Элементная база электроники задачник. Учебно-методическое пособие

jpдиф qDp grad( p) ,

n , p – подвижности электронов и дырок соответственно; σ – удель-

ная проводимость.

ЗАДАЧИ

1.1. Вывести выражение для концентрации дырок pn в полупроводнике n-типа через концентрацию доноров NД и собственную концентрацию носителей заряда ni , а также выражение для концентрации электронов np в материале p-типа через концентрации акцепторов NА

собственную концентрацию носителей заряда ni . Донорные и акцеп-

торные примеси считать полностью ионизированными. Найти отношение Nd / ni , если nn 0,995NД . Вычислить pn , если собственная

концентрация носителей заряда для германия при температуре 300 К равна ni 41019 м 3 . Найти приближенные выражения для pn и

np , если NД ni в материале n-типа и NА ni в материале р-типа.

1.2.Имеется образец примесного кремния p-типа длиной l = 5 мм, шириной b = 2 мм, толщиной h = 1 мм. Вычислить концентрацию при-

меси в образце, если его активное сопротивление R = 100 Ом. Подвижности электронов и дырок равны соответственно n 0,12 м2 / (В с) и

i2,5 1016 м 3 . Определить отношение электронной проводимости

кдырочной.

1.3.Чистый кристаллический германий содержит 4,5 1028 атомов в кубическом метре. При температуре T = 300 К ионизирован один атом

из каждых 2 109 . Подвижности электронов и дырок при данной температуре равны соответственно n 0,4 м2 / (В с) и p 0,2 м2 / (В с) . Определить проводимость собственного германия, а также проводи-

11

мость германия при температуре T = 300 К, легированного элементом

III группы, при условии, что на каждые 107 атомов германия приходится один примесный атом.

1.4. Определить отношение концентраций электронов в собственных германии и кремнии при температурах T1 = 50 ºC и T2 = 100 ºC к

концентрации электронов при комнатной температуре (T = 300 К). Считать, что эффективные плотности состояний в зоне проводимости

NC и в валентной зоне NV не зависят от температуры. Вычислить значения удельного сопротивления для германия Ge и кремния Si при температурах T1 и T2 . Считать, что удельное сопротивление собственного германия при комнатной температуре Ge = 0,5 Ом · м, собственного кремния – Si = 1000 Ом · м, а подвижность электронов n не зависит от температуры.

1.5. Вычислить для собственного кремния вероятность заполнения электроном уровня вблизи дна зоны проводимости при T1 = 300 К и

T2 = 0 К. Считать, что при T = 300 К уровень Ферми лежит в середине запрещенной зоны.

1.6.Найти положение уровня Ферми в собственном полупроводнике относительно середины запрещенной зоны при комнатной температуре, если эффективная масса электрона в два раза больше эффективной массы дырки.

1.7.Определить положение уровня Ферми в германии n-типа при

комнатной температуре, если на 2 106 атомов германия приходится

один атом примеси. Концентрация атомов в германии N – 4,4 1028 ато-

мов/м3. Коэффициент пропорциональности в выражении, связывающем число электронов в единице объема в зоне проводимости с температурой

и энергетическими уровнями, равен G 4,83 1021м 3 К 3/2 . Разность

между энергетическими уровнями дна зоны проводимости и донорным составляет0,01 эВ.

1.8. Найти положение уровня Ферми в собственном германии при T = 300 К, если известно что эффективные массы электронов и дырок

равны mn* = 0,55m и m*р = 0,388m соответственно, где m – масса свободного электрона.

12

1.9. Вычислить собственную концентрацию носителей заряда в кремнии при T = 300 К, если эффективные массы электронов и дырок

равны mn* = 1,05m и m*р = 0,56m соответственно, где m – масса свободного электрона.

1.10 Концентрация электронов проводимости в полупроводнике равна nn 1018 м 3 . Определить концентрацию дырок проводимости pn в этом полупроводнике, если известно, что собственная концен-

трация в этом полупроводнике равна ni 1016 м 3 .

1.11. Определить положение уровня Ферми и концентрацию неосновных носителей заряда при T = 300 К в кремнии, легированном бо-

ром до концентрации NА 1023м 3 , если известно, что эффективные

массы электронов и дырок равны mn* = 1,05m и m*р = 0,56m соответственно, где m – масса свободного электрона.

