Численные методы. Методические указания к выполнению лабораторных работ

Разделив коэффициенты первого уравнения системы (3) на ведущий эле-

мент 22(1) , получим

Тогда

(2)

3 = 34(2) = 34(2). (6)

33

Остальные неизвестные определяются из уравнений (4) и (2):

2 = 24(1) − 23(1) ∙ 3

1 = 14 − 13 3 − 12 2 .

Таким образом, процесс решения системы уравнений по методу Гаусса сводится к построению эквивалентной системы (2), (4), (6), имеющей треуголь-

ную матрицу. Необходимым и достаточным условием применимости метода является неравенство нулю всех ведущих элементов. Процесс нахождения ко-

эффициентов треугольной системы называется прямым ходом, процесс по-

лучения значений неизвестных – обратным.

При большом числе неизвестных системы схема метода Гаусса становит-

ся сложной. В этих случаях можно воспользоваться приближенными числен-

ными методами. Рассмотрим один из них.

21

Метод итерации

Пусть дана линейная система

разрешим первое уравнение системы (7) относительно 1, второе – относительно 2, и т. д. В результате получим эквивалентную систему уравнений

Если за нулевое приближение принять столбец свободных членов и подставить его в правую часть уравнения (9), то получим первое приближение

1 = + 0.

Аналогично 2 = + 1. Любое (n + 1) приближение вычисляется по формуле +1 = + . Процесс итерации продолжается до тех пор, пока не будет выполнено условие | +1 − | ≤ .

Блок-схема алгоритма решения систем линейных алгебраических уравнений методом итерации приведена на рис. 12. Исходными данными являются: N – порядок системы, ε – заданная точность расчета; ( , ) – элементы матрицы коэффициентов при неизвестных; ( ) – вектор свободных членов; ( ) – начальное приближение к решению; X( )– рабочий массив.

22

2. Задание

Решить систему линейных уравнений = методом Гаусса.

11 1 + 12 2 + 13 3 = 1 , { 21 1 + 22 2 + 23 3 = 2 ,31 1 + 32 2 + 33 3 = 3 .

3.Порядок выполнения лабораторной работы

1.Изучить свой вариант задания (см. с.27).

2.Разработать блок-схему алгоритма решения задачи.

3.Составить программу решения задачи.

Исходными данными являются:

Порядок уравнения системы ;

Массив коэффициентов при неизвестных ( ; + 1). 4. Составить отчет по лабораторной работе.

Алгоритм решения системы n линейных уравнений методом Гаусса

Блок–схема алгоритма решения систем линейных уравнений приведена на рис.13. Алгоритм состоит из следующих основных этапов.

1. Представление исходных данных в виде массива – прямоугольной матрицы вида

2.Первая строка матрицы делится на 11, затем умножается на

,1( = 2,3, … , )

и вычитается из к-й строки (последовательно из 2-,3-,…, n-й строк); эле-

менты первого столбца матрицы, начиная с 21 и до 1, становятся нулями:

24

где обозначение 1 принято для преобразованной матрицы.

3.Вторая строка матрицы 1 делится на 22, затем умножается на 2 и

вычитается из всех строк = 3,4, … , .

4.Действия, аналогичные перечисленным в п.3, повторяются до тех пор,

пока подобная процедура не будет проделана с (n-i)-й строкой матрицы; матри-

ца будет приведена к виду

5. Элементы последней строки полученной матрицы позволяют вычис-

лить значение

= , +1.

,

= +1

4.Контрольные вопросы

1.Объяснить последовательность вычисления корней методом Гаусса.

2.Назвать необходимые и достаточные условия применимости метода Гаусса.

3.Какие этапы называются прямым и обратным ходом решения?

4.В чем заключается преимущество метода Гаусса перед методом итера-

ции?

5.Объяснить последовательность вычисления корней методом итерации.

26

6.Объяснить сущность метода Гаусса с выбором главного элемента.

7.Как производится оценка погрешности в методе итерации?

8.Написать формулу первого приближения методом итераций.

9.Написать формулу вычисления корня методом Гаусса.

27

Лабораторная работа №4

Решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений

методом Рунге-Кутта

Решение уравнения (10) находится не для всех точек интервала, а лишь для дискретных значений

( = 0,1,2, … , ).

В методе Рунге-Кутта для определения значения функции необходимо

четырежды вычислить производную и результат усреднить. Погрешность этого

Эффективная оценка погрешности метода Рунге-Кутта затруднена. По-

этому для проверки правильности выбора шага h используют двойной пересчет значений в каждой точке; один раз с шагом h, другой – с шагом h/2.

29

Если условие

выполняется, то шаг h выбран правильно, и переходят к расчету в следу-

ющей точке. В противном случае шаг уменьшается вдвое и расчеты повторя-

ются. В формуле (11): , /2 значения функции, рассчитанные с шагом h и h/2 соответственно.

Блок - схема алгоритма метода Рунге–Кутта приведена на рис.14.

2. Задание

Найти решение дифференциального уравнения в интервале [0, ] с точностью = 10−3.

3.Порядок выполнения лабораторной работы

1.Изучить свой вариант задания (см. с. 30).

2.Разработать блок-схему алгоритма решения задачи.

3.Составить программу решения задачи.

Исходными данными являются:

Начало и конец интервала интегрирования – 0, ;

Начальное значение функции 0;

Точность расчета ε; H – шаг интегрирования;

вспомогательный массив (3).

4.Составить отчет по лабораторной работе.

4.Варианты заданий