Элементы математической статистики. Учебное пособие-1

борки; t – такое значение аргумента функции Лапласа Ф (t), при котором

Ф(t) 2 ,приn 30 или t t -критическаяточкараспределенияСтьюдента,при

n 30; N – объем генеральной совокупности.

Для любого числа [0; 1] можно по таблице (приложение 3) найти такое число t, что (t)= /2.

Можно сказать иначе: точечная оценка x определяет значение параметра а

Пример 1. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины, если объем выборки п = 49, xB 2,8, σ = 1,4, а доверительная вероятность γ = 0,9.

Решение. Определим t, при котором Ф(t) = 0,9:2 = 0,45. Следовательно, по таблице приложения 3 найдем t = 1,645.

доверительный интервал, в который попадает математическое ожидание а с надежностью 0,9.

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

Принеизвестномсреднемквадратическомотклонениидоверительныйинтервал для математического ожидания при заданной надежности γ задается так:

где s – исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение, а t t (n, ) критическая точка распределения Стьюдента, значение которой

можно найти из таблиц (приложение 2) по известным п и γ.

Пример 2. Пусть объем выборки п = 25, хВ = 3, s = 1,5. Найдем доверительный интервал для а при γ = 0,99.

21

Решение. Из таблицы находим, что при п = 25, γ = 0,99 величина tγ = 2,797.

интервал, в который попадает а с вероятностью 0,99.

3. Доверительные интервалы для оценки среднего квадратичного отклонения нормального распределения.

Дляоценкигенеральногосреднегоквадратичногоотклоненияσпризаданной надежности γ можно построить доверительный интервал вида

s(1 q) s(1 q),

где s – исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение, а q = q (n, γ) – значение, определяемое из таблиц (приложение 4).

Пример 3. Пусть п = 20, s = 1,3. Найдем доверительный интервал для σ при заданной надежности γ = 0,95.

Решение. Из соответствующей таблицы находим при n = 20, γ = 0,95 значение q = 0,37. Следовательно, границы доверительного интервала: 1,3(1 – 0,37) = 0,819 и 1,3(1 + 0,37) = 1,781. Итак, 0,819 < σ < 1,781 с вероятностью 0,95.

Пример 4. Дана выборка значений нормально распределенной случайной величины: 2, 3, 3, 4, 2, 5, 5, 5, 6, 3, 6, 3, 4, 4, 4, 6, 5, 7, 3, 5. Найти с доверительной вероятностью γ = 0,95 границы доверительных интервалов для математического ожидания и дисперсии.

Решение. Объем выборки п = 20. Найдем хВ = 4,25, s = 1,37. По таблицам

тельный интервал для математического ожидания; 1,37(1 0,37) 1,37(1 0,37);

0,86 1,88. Возведем все части неравенства в квадрат, т. к. D 2 . Тогда 0,74 D 3,52 доверительный интервал для дисперсии.

Квантилем или нормированным отклонением называется отношение предельной ошибки к средней ошибке выборки.

txВ ,

x0

– исправленная выборочная дисперсия.

22

Квантиль вычисляется по соответствующему уровню значимости (при n 30 t -квантиль нормального закона распределения, при n 30, t -квантиль распределения Стьюдента).

Важной является задача определения объема выборочной совокупности п при заданном уровне значимости. В случае бесповторной выборки необходимый

x

выборки n t2s2 .

2xB

КОМПЛЕКСНАЯ ЗАДАЧА

Дано распределение 60 абитуриентов по числу баллов, полученных ими на приемных экзаменах:

Провести статистическое исследование данной выборки. Для этого:

1)составить интервальный вариационный ряд;

2)построить:

а) гистограмму (для интервального вариационного ряда), б) полигон (для середин частотных интервалов), в) кумуляту (для интервального вариационного ряда), г) огиву (для середин частотных интервалов);

3)определить выборочные характеристики: а) моду, б) медиану,

в) среднее арифметическое, г) дисперсию,

д) среднее квадратичное отклонение, е) коэффициент вариации, ж) асимметрию, з) эксцесс.