1.12. Определить, как изменится концентрация электронов в арсениде галлия (GaAs), легированном цинком до концентрации NZn

1022 м 3 . Можно ли считать, что при температуре T = 300 ºC элек-

трические параметры этого полупроводника близки параметрам собственного арсенида индия, если эффективные массы электронов и ды-

рок равны mn* = 0,023m и m*р = 0,43m соответственно, где m – масса свободного электрона, ширина запрещенной зоны изменяется с температурой по закону E 0,462 T 3,5 10 4 .

1.14.Рассчитать количество электронов, которые находятся на уровне Ферми в полупроводнике. Как влияет изменение температуры на положение уровня Ферми?

1.15.Вычислить собственную концентрацию носителей заряда ni в арсениде галлия (GaAs) при температурах T1 = 300 К и T2 = 500 К,

13

если эффективные массы электронов и дырок равны mn* = 0,067m и

m*р = 0,48m соответственно, где m – масса свободного электрона, а

ширина запрещенной зоны изменяется с температурой по закону

E 1,522 – (T 2 5,8 10 4 ) / (T 300) .

1.16. Вычислить, во сколько раз различаются равновесные концентрации дырок при комнатной температуре в кристаллах кремния (Si) и арсенида галлия (GaAs), имеющих одинаковую концентрацию

донорных примесей NД 1021 м 3 , если для кремния эффективные

массы электронов и дырок равны mn* = 1,05m и m*р = 0,56m соответственно, для арсенида галлия эффективные массы электронов и дырок равны mn* = 0,07m и m*р = 0,48m соответственно, где m – масса свободного электрона.

1.17. При напряженности электрического поля E = 100 В/м плотность тока через полупроводник составляет j 6 104 А/м2 . Определить концентрацию электронов проводимости в полупроводнике, если подвижность электронов равна n 0,375 м2 / В с. Дырочной составляющей тока пренебречь.

1.18. В кристалле германия n-типа на каждые 108 атомов германия приходится один атом донорной примеси. Считая, что эффективная

масса электрона равна mn* = 0,5m, где m – масса свободного электрона,

найти положение уровня Ферми относительно дна зоны проводимости при комнатной температуре.

1.19. Удельное сопротивление собственного германия при комнатной температуре равно ρ = 0,43 Ом · м. Подвижности электронов и ды-

Найти собственную концентрацию носителей заряда ni .

1.20. В кристалле арсенида галлия (GaAs) на 107 атомов приходится один атом легирующей примеси (теллура). Найти положение уровня

14

Ферми относительно середины запрещенной зоны при T = 500 К. Плотность арсенида галлия ρ = 5,32 мг/м3 . Эффективные массы электронов и дырок равны mn* = 0,067m и m*р = 0,48m соответственно, где m – масса свободного электрона, а ширина запрещенной зоны изменяется с температурой по закону E 1,522 – (T 2 5,8 10 4 ) / (T 300) .

1.21. Вычислить отношение полного тока через полупроводник к току, обусловленному дырочной составляющей: а) в собственном германии; б) в германии p-типа с удельным сопротивлением ρ = 0,05 Ом · м.

Подвижности электронов и дырок равны n 0,39 м2 / В с и p0,19 м2 / В с соответственно. Собственная концентрация носителей заряда при комнатной температуре ni 2,1 1019 м 3 .

1.22. Образец кремния n-типа при температуре T1 = 300 К имеет

удельное сопротивление ρ = 0,05 Ом · м, причем концентрация электронов в нем не изменяется при нагревании до температуры T2 =

= 500 К. Определить, насколько изменяется концентрация неосновных носителей заряда в этом температурном диапазоне. Коэффициент тем-

пературного изменения ширины запрещенной зоны b 2,84 10 4 эВ/К, подвижность электронов n 0,14 м2 / В с, собственная концентрация носителей заряда ni 7,0 1015 м 3 .

1.23. Рассчитать концентрацию электронов и дырок в германии p-типа с удельным сопротивлением ρ = 0,05 Ом · м при температуре T = 300 К. Недостающие данные взять из условия задачи 1.21.

1.24. Определить, при какой концентрации легирующих примесей удельная проводимость германия min при температуре T = 300 К

имеет наименьшее значение. Найти отношение собственной удельной проводимости к минимальной при той же температуре i / min . По-

движности электронов и дырок равны n = 0,39 м2 / В с и p0,19 м2 / В с соответственно. Собственная концентрация носителей заряда при комнатной температуре ni 2,1 1019 м 3 .

15

1.25. Полупроводник легирован акцепторной примесью до концентрации NА 2ni . Определить, во сколько раз изменится удельная про-

водимость полупроводника по отношению к собственной / i , если отношение подвижностей электронов и дырок n / p b . Считать, что все акцепторы находятся в ионизированном состоянии.

