Электроакустические пьезопреобразователи и антенные решетки. Учебное пособие

не приводит к о

и кам определения ДН АР, прев

а им 10 %

в оков

лепестка ), а в разложении фазовой диаграмм

АП по

о ратн

м степеням 1/r удержива тся только член

порядка

1/r

(о и ка за счет прене режения остальн ми членами не прев

а-

ет π/8).

О

чно полага

т, что зона Френеля начинается с расстоя-

ний порядка (0,15 – 0,2)r .

се

су

еству

ие

вg настоя ее время метод

определения

(восстановления) ДН антенн по результатам измерений в

лиж-

ней зоне можно раз ить на две оль ие групп :

лиж-

–

метод

, в котор

ДН измеряется непосредственно в

–

ней зоне, на мал

расстояния от АР;

метод

, основанн

е на зондировании лижнего поля АР.

К первой группе относятся метод фокусировки и коллиматор-

н й метод. Ко второй группе относятся метод

, использу ие ма-

тематическу о ра отку данн о структуре

лижнего поля АР.

Для реализации этого метода [1] исп туемая антенна фокуси-

руется таким о разом, что

в месте измерения получалась ДН

антенн в дальней зоне.

Суть метода фокусировки состоит в следу ем.

зоне Френеля поле опис

вается в ражением (для случая ли-

нейной АР):

ejkr

N

jkxn sin θ

.

Pg (θ,ϕ) =

r

∑ AnFn(θ,ϕ)e

n=1

л

дения от различим

элементов АР. Метод фокусировки за-

кл

чается в том, что

скомпенсировать это отличие введением

дополнительного корректиру его фазового распределения

n.

Поле АР с корректиру

им фазов м распределением опис вает-

ся в зоне Френеля в ражением:

Метод фокусировки весьма прост. Однако его применение на

практике ограничено цел

м рядом серьезн недостатков, основ-

н ми среди котор явля

тся следу ие: измеря тся параметр

При измерении ДН в режиме приема о чно тре уется озву-

чивать антенну однородной плоской волной,

которая создается

специального типа акустическими системами

– коллиматорами,

формиру

ими в своем

лижнем поле плоску

волну. Размер

-

коллиматора должн

ть, как правило, оль

е размеров исп

туемой АР. Поле коллиматора,

лизкое к пол

плоской волн , о

-

разуется в ограниченной о ласти пространства

– ра очей о ласти

коллиматора.

тся путемизмерениясиг-

Параметр исп туемой АРопределя

нала на ее в

оде при различн

угла

поворота антенн

относи-

тельно коллиматора.

пере-

Коллиматорн м методом можно измерять и параметр

да и АР

(в этом случае коллиматор ра отает как приемная ан-

тенна).

торов – неравномерность поля по фазе и амплитуде по сравнени с

полем дву мерной и одномерной плоской волн

. Име тся резуль-

тат , котор е позволя т определять размер

коллиматоров, тип

распределения поля в его апертуре и расстояние от коллиматоров

до исп

туемой АР, при котором погре ность на ождения ДН не

прев

ает допустимого значения.

Применение коллиматоров ограничено главн м о разом пото-

методе разложения по со ственн

м модам данн е измерений

в лижней зоне антенн

прео разу

тся в сумму или спектр мод,

соответству и волнов

м числам в той системе координат, в ко-

торой производятся измерения.

основе метода разложения по со ственн м модам лежит тот

факт, что произвольное поле можно

представить в виде линейной

ком инации ряда ортогональн ре

ений в соответству ей сис-

теме координат. Ниже для примера рассмотрим метод разложения

поля по сферическим волнам, когда поле антенн

рассматривает-

ся как система сферически

функций вида:

P(θ,ϕ) = ∞

h (kr)

∞

P

(cosθ) A

cosmϕ + B

sinmϕ ,

∑

n

∑

nm

[ nm

nm

]

n=0

m=0

в которой азимутальная зависимость определяется функциями

cosm

, sinm , полярная – присоединенн м полиномом

ежандра

Pnm(cos ), а радиальная определяется функциями

анкеля.

одя ие в это в ражение коэффициент

определя

тся по из-

мерениям на повер ности сфер , о ват ва

ей источники излу-

чения (при этом, поскольку сферические волн

порядка n > kr0,

где r0 – размер сфер , не вносят су ественного вклада в поле,

ряд

можно усечь и на одить коэффициент

для конечного числа

членов разложения).

Как уже отмечалось, радиальная зависимость поля определя-

ется функциями анкеля. При этом возможно следу

ее разделе-

ние на зон излучения:

n2, hn = (γ)n+1exp(jkr)/kr;

–

дальняя зона при kr

–

лижняя зона:

а) зона Френеля при n < kr < n2, h

= (γ )n+1 exp( jkf(

r

n))/ kr;

n

) радиационная зона при kr n, hn

= (γ )n+1 exp( jkf1

(

r

n))/ kf2(

r

n).

