Элементы логики в математике. Сборник самостоятельных работ для учащихся 6 класса Инженерного лицея НГТУ. Учебно-методическое пособие

Самостоятельная работа № 8

ОСНОВНЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

Вариант 1

1. Что такое конъюнкция?

2. Укажите, какая дизъюнкция должна применяться при переводе текста на язык логики. Ответ обоснуйте.

а) За самостоятельную работу я получу четверку или пятерку. б) Сегодня на тренировке я буду бегать или отжиматься.

в) Вода в озере холодная или теплая.

3. Для простых высказываний A, B составьте логические выражения для сложных высказываний, используя в записи логические операции.

A = «Хочу сегодня сыграть в футбол».

B = «Хочу сегодня посмотреть фильм».

а) «Хочу сегодня или сыграть в футбол, или посмотреть телевизор». б) «Не хочу сегодня ни играть в футбол, ни смотреть телевизор». в) «Хочу сегодня сыграть в футбол и посмотреть телевизор».

г) «Хочу сегодня сыграть в футбол или посмотреть телевизор, или и то и другое».

Вариант 2

1. Что такое дизъюнкция?

2. Укажите, какая дизъюнкция должна применяться при переводе текста на язык логики. Ответ обоснуйте.

а) В самостоятельной работе я допущу одну или две ошибки. б) Сегодня я пойду на тренировку или останусь дома.

в) На улице сегодня будет ясно или пасмурно.

3. Для простых высказываний A, B составьте логические выражения для сложных высказываний, используя в записи логические операции.

A= «Хочу почитать книгу».

B= «Хочу поплавать в бассейне».

а) «Хочу или почитать книгу, или поплавать в бассейне». б) «Не хочу ни читать книгу, ни плавать в бассейне».

в) «Хочу и почитать книгу, и поплавать в бассейне».

г) «Хочу почитать книгу или поплавать в бассейне, или и то и другое».

11

Самостоятельная работа № 9

СЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ. ЗАКОН ДВОЙНОГО ОТРИЦАНИЯ. ЗАКОН ДВОЙСТВЕННОСТИ

Вариант 1

1. Сформулируйте законы двойственности и запишите их в символическом виде.

2. Пользуясьзаконамидвойственности, постройтеотрицаниявысказываний:

а) A B;

б) A B;

3. Заданы высказывания:

A = «Заданное число простое»;

B= «Заданное число составное»;

C= «Заданное число кратно числу 5»;

D= «Заданное число больше числа 7».

Запишите логическую структуру сложных высказываний:

а) если заданное число кратно числу 5 и больше числа 7, то оно составное;

б) если заданное простое число кратно числу 5, то оно не больше числа 7.

Вариант 2

1. Сформулируйте законы двойственности и запишите их в символическом виде.

2. Пользуясьзаконамидвойственности, постройтеотрицаниявысказываний:

а) A B;

б) A B;

3. Заданы высказывания:

A = «Заданное число является однозначным»;

B= «Заданное число составное»;

C= «Заданное число является четным»;

D= «Заданное число кратно числу 11».

Запишите логическую структуру сложных высказываний:

а) если заданное число кратно числу 11 и является четным, то оно не является однозначным;

б) если заданное число не составное и кратно числу 11, то оно не является четным.

12

Самостоятельная работа № 10

КОМБИНАТОРНЫЕ ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ

Вариант 1

1. Какие способы решения комбинаторных задач существуют? 2. В каком из примеров подходит правило сложения? В каком – пра-

вило умножения?

а) Костя дважды подбросил монету. Сколько различных комбинаций выпадения орла и решки он мог при этом получить?

б) В пенале у Кати 3 ручки и 12 карандашей. Сколькими способами Катя может достать из пенала ручку или карандаш?

3. Решите задачу. Каждую клетку квадратной таблицы 2 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

4. Решите задачу. Вася из 6Б собирается в поход. Ему необходимо подготовить вещи. В шкафу у Васи 4 свитера и 6 толстовок. Сколькими способами Вася может выбрать свитер или толстовку?

Вариант 2

1. Какие способы решения комбинаторных задач существуют? 2. В каком из примеров подходит правило сложения? В каком – пра-

вило умножения?

а) У Маши есть 2 большие сумки и 4 маленькие. Сколькими способами Маша может выбрать сумку?

б) В пенале у Кати 3 ручки и 12 карандашей. Сколькими способами Катя может достать из пенала ручку и карандаш?

3. Решите задачу. Каждую клетку квадратной таблицы 1 × 2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы?

