Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Численные методы. Методические указания к выполнению лабораторных работ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

990 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

2885

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информатики

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Составитель С.А. Суслова

Липецк Липецкий государственный технический университет

2012

УДК 519.6(07) C904

Рецензент

Н.П. Гвозденко, канд. техн. наук, доц.

Суслова С.А.

Численные методы [Текст]: методические указания к выполнению лабо-

раторных работ / С.А. Суслова. – Липецк: Изд-во ЛГТУ, 2012. – 34 с.

В методических указаниях приведены краткие сведения и формулы по темам «Приближенное вычисление определенных интегралов», «Решение не-

линейных уравнений», «Решение системы линейных уравнений», «Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений». Рассматриваются алго-

ритмы реализации численных методов.

Предназначены для студентов технических специальностей.

Табл. 4 . Ил. 14.

ФГБОУ ВПО «Липецкий государственный технический университет», 2012

Содержание

Лабораторная работа №1

Приближенное вычисление определенных интегралов (метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона)

1.	Методические указания к выполнению работы	............................................. 4
2.	Задание ...............................................................................................................	8
3.	Порядок выполнения лабораторной работы ..................................................	8
4.	Контрольные вопросы ......................................................................................	9
5.	Варианты заданий ...........................................................................................	10
Лабораторная работа №2
Решение нелинейного алгебраического уравнения (метод деления отрезка
пополам, метод касательных, метод хорд)
1.	Методические указания к выполнению работы ...........................................	11
2.	Задание .............................................................................................................	14
3.	Порядок выполнения лабораторной работы ................................................	16
4.	Контрольные вопросы ....................................................................................	17
5.	Варианты заданий ...........................................................................................	19

Лабораторная работа №3

Решение системы линейных алгебраических уравнений (метод Гаусса, метод итераций)

1.	Методические указания к выполнению работы ............................................................	20
2.	Задание .............................................................................................................	24
3.	Порядок выполнения лабораторной работы ................................................	24
4.	Контрольные вопросы ....................................................................................	26
5.	Варианты заданий ...........................................................................................	27

Лабораторная работа №4
Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений		методом
Рунге-Кутта
1.	Методические указания к выполнению работы ......................................	28
2.	Задание .........................................................................................................	29
3.	Порядок выполнения лабораторной работы ............................................	29
4.	Варианты заданий ........................................................................................	30

Библиографический список …………………………………………………….32

Лабораторная работа № 1

Приближенное вычисление определенных интегралов

1. Методические указания к выполнению работы

Численное интегрирование основано на геометрическом смысле опреде-

ленного интеграла, который заключается в том, что значение

= ∫ ( )

		прямыми =
равно площади фигуры, ограниченной осью	абсцисс,	прямыми =
, = и кривой подынтегральной функции. Эту	фигуру	(криволинейную

трапецию) разбивают на ряд элементарных фигур с легко вычисляемыми пло-

щадями, суммирование которых дает искомое значение интеграла.

Метод прямоугольников

Разбиение интервала интегрирования [ ; ] на n частей приводит к воз-

можности рассмотрения площадей криволинейных трапеций на каждом небольшом отрезке , + .

Учитывая малую величину шага разбиения = − , площадь такой фи-

гуры можно считать приближенно равной площади прямоугольника со сторо-

нами и h (рис.1).

		Y1	Y2			Yi+1	Yn
					Yi		Yn
					Yi
	Y0
								Y=F(x)
0	x0=a	x1	x2	….	xi	xi+1…	xn=b	X

Рис.1. Графическая интерпретация метода прямоугольников

Суммирование значений таких площадей ( = ∙ ) позволяет полу-

чить формулу «левых» прямоугольников

−

∫ ( ) ≈ ∑ ( ) .

Блок-схема метода прямоугольников представлена на рис.2.

Начало

Ввод a,b,n

h=(b-a)/n S=0

X=a

j=1, n

F(x)

S=S+F(x) x=x+h

Конец цикла j

I=S*h

Вывод I

Конец

Рис.2. Блок-схема алгоритма метода прямоугольников

Начало

Ввод a, b, n

H=(b-a)/n

X=a

( )+( )

j=2, n

x=x+h

S=S+F(x)

Конец цикла j

I=S*h

Вывод II

Конец

Рис.3- Блок-схема алгоритма Рис.3. Блок-схема алгоритма метода трапеций

метода трапеций

Метод трапеций

Замена интеграла

= ∫

( )

на каждом элементарном участке площадью трапеции с основаниями

( ),

(

) и

высотой

h ( = (

)/ )

приводит после

суммирования к следующей формуле:

( )

+ ( )

−1

∫ ( ) ≈ (

+ ∑

( )).

Блок-схема метода прямоугольников представлена на рис.3.

Метод Симпсона (парабол)

Разбиение промежутка [ ; ] на четное число

( = ) отрезков поз-

воляет на каждой паре отрезков [ ;

] заменить подынтегральную функцию

параболой

( ) = +

+ . Площадь фигуры, ограниченной сверху

параболой, считается по формуле:

∫

( 2

+ + ) =

( + 4

) .

Суммирование таких интегралов (площадей, ограниченных параболами)

приводит к более точной, чем предыдущие, формуле:

∫ ( ) ≈ 3 ( 0 + 4( 1 + 3 + … + 2 −1) + 2( 2 + 4 + … + 2 −2) + 2) .