4)найти точечные оценки параметров:

а) несмещенную оценку математического ожидания, б) исправленную выборочную дисперсию, в) исправленное среднее выборочное отклонение.

5)учитывая,чтопроводилась10%-наяслучайнаявыборка,приуровнезна- чимости 0,05 определить:

23

а) доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 1 ,

б) объем выборки, при котором с доверительной вероятностью1 предельная ошибка выборки уменьшится в 2 раза при сохранении

уровня остальных характеристик.

Решение.1)Составиминтервальныйвариационныйряд(см.пунктПервичная обработка результатов).

По условию объем выборки n 60.

Из всех данных значений выберем наименьшее и наибольшее: xmin 15,

Исходные данные разобьём на восемь интервалов: [14,25; 15,75), [15,75; 17,25), [17,25; 18,75), [18,75; 20,25), [20,25; 21,75), [21,75; 23,25), [23,25; 24,75), [24,75; 26,25].

Для нахождения частот, накопленных частот, частостей и накопленных частостей составим вспомогательную таблицу:

2) Построим требуемые графики (см. Графическое изображение вариационных рядов).

а) Гистограмма. По горизонтали отложим границы интервалов, а по вертикали – частоты. Далее на каждом частотном интервале построим прямоугольник с высотой, равной величине соответствующей этому интервалу частоты.

24

б) Полигон частот. Для каждого частотного интервала найдём его серединуиотложимнайденныезначенияпогоризонтали.Частоты,соответствующие интервалам, откладываем по вертикали. Получим точки, которые соединим отрезками последовательно слева направо. Из первой и последней точки опустим перпендикуляры на горизонтальную ось.

mi

16

13

6

5

4

2

1

Рис. 6

в) Кумулята. По горизонтали отложим границы интервалов, а по вертикали

– накопленные частоты и построим соответствующие точки. Первая точка имеет абсциссу, равную началу первого интервала (14,25), а ординату – накопленной частоте,равнойнулю.Остальныеточкиимеютабсциссы,равныеконцаминтервалов, а ординаты – соответствующим значениям накопленной частоты.

Построенные точки соединяем ломаной.

miнак

60

58

54

41

28

12

7

1

0 14,25 15,75 17,25 18,75 20,25 21,75 23,25 24,75 26,25 хi

Рис. 7

25

г) Огива. Огива строится аналогично кумуляте с той лишь разницей, что накопленные частоты помещают на оси абсцисс, а значения признака — на оси ординат.

хi

26,25

24,75

23,25

21,75

20,25

18,75

17,25

15,75

14,25

Рис. 8

3) Определим выборочные характеристики (см. пункт Числовые характеристики вариационного ряда).

а) Мода. С помощью таблицы пункта 1 находим максимальное значение частоты mmax 16, которое соответствует интервалу [18,75; 20,25).

б) Медиана. Для нахождения медианы интервального вариационного ряда сначала определим медианный интервал [xMe ;xMe h], содержащий накоплен-

ную частоту, которая больше величины n2 , где п – объем выборки.

Так как объем выборки п = 60, то n2 602 30, значит находим интервал,

соответствующий накопленной частоте большей 30. Это miнак 41.

Следовательно, медиана расположена в интервале [20,25; 21,75). Величину медианы найдём по формуле:

26

в) Среднее арифметическое найдём после заполнения четвёртого столбца: x nxi mi 1228,560 20,48.

г) Дисперсию вычислим после заполнения пятого и шестого столбцов:

ж) Асимметрию найдём после заполнения седьмого и восьмого столбца:

27

з) Эксцесс найдём после заполнения девятого столбца:

Найденное значение коэффициента асимметрии указывает на то, что распределение частот имеет левостороннюю асимметрию. Эксцесс также отличен от нуля, что говорит о возможном отличии данного распределения от нормального распределения.

Такимобразом,среднееколичествобаллов,набранныхабитуриентамипоисследуемой совокупности баллов, составляет 20,48. Плотность результатов в среднем колебалась в промежутке x =20,48 2,34, то есть от 18,14 до 22,82. Интер-

вал 18,14; 22,82 , а также коэффициент вариации показывает, что имеются боль-

шие различия в результатах абитуриентов, полученных на приемных экзаменах. 4) Найдём точечные оценки параметров (см. пункт Точечные оценки пара-

метров распределения).

