Численные методы. Учебное пособие для СПО

Метод искусственного базиса (М-метод) применяется ес-

ли нет очевидного начального базиса.

Двойственный симплекс-метод используется для задач с ограничениями типа ≥.

Метод внутренних точек (метод Кармаркара) является альтернативой симплекс-методу для больших задач.

Геометрическая интерпретация. Допустимое множе-

ство — это выпуклый многогранник, оптимальное решение — вершина многогранника (если существует).

Перечисленные методы применяются в экономике, финансах, логистике и машинном обучении.

Задачи ЛП — мощный инструмент для оптимизации ресурсов. Симплекс-метод остается основным алгоритмом, но для больших задач эффективны методы внутренних точек.

Реализация на языке Python

from scipy.optimize import linprog

#Коэффициенты целевой функции (минимизация: -z = -3x1 -5x2) c = [-3, -5]

#Матрица ограничений (A_ub * x <= b_ub)

A = [[1, 0], [0, 2], [3, 2]] b = [4, 12, 18]

#Границы переменных x_bounds = (0, None)

#Решение

result = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, bounds=[x_bounds, x_bounds]) print("Оптимум:", -result.fun, "при x =", result.x)

71

Самостоятельная работа

Теоретические вопросы:

1.Что такое линейное программирование?

2.Как классифицируют задачи линейного программирования?

3.В чем суть симплекс-метода?

4.Какая геометрия лежит в основе симплекс-метода?

5.Какие ограничения накладываются на переменные в задачах ЛП?

6.Как осуществляется переход от стандартной задачи ЛП к канонической?

7.Чем отличаются двойственный и обычный симплекс-

метод?

8.Когда эффективно применять метод искусственных

базисов?

9.В чем преимущество метода внутренних точек?

10.Могут ли существовать ситуации, когда симплексметод не находит оптимальный ответ?

Практические задания:

1.Реализуйте симплекс-метод для задачи максимизации прибыли на Python.

2.Решите задачу минимизации издержек производства

сограничениями на ресурсы.

3.Покажите практичность метода искусственных базисов на примере транспортной задачи.

4.Реализуйте двойственный симплекс-метод на

MATLAB.

5.Исследуйте чувствительность решения задачи ЛП к изменениям коэффициентов целевой функции.

6.Подготовьте тестовую задачу для демонстрации разницы между простым и двойственным симплекс-методом.

7.Разработайте алгоритм внутренней точки для решения большой задачи ЛП.

72

8.Проанализируйте работу симплекс-метода на искусственно созданных экстремально крупных задачах.

9.Оцените влияние изменения ограничений на оптимальное решение задачи ЛП.

10.Смоделируйте ситуацию распределения ресурсов предприятия с помощью методов линейного программирования.

73

ЛИТЕРАТУРА

1.Демидович, Б.П. Основы вычислительной математики : учебное пособие / Б.П. Демидович, И.А. Марон. — Санкт-Петербург : Лань, 2009. — 672 с.

2.Калиткин, Н.П. Численные методы : учебное пособие / Н.П. Калиткин. — Санкт-Петербург : БХВ-Петербург, 2011. — 592 с.

3.Численные методы. Примеры и задачи : учебнометодическое пособие по курсам «Информатика» и «Вычислительная математика» / составители Ф.Г. Ахмадиев, Ф.Г. Габбасов, Л.Б. Ермолаева, И.В. Маланичев. — Казань : Изд-во КГАСУ,

2017. — 107 с.

4.Глинченко, А.С. Цифровая обработка сигналов : учебное пособие. В 2 частях. Ч. 1 / А.С. Глинченко. — Красноярск : Изд-во КГТУ, 2001. — 199 с.

5.Волков, Е.А. Численные методы : учебное пособие для вузов / Е.А. Волков. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 252 с.

6.Кумар, Ч. Учебник по численным методам и анализу / Ч. Кумар, Х.К. Чавла, И. Сингх. — Нью-Дели : Sultan Chand&Sons, 2024. — 272 с.

74