4. Решите задачу. Вика из 6Б собирается в поход. Ей необходимо подготовить вещи. В шкафу у Вики 4 майки и 9 футболок. Сколькими способами Вика может выбрать майку или футболку?

13

Самостоятельная работа № 11

УПОРЯДОЧЕННЫЕ КОМБИНАЦИИ С ПОВТОРЕНИЯМИ И БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

Вариант 1

1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 6, 7, 0, если:

а) цифры могут повторяться; б) цифры не могут повторяться?

2. Сколькими различными способами группа из шести человек может занять места за круглым столом, около которого стоят восемь стульев?

3. Катязабылапоследниедвецифрыномерателефонасвоейподруги Саши. С какого раза Катя дозвонится до подруги, если известно, что одна из цифр четная, а другая – нечетная.

4. У 6А класса по субботам 5 уроков: ИЗО, литература, история, географияитехнология. Известно, чтопервыйурок– ИЗО. Сколькимиспособами можно составить расписание?

Вариант 2

1. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 

2, 6, 0, если:

а) цифры могут повторяться; б) цифры не могут повторяться.

2. Сколькими различными способами группа из пяти человек может занять места за круглым столом, около которого стоят шесть стульев?

3. Катязабылапоследниедвецифрыномерателефонасвоейподруги Саши. Скакого разаКатядозвонится до подруги, еслиизвестно, чтообе цифры нечетные.

4. У 6А класса по субботам 5 уроков: ИЗО, литература, история, географияитехнология. Известно, что первыйурок– илиИЗО, илигеография. Сколькими способами можно составить расписание?

14

Самостоятельная работа № 12

НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ КОМБИНАЦИИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ

Вариант 1

1. Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальнымиполосамиодинаковойширины, еслиимеетсяматерияпяти различных цветов?

2. Сколькими способами можно выбрать четырех ребят из класса для участия в конкурсе по математике, если всего в классе 15 ребят?

3. В кофейне имеются шесть различных сиропов для кофе. Бариста хочет добавить покупателю в кофе два сиропа. Сколькими способами он может это сделать?

4. Михаил купил четыре учебника: по математике, истории, географиииинформатике. Онхочетпоставитьихнаполкутак, чтобыучебник поматематикестояллевееостальных, таккакрабочийстолуМиширасположенслеваоткнижнойполки, аматематика– еголюбимыйпредмет. Сколькими способами Миша может расставить учебники?

Вариант 2

1. Сколькими способами можно сделать двухцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

2. Сколькими способами можно выбрать трех ребят из класса для участия в конкурсе по математике, если всего в классе 18 ребят?

3. В кофейне имеются семь различных сиропов для кофе. Бариста хочет добавить покупателю в кофе два сиропа. Сколькими способами он может это сделать?

4. Михаил купил пять учебников: по математике, истории, географии, русскому языку и информатике. Он хочет поставить их на полку так, чтобы учебник по математике стоял левее остальных, так как рабочий стол у Миши расположен слева от книжной полки, а математика – его любимый предмет. Сколькими способами Миша может расставить учебники?

15

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

Признаки делимости

1.Запишите несколько раз подряд число 2013 так, чтобы получившееся число делилось на 9.

2.Делится ли число 102002 + 8 на 9?

3.Делится ли число 11·21·31·41·51 – 1 на 5?

4.Попробуйте найти все натуральные числа, которые больше своей последней цифры в 5 раз.

5.Попробуйте найти два числа, идущих подряд, у первого из которых сумма цифр равна 8, а второе делится на 8.

6.Надлиннойлентенаписаныцифры201520152015… Васявырезал ножницами два куска ленты и составил из них положительное число, которое делится на 45. Приведите пример таких кусков и запишите число, составленное из них.

7.Может ли число, составленное только из четверок, делиться на число, составленное только из троек? А наоборот?

8.Припишите к числу 10 справа и слева одну и ту же цифру так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 12.

Делимость чисел

1.Может ли сумма трех различных натуральных чисел делиться на каждое из слагаемых?

2.Из утверждений «число a делится на 2», «число a делится на 4», «число a делится на 12» и «число a делится на 24» три верных, а одно неверное. Какое?

3. Целые числа a и b таковы, что 56a = 65b. Докажите, что a + b – составное число.

4.На автобусе ездил Андрей На кружок и обратно домой. Заплатив 115 рублей, Покупал он себе проездной. В январе он его не достал. И поэтому несколько дней

16

У шофера билет покупал Он себе за 15 рублей.