То есть в дальней зоне все волн

сферические и со раняется

синфазность.

зоне Френеля амплитудная зависимость со раня-

ется, но синфазность нару

ается.

радиационной зоне как ам-

плитудная, так и фазовая зависимости оказ ва тся

олее слож-

н ми.

место hn здесь нео

одимо использовать функции Бесселя

1-го рода совместно с методами аналитического продолжения сфе-

рически

функций.

1

∂Φ e− jkr

∂

ejkr

Φ(R) =

∫∫

− Φ

(

) dS,

4π

∂n r

∂n

r

S

повер ности в лизи антенн

применяется известное из анализа

прео разование Фурье. Боль

ой интерес представляет, однако, не

само прео разование Фурье, а его модификация –

строе прео

-

разование Фурье (БПФ). Метод БПФ построен на возможности в

-

Специфика применения БПФ закл

чается в приведении ис-

одн

в

ражений к виду:

N

−1 M −1

j2π(

nk

ml

N

+ M )

.

Bkl = ∑ ∑ Anme

n=0 m=0

Комплексн е коэффициент

арактеризу т поле в лизи

Anm

антенн

,

которое определяется на сетке xn = x0 + n x, yn = y0

+ m y,

комплексн е коэффициент

Bkl

определя т ДН антенн

в k, l

дискретн

точка дальней зон .

При практической реализации алгоритма БПФ при одится

учит

вать два о стоятельства:

-

1.

Поле антенн в лижней зоне измеряется на части повер

ности. Искл чение из о ра отки части поля может привести к от-

клонениям результатов от истинн

значений ДН.

2. Поле измеряется не непрер

вно, а дискретно, с агом x, y.

тов наи олее проста. Однако для сферической и цилиндрической

повер ностей про

е в полнить сканирование лижнего поля АР.

Двойное БПФ

измеренн данн производится следу им

ность алгоритма БПФ, которая состоит в том, что число значений

спектра, получаем при прео разовании,

равно числу отсчетов

ис одного распределения. С цель

сокра

ения времени измере-

ний число отсчетов в распределении

лижнего поля ерется мини-

статочно для наглядного представления о структуре получаемой

ДН, в связи с чем нео одим расчет ДН в промежуточн

точка .

Су ествует два спосо а ре ения этой задачи.

данн до-

Перв й спосо – искусственное увеличение в одн

в М раз увеличить количество определяем

значений ДН. Одна-

ко это приводит к увеличени

размеров о ра ат ваемой матриц .

торой спосо – в

числяется М матриц размерность

N.

первом

цикле в числений используется N значений измеренного распре-

деления,

в следу

и

цикла

эти значения домножа тся на со-

ответству

ие фазов

е множители. Умножение значений поля

на фазов

е множители эквивалентно до авлени

к измеренно-

му распределени

линейно меня ейся фаз

, которая в

з вает

сме ение ДН по оси.

ejkrm

∞

j n

P(θ,ϕ,rm ) =

rm

∑

PnF(θ,ϕ),

(2.1)

n=0

krm

где F(θ,ϕ) – ДН АР в дальней зоне; Pn – некотор й оператор.

Для определения модуля ДН используется ряд, полученн

й из

сопряженн е значения. Для перв

тре

членов этого ряда полу-

чим формулу:

P2(θ,ϕ,r ) =

1

F 2

(θ,ϕ) +

F1 +

F2

,

2

m

r

r

r

2

(2.2)

в которой F1, F2

– некотор е функции.

О ий под од к ре ени

задачи определения первого члена

состоит в следу

ем. О р

ва

т ряд (2.1) или

(2.2)

на K-м члене,

составля т систему линейн

уравнений и ре

а т ее по правилу

Крамера. результате осу ествления указанн

операций, в час-

тности, из (2.2) получим:

K

F 2(θm ,ϕi ) = ∑αkP2k (θm ,ϕi ,rk ),

(2.3)

k=1

αk =

r kk+1

,

k

∏(rk − rl )

l=1

где (rk – rl) – расстояние между повер ностями, на котор измеря-

ется поле в зоне Френеля.

Соотно

ение (2.3) является теоретической основой лучевого ме-

тода восстановления ДН, в соответствии с котор

м определение

ДН F( ,

)

сводится к суммировани измеренн

на различн

расстояния

rk в каждом направлении

m,

i значений поля с оп-

ределенн

ми весов ми коэффициентами.

учевой метод прост в

следу

и основн

факторов: погре

ности измерения рассто-

яний и давления; методической погре

ности, закл ча

ейся в

том, что осо енность

рассматриваемого метода определения пер-

вого члена ряда является использование систем

уравнений. Ка-

залось

, чем оль

е членов ряда удет учтено, тем точнее удет

результат. Однако при этом для оль и

расстояний rk

и относи-

тельно малой разности (rk – rl) система уравнений

удет пло о о ус-

ловленной.

