Численное решение краевых задач. Учебно-методическое пособие

Пример неустойчивого расчета ( 0,55)

МКО (ПАКЕТ ANSYS)

1. Создание проекта (программа Workbench). После запуска Workbench раскройте в «Toolbox» закладку «Analyses Systems» и выберите «Fluid Flow (Fluent)» (двойной клик «мыши» либо перетаскивание на поле «Project Schematic»). Сохраните проект (кнопка «Save») в специально созданной рабочей папке. Путь к рабочей папке не должен содержать букв кириллицы.

2. Создание геометрической модели расчетной области (DesignModeler). Выполните двойной клик «мыши» по пункту «Geometry» в схеме проекта. При первом запуске выберите единицу измерения длины

(«Meter» по умолчанию). Далее создайте на плоскости xy чертеж: вы-

делите «XYPlane», нажмите кнопку «New Sketch» ; на закладке

«Scetching» с помощью инструментов «Draw»-> «Rectangle» и «Dimensions»->«Horizontal», «Vertical» начертите прямоугольную об-

ласть длиной l (0 x l ) и высотой l / 400 (0 y l /400 ). (Для тестовой задачи l 8 м.) Затем переключитесь на закладку «Modeling»,

21

выберите пункт меню «Concept»->«Surfaces From Scetches» и нажмите

3. Генерация расчетной сетки и задание границ (Meshing). Выполните двойной клик «мыши» по пункту «Mesh» в схеме проекта. В дре-

вовидном списке выберите «Mesh» (ПКМ) -> «Insert» -> «Sizing». Выде-

лите нижнюю и верхнюю горизонтальные границы области (при этом соответствующий фильтр выделения объектов должен быть активным:

) и в окне свойств нажмите «Apply». Также в окне

свойств задайте «Type»= «Number of Divisions», «Number of Divisions» =200,«Behavior»=«Hard».Аналогичныедействиявыполнитедлялевой и правой вертикальных границ, причем задайте число ячеек «Number of Divisions» = 1. Далее выполните «Mesh»-> «Insert»-> «Mapped Face Meshing»ивсвойствахукажитеобластьдля«Geometry».Затемнажмите

.Будетсгенерированаконечно-объемнаясеткасячей-

ками прямоугольной формы. Теперь создайте граничные поверхности: выделяя граничную линию, вызывайте контекстное меню (ПКМ) -> «Create Named Selection». Левая граница – «left», правая – «right», ниж-

няя – «bot», верхняя – «top». Перед сохранением проекта выполните

.

4. Задание физической модели, начальных и граничных условий, параметров численного алгоритма (Fluent). Запуск препроцессора осуществляется с помощью кнопки «Setup» в дереве проекта.

Впункте «General» раздела «Solution Setup» выберите опцию «Time»= «Transient» для решения нестационарной задачи.

Впункте «Models» подключите уравнение энергии «Energy – On».

Впункте «Materials» выделите «Aluminum» и нажмите кнопку

«Create/Edit». В окне «Create/Edit Materials» введите числовые значения

плотности , теплоемкости cp и коэффициента теплопроводности

материала, такие чтобы обеспечить требуемое значение коэффициента температуропроводности a /( cp ). Например, для тестовой задачи

«Density (kg/m3)» = «101.2», «Cp (Specific Heat) (j/kg – k)» = «1», «Thermal Conductivity (w/m-k)» = «202.4». Затем нажмите «Change/Create» и «Close». (Указанный способ задания свойств материала корректен только при решении первой краевой задачи без источника тепла.)

В пункте «Cell Zone Conditions» установите тип «Type» = «solid» для зоны «surface_body».

22

Впункте «Boundary Conditions» выберите в списке зон «Zone» ле-

вую границу «left» и нажмите «Edit…». На закладке «Thermal» окна

«Wall» выберите «Temperature» в «Thermal Conditions», в поле справа

«Temperature(k)»задайтезначениетемпературы(«300»длятестовойзадачи) и нажмите «OK». Аналогично задайте температуру на правой границе «right» («300» для тестовой задачи).

Впункте «Solution Methods» раздела «Solution» выберите неявную схему во времени второго порядка точности: «Transient Formulation» = «Second Order Implicit».

Впункте «Monitors» раздела «Solution» выделите «Residuals» в списке «Residuals, Statistics and Force Monitors» и нажмите кнопку «Edit…». В окне «Residual Monitors» задайте абсолютную невязку «1e- 7» для уравнения энергии «energy» и нажмите «OK».

