Численные методы. Учебное пособие для СПО

legend('метод Эйлера','точное решение') function y = eulerFunc

prev = y0;

for i = 1:length(xlist)

y = prev + h * func(xlist(i), prev); prev = y;

eulerlist(i) = prev; end

end

function y = exactFunc for i = 1:length(xlist)

exactList(i) = exp(sin(xlist(i))); end

end end

function res = func(x,y) res = y * cos(x);

end

6.1.2. Улучшенный метод Эйлера

Модифицированный метод Эйлера (метод Хойна) позволяет уменьшить погрешность на каждом шаге при помощи коррекции шага Эйлера с использованием среднего значения производных по формуле:

1 = ( , )

{ 2 = ( + , + 1)

+1 = + 2 (1 + 2)

Реализация на языке Python

61

def heun_method(f, t0, y0, h, n_steps): t = [t0]

y = [y0]

for _ in range(n_steps): k1 = f(t[-1], y[-1])

k2 = f(t[-1] + h, y[-1] + h * k1) y_next = y[-1] + h * 0.5 * (k1 + k2) t_next = t[-1] + h

y.append(y_next) t.append(t_next)

return t, y

Реализация на языке Matlab

function A = MetodEilera(y0,h,Xstart,Xend) tic

f = @(x,y) x.^2 + y; y = y0;

x = Xstart;

C = 0;

Xmas = zeros(ceil(abs(Xend-Xstart/h)),1); Ymas = zeros(ceil(abs(Xend-Xstart/h)),1); while x < Xend-h

C = C + 1;

y1 = y + h * f(x,y);

y = y + h * (f(x,y)+f(x+h,y1))/2; x = x+h;

Xmas(C) = x; Ymas(C) = y; disp([x,y1,y]); end plot(Xmas,Ymas); A = "END";

toc end

6.1.3. Метод Рунге-Кутта

62

6.2. Разностные методы решения краевой задачи

Краевая задача (КЗ) для ОДУ отличается от задачи Коши тем, что условия заданы не в одной точке, а на границах интервала. Например:

Разностный метод (метод сеток) — это численный под-

ход, основанный на замене производных разностными аналогами и решении полученной системы алгебраических уравнений.

Основные этапы метода можно разбить на несколько шагов. Первое, что необходимо сделать — это построить сетки.

Затем, третьим шагом, переходим к построению разностной схемы. Подставляем аппроксимации в исходное ОДУ. Для урав-

65

Упростив выражение, получим уравнение, которое сформирует систему линейных уравнений для :

(1 − 2 ) −1 + (−2 + 2 ) + (1 + 2 ) +1 = 2 .

При решении задач необходимо учесть краевые условия: чаще используемые граничные условия Дирихле (значения функций на краях) и условия Неймана (значения производной) аппроксимируются дополнительно.

Полученная система имеет трехдиагональную матрицу и решается методами, описанными выше.

Реализация на языке Python

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def solve_bvp(p, q, f, a, b, alpha, beta, N): h = (b - a) / N

x = np.linspace(a, b, N + 1)

# Инициализация матрицы и правой части

A = np.zeros((N - 1, N - 1)) F = np.zeros(N - 1)

for i in range(N - 1): xi = x[i + 1]

A[i, i] = -2 + h**2 * q(xi) if i > 0:

A[i, i - 1] = 1 - h/2 * p(xi) if i < N - 2:

A[i, i + 1] = 1 + h/2 * p(xi)

66

F[i] = h**2 * f(xi)

# Учет краевых условий

F[0] -= (1 - h/2 * p(x[1])) * alpha F[-1] -= (1 + h/2 * p(x[-2])) * beta

# Решение системы

y_inner = np.linalg.solve(A, F)

y = np.concatenate(([alpha], y_inner, [beta]))

return x, y

# Пример: y'' - y = x, y(0) = 0, y(1) = 1 p = lambda x: 0

q = lambda x: -1 f = lambda x: x a, b = 0, 1

alpha, beta = 0, 1 N = 100

x, y = solve_bvp(p, q, f, a, b, alpha, beta, N)

# Точное решение для проверки def exact_solution(x):

return (np.exp(1) / (np.exp(2) - 1)) * (np.exp(x) - np.exp(-x)) - x

plt.plot(x, y, 'b-', label='Численное решение')

plt.plot(x, exact_solution(x), 'r--', label='Точное решение') plt.legend()

plt.xlabel('x')

plt.ylabel('y')

plt.show()

67

Самостоятельная работа

Теоретические вопросы:

1.Что такое обыкновенное дифференциальное уравнение?

2.В чем различия между задачей Коши и краевой зада-

чей?

3.В каких случаях эффективен метод Эйлера?

4.Какие модификации возможны для улучшения метода

Эйлера?

5.Какова сущность метода Рунге-Кутта?

6.Когда целесообразно использовать многошаговые методы вроде метода Адамса?

7.Как устроены разностные методы решения краевых за-

дач?

8.Существуют ли гарантии абсолютной устойчивости численных методов?

9.Какие особенности присущи решению жестких дифференциальных уравнений?

10.Всегда ли удается найти численное решение любой задачи Коши?

Практические задания:

1. Реализуйте метод Эйлера для уравнения ′ = +

сусловием (0) = 1.

2.Примените улучшенный метод Эйлера для решения уравнения ′ = sin( ) , (0) = 0.

3.Решите уравнение ′ = −∆ методом Рунге-Кутта четвертого порядка (∆= 1, (0) = 1).

4.Примените метод Адамса второго порядка для урав-

нения ′ = 2 − , (0) = 0.

5.Сравните эффективность методов Эйлера и РунгеКутта на одном и том же уравнении.

6.Разработайте программу для исследования влияния шага интегрирования на точность решения.

68

7. Реализуйте краевую задачу методом конечных разно-

стей.

8.Оцените надежность полученных решений при изменении параметров краевой задачи.

9.Предложите альтернативный подход для жесткого дифференциального уравнения.

10.Примените методы численного решения ОДУ для моделирования динамики механической системы.

69

7. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Линейное программирование — это математический ме-

тод оптимизации, в котором целевая функция и ограничения являются линейными, а переменные принимают неотрицательные значения.

Целевая функция: = 1 1 + 2 2 + + →

/.

Переменные: 1, 2, … , ≥ 0. Ограничения:

11 1 + 12 2 + + 1 ≥ 1

{ 11 1 + 22 2 + + 2 ≥ 2

1, 2, … , ≥ 0.

Есть несколько типов задач, отличающихся по целевой функции. Стандартная задача: целевая функция максимизация, а ограничения неравенства типа (≤). Каноническая задача: целевая функция максимизация или минимизация, ограничения типа (=). Общая задача: комбинация равенств и неравенств. Рассмотрим популярные алгоритмы.

Симплекс-метод применяется для решения общих задач ЛП. Идея, которого состоит в переходе от одной вершины многогранника допустимых решений к другой с увеличением значения целевой функции. Шаги алгоритма:

1.Приведение к канонической форме.

2.Построение начального базисного решения.

3.Итеративное улучшение решения через симплекстаблицы.

4.Проверка на оптимальность.

70