Численное решение краевых задач. Учебно-методическое пособие

УДК 53:519.6(075.8) Г 725

Рецензенты:

д-р техн. наук, профессор А.В. Чичиндаев канд. техн. наук, доцент Ю.В. Телкова

Работа подготовлена на кафедре аэрогидродинамики для студентов III и IV курсов ФЛА направления «Баллистика

и гидроаэродинамика» и утверждена Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия

Гостеев Ю.А.

Г 725 Численное решение краевых задач: учебно-методическое пособие / Ю.А. Гостеев. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2019. – 66 с.

ISBN 978-5-7782-4075-9

На примерах рассмотрены основные конечно-разностные методы решения краевых и начально-краевых задач для уравнений математической физики. Приведены расчетные программы на языке Фортран и задания расчетно-графических работ. Показаны приемы работы в пакете прикладных программ при решении краевых задач методом конечных объемов. В приложении содержится необходимый материал для создания графических пользовательских приложений.

Пособие предназначено для студентов III и IV курсов ФЛА направления «Баллистика и гидроаэродинамика», изучающих дисциплины «Вычислительная математика» и «Численные методы механики жидкости и газа».

2

Дифференцируя (2), найдем точные выражения для qл,п .

5

МКР

Задача (1) есть частный случай линейной краевой задачи для ОДУ второго порядка

1. На отрезке [a,b] введите разностную сетку (x1,x2, ...,xN ) , где

xi a (i 1)h , i 1,...,N, h (b a)/(N 1). С помощью формул численного дифференцирования замените дифференциальную задачу (3) разностной:

u1 uл ,

uN uп .

Собирая коэффициенты при ui 1, ui , ui 1, найдите для вектора неизвестных (u1 ,…,uN ) СЛАУ с трехдиагональной матрицей, которую решаем методом прогонки. Для определения граничных потоков тепла q1 и qN используйте аппроксимацию производной по несимметричным формулам второго порядка:

2. Напишите фортран-программу, реализующую метод конечных разностей (4). За основу возьмите программу Kraev1 (см. ниже), которая

решает задачу (1) для слоя Al ( 202,4Вт м 1К 1 ) толщиной l 1 м с граничными температурами uл 300 К, uп 500 К и источником тепла

S(x) Smax sin(5 x) , Smax 1,6192 МВт/м3. Данная задача имеет точное решение:

6

3. Используя программу, проведите расчеты для числа шагов (N 1) 10, 20, 40 и 80. Полученные данные занесите в таблицу.

На основании анализа погрешности сделайте вывод о порядке аппроксимации метода. Постройте графики точного и приближенного решения для разных N, убедитесь в сеточной сходимости приближенного решения (т. е. убедитесь в уменьшении влияния сетки на решение при ее измельчении).

program kraev1 parameter(N=11)

dimension c(N),d(N),e(N),f(N),x(N),u(N),ue(N) common /par1/ xR,uL,uR,rmax open(10,file='res.dat')

xL=0.0; uL=300 xR=1.0; uR=500

rmax=8e3 ! Smax/lambda h=(xR-xL)/(N-1); h2=h*h do j=1,N; x(j)=xL+(j-1)*h;

c(j)=1.0-(h/2)*p(x(j)); d(j)=h2*q(x(j))-2.0 e(j)=1.0+(h/2)*p(x(j)); f(j)=h2*r(x(j)) end do

c(1)=0.0; e(1)=0.0; d(1)=1.0; f(1)=uL c(N)=0.0; e(N)=0.0; d(N)=1.0; f(N)=uR call Progon(N,c,d,e,f,u)

print*,' x u uex' do j=1,N

ue(j)=uex(x(j))

print '(3(1x,1pe12.5))',x(j),u(j),ue(j) write(10,100)x(j),u(j),ue(j)

end do du=maxval(abs(u-ue))/uL print*,' du=',du

100 format(3(1x,1pe12.5)) end

7

function p(x) p=0.0

end function q(x) q=0.0

end

function r(x)

common /par1/ xR,uL,uR,rmax pi=4.*atan(1.) r=-rmax*sin(5.*pi*x)

end

function uex(x)

common /par1/ xR,uL,uR,rmax pi=4.*atan(1.); rmax5=rmax/(5*pi)**2

uex=uL+((uR-uL)-rmax5*sin(5*pi*xR))*x/xR+rmax5*sin(5*pi*x) end

Результаты:

x u uex

0.00000E+00 3.00000E+02 3.00000E+02

МКО (ПАКЕТ ANSYS)

1. Создание проекта (программа Workbench). После запуска Workbench раскройте в «Toolbox» закладку «Analyses Systems» и выберите «Fluid Flow (Fluent)» (двойной клик «мыши» либо перетаскивание

8

на поле «Project Schematic»). Сохраните проект (кнопка «Save») в специально созданной рабочей папке. Путь к рабочей папке не должен содержать букв кириллицы.

2. Создание геометрической модели расчетной области (DesignModeler). Выполните двойной клик «мыши» по пункту «Geometry» в схеме проекта. При первом запуске выберите единицу измерения длины («Meter» по умолчанию). Далее создайте на плоскости xy чер-

теж: выделите «XYPlane», нажмите кнопку «New Sketch» ; на за-

кладке «Sketching» с помощью инструментов «Draw» -> «Rectangle» и «Dimensions» -> «Horizontal», «Vertical» начертите прямоугольную область длиной l (0 x l ) и высотой l /40 (0 y l /40). (Для те-

стовой задачи l 1 м.) Затем переключитесь на закладку «Modeling», выберите пункт меню «Concept»->«Surfaces From Sketches»

9