Увеличение числа разбиений приведёт к более точным результатам. При вычислении интегралов описанными методами оценить количество разбиений отрезка удается достаточно редко. В таком случае следует выполнить расчёты интеграла для шага h и h/2 и полученные значения сравнить.


Если для формулы Симпсона оценочная величина	− /	больше за-
Если для формулы Симпсона оценочная величина		больше за-

данной точности ε, то приходится уменьшать шаг до h/4 и т.д., пока на каком-

то этапе не будет выполнено условие:

− /2 < . 15

Данный алгоритм позволяет вычислить значение интеграла с автоматиче-

ским выбором шага. Его схема представлена на рис.4.

Начало

Ввод a,

F(x)

h=(b-a)/n

I1=0

( )+( )

x=a+h, b-h,

S=S+2f(x)+f(x+h

Конец цикла

I=2hS/3 R=|I-I1|/15 h=h/2

I1=I

нет	д
R>ε	Вывод

Конец

Рис.4. Блок-схема алгоритма метода Симпсона

Для удобства программирования использована измененная формула Симпсона:

	2		0− 2	2 −1(2)
∫ ( ) ≈	2	(	0− 2	+ ∑	(2 +		)).
∫ ( ) ≈		(		+ ∑	(2 +		)).
	3	2				+1
	3	2		=1
				=1
			2. Задание
Вычислить интеграл	∫ ( ) с заданной погрешностью по формулам

прямоугольников, трапеций, Симпсона.

3.Порядок выполнения лабораторной работы

1.Изучить свой вариант задания (см. с.10). Номер метода:

метод прямоугольников-1; метод трапеций – 2; метод Симпсона-3.

2.Разработать блок-схему алгоритма решения задачи.

3.Составить программу решения задачи.

3.1.Исходные данные: пределы интегрирования a,b, точность ε задавать при вводе. В результате вычисления должны быть получены значения интеграла , величина погрешности и шага интегрирования h.

3.2.Использовать подпрограмму-функцию для вычисления f(x).

3.3.Использовать подпрограмму для вычисления интеграла при заданном количестве разбиений N отрезка [ ; ].

4. Составить отчет по лабораторной работе.

	Алгоритм вычисления интеграла с заданной точностью
1.	Вычислить 0 = ( − )( ( ) + ( ))/2 и	2 – значение интеграла
при 2-х разбиениях отрезка [ ; ] по заданному численному методу.
2.	Найти модуль разности значений этих интегралов = \| 0 − 2\| и
сравнить с заданной погрешностью ε.
3.	Если модуль разности не превышает ε, то считают интеграл

	∫ ( )

вычисленным с заданной точностью. Значение интеграла равно 2.

4. В противном случае вычислить 4 – значение интеграла при 4-х раз-

биениях отрезка [a, b] и сравнить 2 и 4 и т.д., пока точность ε не будет до-

стигнута (рис.5).

N=1

I0=(b-a)(f(a)+f(b))/2

N=2n

Подпрограмма вычисления I при заданном N

R=| I0-I2|

I0=I

нет

R<ε

дада

Вывод I, N

Рис.5. Блок-схема алгоритма вычисления определённого интеграла

4.Контрольные вопросы

1.В чем заключается задача численного интегрирования?

2.Записать указанные преподавателем формулы вычисления интеграла численными методами.

3.Геометрическая интерпретация вычисления интеграла.

4.Объяснить алгоритм численного интегрирования с помощью различ-

ных методов.

								5.			Варианты заданий

Номер		Функция										Отрезок [; ] ,			Номер
Варианта									f(x)			точность ε			метода

1	( 2 + sin( ))											[1; 2],	10−4		1
1												[1; 2],	10−4		1
2	2( ) + c 2										( )	[0,5; 1],	10−3		2
2												[0,5; 1],	10−3		2
					√
3					√			− 1				[0; 1,5],	10	−4	3
3												[0; 1,5],	10		3

4		sin( )										[0; 1],	10−4		1
4												[0; 1],	10−4		1
	1							1
5									sin(	)		[1; 2,5],	10−3		2
5					2				sin(	)		[1; 2,5],	10−3		2

6	∙ ( )											[0; 3],	10−3		3
6												[0; 3],	10−3		3
7	(1 + ln( ))											[1; 2],	10−4		1
7												[1; 2],	10−4		1
	1
8	1				√ 2 − 0,2							[1; 2],	10−4		2



9									23			[0; 1],	10−3		3
9												[0; 1],	10−3		3
10					2( )							[0; 1,7],	10−3		1
10												[0; 1,7],	10−3		1
11					( ( )2							[1; 2,7],	10−4		2
11												[1; 2,7],	10−4		2
								1
												[0; 1],	10−3
12			4(1 + 2)									[0; 1],	10−3		3

						2 − 1
13												[0; 1],	10−3		1
13						2 + 1						[0; 1],	10−3		1

		(		1		∙ ( ))3
14		(				∙ ( ))3									2
14												[1; 2],	10−4		2
												[1; 2],	10−4
15									3			[0; 2],	10−4		3
15							3 +					[0; 2],	10−4
							3 +

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]