Элементы математической статистики. Учебное пособие-1

Теснота зависимости двух случайных величин определяется коэффициен-

В уравнении yx ax b величина x является факторным признаком, а

величина yx – результативным признаком.

Число r 2 100% показывает, сколько процентов общей вариации объясняется изменением факторного признака.

Пример. Дана таблица значений величин x и y :

1)Определить зависимость между величинами с помощью линейной регрессии.

2)Установить силу связи между величинами.

3)Найти координаты корреляционного центра.

4)Найти процент общей вариации.

5)Найти относительную погрешность вычислений.

6)Построить график данных и регрессии.

Решение.

31

2.Составим уравнение регрессии вида: yx ax b .

Так как r 0,984, то связь между величинами по шкале Чеддока весьма

высокая или тесная.

3. Найдём координаты корреляционного центра, как точку пересечения линейных уравнений регрессии. Для этого решим систему уравнений:

Следовательно, (24,9951;1,4751) – координаты корреляционного центра, которые указывают на оптимальное соотношение данных величин.

4. Найдём процент общей вариации: r2 100%.

32

Получим: ср 10,52%4 2,63%.

6. Построим график данных в виде точек с координатами (xi ; yi ). Графиком линейной регрессии является прямая линия y 0,021x 2,

проходящая через точки (10;1,79) и (40;1,16).

Рис. 14

9. РАНГОВАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Рассмотрим выборку объема п, элементы которой обладают двумя качественными признаками: А и В (качественный признак невозможно измерить точно, но можно расположить объекты в порядке убывания или возрастания качества).

33

Расположим элементы выборки в порядке ухудшения качества по признаку А. При этом зададим каждому объекту ранг хi, равный его порядковому номеру в последовательности объектов: xi = i. Затем расположим элементы выборки в порядке убывания качества по признаку В и присвоим каждому второй ранг: yi, где номер i – это номер объекта в первой последовательности рангов. Таким образом, получены две последовательности рангов:

A: x1, x2, ..., xn; B: y1, y2, ..., yn.

Для исследования наличия связи между качественными признаками А и В можно использовать коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляется по формуле:

B 1 6n3 dni2 ,

где di = xi – yi; n – объем выборки.

Для вычисления коэффициента ранговой корреляции Кендалла найдем ве-

личины R1, R2, ..., Rn, где Ri – количество чисел, больших yi, стоящих справа от yi в последовательности рангов по признаку В. Тогда выборочный коэффициент ранговой корреляции Кендалла имеет вид:

B n(4nR 1) 1,

где R = R1 + R2 + ... + Rn.

Заметим, что оба коэффициента ранговой корреляции не превосходят по модулю единицы. При этом чем ближе значение | B | или | B | к 1, тем теснее

возможная связь между признаками А и В.

Пример. Десять школьников сдавали выпускной экзамен ЕГЭ по математике и вступительный экзамен по системе централизованного тестирования. Результаты обоих экзаменов оценивались по 100-балльной шкале и оказались следующими (1-я строка – оценки ЕГЭ, 2-я – централизованного тестирования):

Найти выборочные коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла. Решение. В первой строке данных числа уже расположены по убыванию, а

во 2-ой нужно сначала записать числа по убыванию и присвоить ранг.

Вычислим di: d1 = 1 – 5 = -4; d2 = 2 – 1 = 1; d3 = 3 – 2 = 1; d4 = 4 – 4 = 0;

34

Приступим к вычислению коэффициента корреляции Кендалла. Определим, сколько рангов, больших данного, располагается справа от каждого yi:

R1 = 5; R2 = 8; R3 = 7; R4 = 5; R5 = 5; R6 = 2; R7 = 2; R8 = 2; R9 = 1; R10 = 0;

Заметим, что величины выборочных коэффициентов корреляции позволяют предполагать существование связи между результатами экзаменов.

