. Формула F называется противоречием или тождественно ложной, если при любой интерпретации I она становится ложным высказыванием

I ([F(I)] = 0).

Упражнение. Показать, что противоречиями являются формулы

X X , ( X Y ) X .

Приведем теоремы, полезные для отыскания тавтологий.

Теорема. Если формула F – тавтология, то формула F – противоречие и наоборот.

Теорема (правило заключения). Если формулы F и F → G – тавто-

логии, то формула G также является тавтологией.

Доказательство: Проведем доказательство от противного то есть предположим, что G не является тавтологией. Тогда существует такая интерпретация I0, при которой [G(I0)] = 0. Так как [F(I0)] = 1, то [F(I0) → G(I0)] = 0. Это противоречит условию теоремы о том, что F → G тавтология. Значит наше предположение неверно и G – тавтология. Теорема доказана.

Теорема (правило подстановки). Если формула F(…, X, …), содер-

жащая переменную X, является тавтологией, то формула F(…, G, …), полученная подстановкой в формулу F вместо переменной X любой формулы G, также является тавтологией.

1.3. Отношения логического следования и равносильности

Рассмотрим отношение логического следования между формулами алгебры высказываний.

9

Глава 1

Определение. Формула G логически следует из формулы F, если при всех интерпретациях I, при которых F(I) истинно, G(I) также истинно. При этом пишут F => G.

Пример. Доказать, что (X ˄ Y) ˄ Z => X.

Доказательство следует из того, что конъюнкция (X ˄ Y) ˄ Z истинна тогда и только тогда, когда истинны все ее компоненты, значит, когда истинно X.

Пример. Доказать, что P → Q => P ˅ Q.

Данное отношение между формулами становится очевидным, если построить таблицы истинности для обеих формул:

Теорема. Из F логически следует G тогда и только тогда, когда тавтологией является импликация F → G.

Доказательство:

1.ПустьF => G. ТогдадлякаждойинтерпретацииI, такойчто[F(I)] = 1,

имеем [G(I)] = 1. Поэтому [F(I) → G(I)] = 1, то есть |= F → G.

2.Пусть |= F → G. Тогда для тех I, для которых [F(I)] = 1, также

[G(I)] = 1. По определению логического следования это означает, что

F => G.

Теорема доказана.

Данное выше определение понятия логического следования обобщается следующим образом.

Определение. Формула G логически следует из формул F1, F2, …, Fk. (F1, F2, …, Fk => G), если при всех интерпретациях, при которых истинны F1(I), F2(I), …, Fk(I), истинно высказывание G(I).

Теорема. Из F1, F2, …, Fk логически следует G тогда и только тогда, когда тавтологией является импликация (((F1 ˄ F2) ˄ …) ˄ Fk) → G.

Рассмотрим пример применения на практике понятия логического следования.

Пример. Верно ли рассуждение?

Если я пойду завтра на первое занятие, то должен буду встать рано, а если я пойду вечером на танцы, то лягу спать поздно. Если я лягу спать поздно, а встану рано, то я буду вынужден довольствоваться пятью часами сна. Я не в состоянии обойтись пятью часами сна. Следовательно, я должен или пропустить завтра первое занятие, или не ходить на танцы.

10