Известн

два под ода к оценке методической погре ности вос-

становления ДН лучев м методом. Перв й под од основан на ис-

пользовании методов теории планирования эксперимента и рег-

рессионного анализа [11], второй под од основан на исследовании

устойчивости получаемой систем

линейн

уравнений [8] путем

расчета числа о условленности Н:

H =

A

A−1

,

где

A

и

A−1

– соответственно третья норма прямой и о ратной

уравнения.

матриц систем

е рекомендации как

О а под ода да т практически одинаков

относительно тре уемой точности измерений поля в зоне Френеля,

так и в в оре расстояний, на котор

о еспечивается минималь-

но возможная погре

ность определения ДН.

частности, пока-

зано, что оптимальн

м в о

ем случае является значение k = 3,

причем наимень

ее значение погре

ности определения ДН

у-

дет при в оре расстояния r2 = r1

+ C(R3 –R1), где C = 0,35 ÷ 0,4.

арактерно также, что при таком расстоянии величина коэф-

фициентов

k одного порядка.

то о еспечивает эффективное сум-

мирование по формуле (2.3).

Приизмерения

относительнофазовогоцентраАР(Im F(θ,ϕ) = 0)

в полняется условие F1 = 0 и при k = 2

последний из учит ваем

членов ряда (2.2) имеет тот же порядок, что и в о

ем случае,

при

k =

3. Иначе говоря, о

и ки в определении значений давления в

зоне Френеля за счет ограничения ряда тремя членами и о и ки

при k = 2 и условии,

что измерения проводятся относительно фазо-

вого центра антенн

,

удут одного порядка.

Для определения координат фазового центра антенн при изме-

рения в зоне Френеля использу

т формул

[9]:

A

A1

C

C1

ψ F = k x0 +

+

sin

θ + k z0

+

+

2

cosθ,

r

r

2

r

r

θ2

A

A1

∫ ψ F (θ)sin θdθ

,

θ1

k xa

+

+

=

r

r

2

θ2

∫ sin2 θdθ

θ1

θ2

C

C1

∫

ψ F (θ)cosθdθ

,

θ1

k za +

r

+

r

2

=

θ2

∫ cos2 θdθ

θ1

2.4. В

ЭАП

АР

настоя ее время имеется

оль

ое количество ра от по оцен-

ке влияния раз росов параметров

АП на ДН АР [13, 18]. Анализ

этой литератур

показ вает, что су

ествует два основн

метода

исследования данного вопроса:

аналитический метод и метод мо-

делирования.

Аналитический метод

Цель

аналитического метода является получение аналитичес-

кой зависимости статистически

арактеристик параметров АР от

статистически

арактеристик параметров отдельн

АП. тим

методом на одят функции распределения случайн

величин, па-

раметр

распределения и момент

различн порядков.

то, в

тельность антенн

к случайн м о и кам воз уждения и раз ро-

сам параметров

АП.

N

2

G =

∑

AnFn

(θ,ϕ)

2 .

n=1

N

∑ AnFn(θ0 ,ϕ0 )e− jψn (θ0 ,ϕ0 )

n=1

Параметр G связ вает суммарну дисперси

случайн

о и-

ок воз уждения

и дисперси

,

арактеризу

у

раз рос зна-

чений амплитудной ДН.

ем мень

е G( ,

), тем мень

е раз рос

значений ДН при одни

и те

же раз роса

параметров

АП.

Если известн

допустим

е раз рос

параметров

АП, то, оп-

ределив , можно определить получа

иеся при этом допустим е

значения (о ласть допусков) для ДН.

настоя ее время наряду с измерениями ДН в дальней зоне

ироко использу

тся измерения в зоне Френеля. Для того что

рассчитать о ласть допустим

значений для распределения зву-

кового давления в зоне Френеля, нео

одимо знать значение дис-

персии в зоне Френеля

f. Используем следу

ее соотно

ение для

чувствительности антенн

к случайн

м о

и кам воз уждения и

раз росам параметров

АП в зоне Френеля (для случая плоской

ре етки):

N

2

Gf (θ,ϕ) =

∑

AnFn(θ,ϕ)

2 ,

n=1

N

∑ AnFn(θ0 ,ϕ0 )e− jψn1 (θ0 ,ϕ0 )

n=1

где

(x

cosϕ + y sin ϕ)2 sin2

θ

x2

n

+ y2

ψn1 (θ,ϕ) = ψn(θ,ϕ) + k

n

n

−

n

.

2r

2r

дальней зоне величина G(

, ) имеет минимальное значение,

если антенна компенсирована в направлении 0

= 0,

0

= 0.

Из пос-

леднего соотно ения видно,

что для этого случая Gf(

,

)

оль е

G( , ).

ение:

Также используем соотно