а) В математической статистике доказана теорема: «Выборочная средняя xB является несмещённой, состоятельной и эффективной оценкой математиче-

ского ожидания».

Поэтому выборочная средняя (она же среднее арифметическое) будет являться несмещенной оценкой математического ожидания, то есть

M (X ) xB 20,48.

б) В математической статистике доказана теорема: «Исправленная диспер-

сия s2 nn 1DB является несмещённой, эффективной и состоятельной оценкой

генеральной дисперсии DГ ».

Зная выборочную дисперсию DB 5,46, найдём исправленную выбороч-

5) Оценим параметры генеральной совокупности (см. пункт Интервальные оценки параметров распределения).

Учитывая, что проводилась 10 %-ная выборка, найдем объем генеральной совокупности, N 60 10 600.

Несмещенной оценкой математического ожидания является выборочная средняя xB 20,48.

Найдем доверительный интервал для оценки выборочной средней:

По условию уровень значимости 0,05.

28

Так как объём выборки n 60 30, то величина t будет равна значению аргумента функции Лапласа (t), при котором (t) 2 или 2 (t) 1 .

Тогда 2 (t) 1 0,05 0,95, то есть (t) 0,475.

Следовательно, можно найти доверительный интервал для математиче-

Значит, с доверительной вероятностью 0,95, можно утверждать, что среднее количество баллов во всей генеральной совокупности находится в гра-

ницах xB xB 20,48 0,5684, то есть от 19,9116 до 21,0484.

б) Исследуемая выборка является бесповторной, поэтому необходимый

x

По условию предельная ошибка выборки уменьшится в 2 раза, то есть составит 0,5 xB , остальные характеристики сохранят свои значения: t 1,96,

Значит, для уменьшения предельной ошибки в два раза объем совокупности необходимо увеличить примерно в три раза (так как 183:60 3).

8. ЭЛЕМЕНТЫ КОРРЕЛЯЦИОННОГО И РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Наиболее простым видом связи между величинами является функциональная зависимость. В этом случае каждому значению одной величины соответствует вполне определенное одно или несколько значений другой величины. Однако существуют такие связи между величинами, которые нельзя отнести к типу функциональных зависимостей. Такова, например, связь между осадками и урожаем,междутолщинойснеговогопокровазимойиобъемомстокапоследующего половодья. Здесь каждому значению одной величины соответствует множество возможных значений другой, число этих значений не является постоянным, а сами значения не отражают определенной закономерности.

29

Рассеяние этих возможных значений объясняется влиянием большого количества дополнительных факторов. Например, связь между урожайностью и удобрениями имеется, однако есть еще ряд факторов, влияющих на урожайность: объективные – климат, осадки, почва, рельеф поверхности и т.д. и ряд субъективных факторов – севообороты, качество и глубина заделки семян, предшественники, агротехника и т. д.

Случайные величины связаны статистически (вероятностно, стохастически), если при изменении одной величины другая величина изменяет свой закон распределения.

Частным случаем статистической зависимости является корреляционная связь. В этом случае при изменении одной величины изменяется среднее значение другой величины.

Изучениемтакихсвязейзанимаетсякорреляционныйирегрессионныйанализ. Корреляционный анализ измеряет степень связи двух и более явлений. Регрессионный анализ устанавливает форму зависимости между изучае-

мыми явлениями, определяет функцию регрессии, находит точечные и интервальные оценки средних величин и др.

Корреляция и регрессия связаны тесно. Корреляция оценивает силу статистической связи, а регрессия исследует ее форму.

Простейшей является парная линейная корреляция и регрессия.

Парная корреляция связывает две случайные величины уравнением ре-

i 1

ные средние; n – число наблюдений (измерений). Свободный член вычисляется по формуле b y a x .

Для уравнения xy cy d коэффициенты определяются по формулам

n

(yi y)2

i 1

Точка пересечения линий yx ax b и xy cy d называется корреляци-

онным центром. Координаты корреляционного центра указывают на оптимальное соотношение величин x и y в заданных условиях.

30