1.26. В образце кремния n-типа при температуре T = 300 К время жизни неосновных носителей заряда p 5 мкс, их подвижность

p 0,04 м2 / В с . В одну из плоскостей образца вводится и поддерживается постоянной во времени избыточная концентрация дырок

p 1019 м 3 . Определить плотность диффузионного тока в непосредственной близости от этой плоскости. На какой глубине концентрация

дырок составит p 1019 м 3 ? Считать, что толщина образца много больше диффузионной длины носителей заряда Lp .

16

РАЗДЕЛ 2

КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Контактными явлениями в полупроводниках называются физические процессы, происходящие в области электрического перехода – переходного слоя между какими-либо участками твердого тела с различными типами или значениями проводимости [4, 5].

Наиболее распространенными электрическими переходами можно считать переходной слой между металлом и полупроводником, между двумя одинаковыми полупроводниками с разными типами проводимости, а также между двумя разными полупроводниками.

Под p–n-переходом понимают контакт двух одинаковых полупроводников с разным типом проводимости. В этом случае n-область ле-

гирована донорной примесью с концентрацией доноров NД , а p-об-

ласть – акцепторной примесью с концентрацией NА . В равновесном

состоянии высота потенциального барьера между p- и n-областями определяется выражением

где nn и pp – концентрации основных носителей заряда в n- и p-об-

ластях соответственно; ni – собственная концентрация носителей за-

ряда в данном материале; k – постоянная Больцмана; T – температура; q – заряд электрона. При комнатной температуре в рассматриваемых в задачах данного сборника полупроводниковых материалах вся примесь ионизирована, а концентрация собственных носителей мала, поэтому концентрация основных носителей равна концентрации приме-

сей: nn NД, pp NА . Ширина области пространственного заряда при отсутствии внешнего напряжения равна

17

где dn и d p – соответственно ширина p–n-перехода со стороны n- и

p-областей, отсчитываемая от металлургической границы.

Поскольку внутри p–n-перехода общий отрицательный заряд ионизированных ионов акцепторов равен общему положительному заряду ионов доноров, справедливо выражение

где S – площадь поперечного сечения p–n-перехода. Отсюда следует, что

В соответствии с определением резкого p–n-перехода [1, 2] можно считать, что концентрация легирующих примесей скачком изменяется на металлургической границе, а в остальных частях p–n-перехода остается постоянной:

Тогда для резкого p–n-перехода напряженность электрического поля E линейно зависит от текущей координаты:

и достигает максимального значения на металлургической границе:

При приложении к p–n-переходу внешнего напряжения U высота потенциального барьера изменяется на величину приложенного напряжения:

Величина потенциального барьера уменьшается при положительном (прямом) напряжении U, т. е. когда «+» приложен к p-области, и увеличивается при отрицательном (обратном) напряжении. Соответственно изменяется и ширина p–n-перехода. При прямых напряжениях p–n-переход сужается:

Любая система, в которой при изменении потенциала меняется электрический заряд Q, обладает емкостью [2, 3]. Величина емкости С определяется соотношением

где U 1 – 2 – разность потенциалов.

Для p–n-перехода можно выделить два типа зарядов: заряд ионизованных доноров и акцепторов в ОПЗ и заряд инжектированных носителей в базу из эмиттера. В связи с этим для емкости p–п-перехода выделяют барьерную емкость и диффузионную емкость соответственно.

Барьерную емкость для резкого p–n-перехода можно определить согласно выражению

Диффузионная емкость определяется как

где n, p – время жизни электронов или дырок соответственно.

При идеальном контакте металла с полупроводником происходит диффузия носителей заряда из материала с меньшей работой выхода в материал с большей работой выхода [1, 2]. В результате перераспределения носителей заряда за счет диффузии нарушается электронейтральность прилегающих к границе раздела областей и возникает контактная разность потенциалов

где Aм и Aп – работа выхода из металла и полупроводника соответ-

ственно. Если рассматривается контакт металла с n-полупроводником и выполняется условие Aм Aп , то в приповерхностной области полу-

проводника возникает область пространственного заряда (ОПЗ). Ширину ОПЗ можно определить по выражению

В этом случае максимальное значение напряженности электрического поля можно определить по (2.7).

Вольт-амперная характеристика контакта металл–полупроводник определяется соотношением

где S – площадь контакта; js – плотность тока [2].

20