Задание для решения в аудитории

По данным двух выборок вычислить коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

Вариант № 3

35

37

38

10. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

10.1. Общие принципы проверки гипотез

Статистическойгипотезойназываютгипотезуовиденеизвестногораспределения генеральной совокупности или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н0. Конкурирующей

(альтернативной) называют гипотезу Н1, которая противоречит нулевой. Пример1.ПустьН0 заключаетсявтом,чтоматематическоеожиданиегенераль-

нойсовокупностиа=3.ТогдавозможныевариантыН1:а)а≠3;б)а>3;в)а<3. Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение,

сложной – гипотезу, состоящую из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Параметрической гипотезой называется гипотеза О значениях параметров распределения или о сравнительной величине параметров двух распределений. Непараметрическими называются гипотезы

Пример 2. Для показательного распределения гипотеза Н0: λ = 2 – простая, Н0: λ > 2 – сложная, состоящая из бесконечного числа простых (вида λ = с, где с

–любое число, большее 2).

Врезультате проверки правильности выдвинутой нулевой гипотезы (такая проверка называется статистической, так как производится с применением методов математической статистики) возможны ошибки двух видов: ошибка первого рода,состоящаявтом,чтобудетотвергнутаправильнаянулеваягипотеза,иошибка второгорода, заключающаяся в том, что будет принята неверная гипотеза.

Замечание. Какая из ошибок является на практике более опасной, зависит от конкретной задачи. Например, если проверяется правильность выбора метода лечения больного, то ошибка первого рода означает отказ от правильной методики, что может замедлить лечение, а ошибка второго рода (применение неправильной методики) чревата ухудшением состояния больного и является более опасной.

Вероятность ошибки первого рода называется уровнем значимости α. Основной прием проверки статистических гипотез заключается в том, что

по имеющейся выборке вычисляется значение некоторой случайной величины, имеющей известный закон распределения.

Статистическимкритериемназывается случайная величина К с известным законом распределения, служащая для проверки нулевой гипотезы.

Критической областью называют область значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, областью принятиягипотезы– область значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Итак, процесс проверки гипотезы состоит из следующих этапов: 1)выбирается статистический критерий К;

2)вычисляется его наблюдаемое значение Кнабл по имеющейся выборке; 3)поскольку закон распределения К известен, определяется (по извест-

ному уровню значимости α) критическое значение kкр, разделяющее критическую область и область принятия гипотезы (например, если Р(К > kкр) = α, то

39

справа от kкр располагается критическая область, а слева – область принятия гипотезы);

4)если вычисленное значение Кнабл попадает в область принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается, если в критическую область – нулевая гипотеза отвергается.

Различают разные виды критических областей:

–правостороннюю критическую область, определяемую неравенством

K > kкр ( kкр > 0);

–левостороннюю критическую область, определяемую неравенством

K < kкр ( kкр < 0);

– двустороннюю критическую область, определяемую неравенствами

K < k1, K > k2 (k2 > k1).

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза.

Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) β, то мощность критерия равна 1 – β. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.

10.2. Критерий для проверки гипотезы о вероятности события

Пусть проведено п независимых испытаний (п – достаточно большое число), в каждом из которых некоторое событие А появляется с одной и той же, но неиз-

вестной вероятностью р, и найдена относительная частота т появлений А в этой

п

серии испытаний. Проверим при заданном уровне значимости α нулевую гипотезу Н0, состоящую в том, что вероятность р равна некоторому значению р0.

Примем в качестве статистического критерия случайную величину

0, σ(U) = 1 (то есть нормированную). Здесь q0 = 1 – p0. Вывод о нормальном распределении критерия следует из теоремы Лапласа (при достаточно большом п относительнуючастотуможноприближенносчитатьнормальнораспределенной

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

1) Если Н0: р = р0, а Н1: р ≠ р0, то критическую область необходимо построить так, чтобы вероятность попадания критерия в эту область равнялась заданному уровню значимости α. При этом наибольшая мощность критерия достигаетсятогда, когда критическаяобласть состоит издвухинтервалов, вероятность

40