Впункте «Solution Initialization» выберите «Standard Initialization» и

нажмите кнопку «Initialize». Будут заданы однородные начальные усло-

вия T t 0 T0 . После этого появляется возможность задания неоднород-

ных начальных условий. Выберите «Define» -> «Custom Field Functions…». В окне «Custom Field Function Calculator» с помощью кнопок калькуляторавведитевполе«Definition»следующеевыражение(дляте-

стовой задачи): «300+sin(3*pi*». Затем в списке «Field Functions» выберите «Mesh», «X-Coordinate» и нажмите на кнопку «Select». Нажмите кнопку «)» калькулятора, выражение для функции примет вид

«300+sin(3*pi*x)». В поле «New Function Name» введите «temp0» и

нажмите кнопки «Define» и «Close». Функция, описывающая неоднородные начальные условия T t 0 T0 (x), создана. Теперь опреде-

ляем регион, в котором эти условия будут заданы, в нашем случае – это вся расчетная область. Выберите «Adapt» -> «Region» и в окне «Region Adaption» задайте: «Options» = «Inside», прямоугольную форму обла-

сти – «Shapes» = «Quad», размеры вмещающей области (в тестовой за-

даче «X min (m)»= «0», «X max (m)»= «8», «Y min (m)» = «0», «Y max (m)» = «0.1»). Далее нажмите кнопку «Mark», втекстовом окне появится сообщение «200 cells marked for refinement, 0 cells marked for coarsening». Проконтролируйте правильность задания региона с помощью кнопки «Manage…» и последующего нажатия кнопки «Display» в окне «Manage Adaption Registers». Закройте открытые окна с помощью кнопок «Close». Возвратитесь к пункту «Solution Initialization» и

нажмите на кнопку «Patch…». В окне «Patch» выделите «Temperature» в

23

списке «Variable», «hexahedron-r0» в списке «Registers to Patch», активируйте «Use Field Function» и выберите «temp0» в списке «Field Function». Нажмите кнопки «Patch» и «Close». Обратите внимание, созданный регистр «hexahedron-r0» активен только до следующей инициализации – нажатия на кнопку «Initialize».

С помощью «Define» -> «Custom Field Functions…» cоздайте функ-

цию избыточной температуры «tizb» с выражением «temperature-300».

В пункте «Calculation Activities»: введите «100» в поле «Autosave Every (Time Steps)». Промежуточные файлы данных будут сохраняться в каталоге «…\dp0\FFF\Fluent». Нажмите на кнопку «Create/Edit» поля «Solution Animations». В окне «Solution Animation» задайте «Animation Sequences» = «1», «Every» = «1», в списке «When» выберите «Time Step» и нажмите кнопку «Define…». В окне «Animation Sequence» задайте но-

мер графического окна для вывода анимации «Window»= «2» и нажмите кнопку «Set», затем в списке «Display Type» выберите «XY Plot» и нажмите на кнопку «Edit…». В окне «Solution XY Plot» выберите в списке «Y Axis Function» «Custom Field Functions…» и «tizb». В списке

«Surfaces» выберите нижнюю «bot» или верхнюю «top» границу. Установите двухоконный режим графического окна.

Нажмите кнопки «Plot» и «Close». В окне «2» появится начальное распределение избыточной температуры. В открытых окнах нажмите кнопки «OK».

В пункте «Run Calculation» введите шаг интегрирования по времени

«1e-4» в поле «Time Step Size (s)», число шагов («300» для тестовой задачи) в поле «Number of Time Steps».

Сохраните проект: «File» -> «Save Project».

5.Выполнение расчета (Fluent). Нажмите на кнопку «Calculate».

Втекстовом окнебудет выдана история невязок решаемой системы уравнений, в графическом окне «1» – история невязки уравнения энергии,

24

вграфическомокне«2»– анимационнаяпоследовательностьраспределений избыточной температуры.

6. Анализ результатов (Fluent). В пункте «Graphics and Animations» раздела «Results» выберите «Solution Animation Playback» в списке «Animations» и нажмите кнопку «Set Up…». В окне «Playback»выберите:

фическом окне будет еще воспроизведена анимационная последовательность. Для ее сохранения в видеофайле выберите «MPEG» в списке

«Write/Record Format» и нажмите кнопку «Write». Созданный mpeg-

файл будет помещен в каталог «…\dp0\FFF\Fluent».