А в иной день кондуктор с него Брал 11 только рублей. Возвращаясь с кружка своего, Всякий раз шел пешком наш Андрей. За январь сколько денег ушло, Посчитал бережливый Андрей.

С удивлением он получил Аккурат 115 рублей! Сосчитайте теперь поскорей, Сколько раз был кружок в январе.

5.В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и14 летстаршемладшего, причемвозрасткаждогоребенка– простое число. Сколько лет младшему?

6.Вчера Никита купил несколько ручек: черные – по 9 рублей за штуку и синие – по 4 рубля за штуку. Зайдя сегодня в тот же магазин, он обнаружил, что цены на ручки изменились: черные стали стоить 4 рубля за штуку, а синие – 9 рублей. Увидев такое, Никита сказал с досадой: «Покупай я те же ручки сегодня, сэкономил бы 49 рублей». Не ошибается ли он?

7.Делимое в шесть раз больше делителя, а делитель в шесть раз больше частного. Чему равны делимое, делитель и частное?

8.Николай с сыном и Петр с сыном были на рыбалке. Николай поймал столько же рыб, сколько и его сын, а Петр – втрое больше, чем его сын. Всего было поймано 25 рыб. Как зовут сына Петра?

Четность и нечетность

1.По кругу написано семь натуральных чисел. Докажите, что найдутся два соседних числа, сумма которых чётна.

2.ДядькаЧерноморнаписалналисткебумагичисло20. Затем33 богатыря передают листок друг другу, и каждый или прибавляет к числу, или отнимает от него единицу. Может ли в результате получиться число 10?

3.Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

17

4.Ученица 5-го класса Катя и несколько ее одноклассников встали

вкруг, взявшись за руки. Оказалось, что каждый держит за руки либо двух мальчиков, либо двух девочек. Если в круге стоит пять мальчиков, то сколько там стоит девочек?

5.Найдите два таких простых числа, что и их сумма, и их разность – тоже простые числа.

6.У каждого марсианина три руки. Могут ли семь марсиан взяться за руки?

7.Четно или нечетно число 1 + 2 + 3 + ... + 1990?

8.Можно ли доску размером 5 × 5 заполнить доминошками разме-

ром 1 × 2?

Комбинаторные задачи

1.Вфутбольнойкоманде(11 человек) нужновыбратькапитанаиего заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

2.Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

3.Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими способами это можно сделать?

4.Сколько существует различных семизначных телефонных номеров (считается, что номер начинаться с нуля не может)?

5.Номер автомашины состоит из трех букв русского алфавита (используется 30 букв) и трех цифр: сначала идет буква, затем три цифры, а затем еще две буквы. Сколько существует различных номеров автомашин?

6.У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?

7.Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4, можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4:

а) если каждая цифра может встречаться только один раз; б) если каждая цифра может встречаться несколько раз?

8.Человекимеет10 друзейивтечениенесколькихднейприглашает некоторых из них в гости так, что компания ни разу не повторяется

18

(в какой-то из дней он может не приглашать никого). Сколько дней он может так делать?

9.Сколько ожерелий можно составить из пяти одинаковых красных бусинок и двух одинаковых синих бусинок?

10.Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?

11.На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколькочастейразделенаповерхностьглобуса?

12.Назовите натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только нечетные цифры.

Сколько существует четырехзначных «симпатичных» чисел?

Задачи на разрезание и складывание фигур

1.Разрежьтеквадрат13 × 13 на5 прямоугольниковпосторонамклеток так, чтобы все десять чисел, выражающих длины сторон прямоугольников, были различными целыми числами.

2.На рисунке представлены 4 фигуры. Одним разрезом поделите каждую из них на две части и сделайте из них квадрат. Бумага в клеточку облегчит вам решение задачи.

3.Плитками 3 × 2 выложите без разрывов: а) прямоугольник 11 × 18; б) прямоугольник 14 × 15.

4.Выложитебезразрывов, еслиэтовозможно, квадрат12 × 12 плитками 3 × 2.

5.Можноли, взявквадратклетчатойбумагиразмерами5 × 5 клеток, вырезать из него одну клетку так, чтобы оставшуюся часть можно было разрезать на пластинки 1 × 3 клетки?

19

6.Заполните плоскость одинаковыми «скобками», изображенными на рисунке.

7.Какое наибольшее число полосок размерами 1 × 5 клеток можно выкроить из квадрата клетчатой бумаги 8 × 8 клеток?

8.Можно ли прямоугольник 35 × 23 клетки разрезать без остатка на прямоугольники размером 5 × 7? Если можно, то как? Если нет, то почему?

20