Загрузите данные, относящиеся к 100 шагу по времени: «File» -> «Import» -> «Data» и откройте файл «FFF-**-00100.dat.gz», где «**» –

номер запуска.

В пункте «Plots» раздела «Results» выберите «XY Plot» в списке «Plots» и нажмите кнопку «Set Up…». Выберите: направление построе-

ния графика «Plot Direction X» = «1»; в списке «Y Axis Function» – «Custom Field Functions…», «tizb»; в списке «X Axis Function» – «Direction Vector»; в списке «Surfaces» – «bot» или «top». Нажмите кнопку «Plot». Поменяйте способ отображения кривой с помощью кнопки «Curves…», последующего выбора из списка «Pattern» в появившемся окне «Curves – Solution XY Plot» соединения точек сплошными линиями «---» с установкой цвета «Color»= «background» и нажатия кно-

пок «Apply», «Close», а затем «Plot» в исходном окне.

Сохраните построенный график в виде jpeg-файла с помощью

стового файла с помощью опции «Write to File».

Проведите расчеты задачи вашего варианта для числа ячеек Nx 1

= 200, 400, 800 и практически оцените порядок точности используемой схемы.

Продемонстрируйте преподавателю записанный видеофайл временной истории.

С помощью МКР и МКО при Nx 401: для одного и того же момента времени постройте графики погрешности v uex приближенных

решений; для нескольких моментов времени постройте распределения избыточной температуры. Сравните результаты и сделайте выводы.

25

ВОПРОСЫ К РАЗДЕЛУ 2

1.Записать явную разностную схему для линейного неоднородного уравнения теплопроводности с граничным условием (ГУ) первого рода на левой границе и нелинейным ГУ третьего рода – на правой. Случай плоской симметрии.

2.Записать схему Дюфорта–Франкеля для линейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ второго рода на левой границе и нелинейным ГУ первого рода – на правой. Случай плоской симметрии.

3.Записать неявную разностную схему для линейного неоднородного уравнения теплопроводности с граничным условием (ГУ) первого рода на левой границе и нелинейным ГУ третьего рода – на правой. Случай плоской симметрии.

4.Записать схему Кранка–Николсона для линейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ второго рода на левой границе и нелинейным ГУ первого рода – на правой. Случай плоской симметрии.

5.Записать явную разностную схему для нелинейного однородного уравнения теплопроводности с ГУ третьего рода на левой границе и ГУ второго рода – на правой. Случай плоской симметрии.

6.Записать неявную разностную схему для нелинейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ второго рода на левой границе и ГУ первого рода – на правой. Случай плоской симметрии.

7.Записать схему Дюфорта–Франкеля для нелинейного однородного уравнения теплопроводности с нелинейным ГУ первого рода на левой границе и ГУ третьего рода – на правой. Случай плоской симметрии.

8.Записать схему Кранка–Николсона для нелинейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ третьего рода на левой границе и нелинейным ГУ третьего рода – на правой. Случай плоской симметрии.

9.Записать явную разностную схему для линейного неоднородного уравнения теплопроводности с граничным условием (ГУ) первого рода на левой границе и нелинейным ГУ третьего рода – на правой. Случай цилиндрической симметрии.

10.Записать схему Дюфорта–Франкеля для линейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ второго рода на левой границе и нелинейным ГУ первого рода – на правой. Случай цилиндрической симметрии.

11.Записать неявную разностную схему для линейного неоднородного уравнения теплопроводности с граничным условием (ГУ) первого

26

рода на левой границе и нелинейным ГУ третьего рода – на правой. Случай цилиндрической симметрии.

12.Записать схему Кранка–Николсона для линейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ второго рода на левой границе и нелинейным ГУ первого рода – на правой. Случай цилиндрической симметрии.

13.Записать явную разностную схему для нелинейного однородного уравнения теплопроводности с ГУ третьего рода на левой границе и ГУ второго рода – на правой. Случай цилиндрической симметрии.

14.Записать неявную разностную схему для нелинейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ второго рода на левой границе и ГУ первого рода – на правой. Случай цилиндрической симметрии.

15.Записать схему Дюфорта–Франкеля для нелинейного однородного уравнения теплопроводности с нелинейным ГУ первого рода на левой границе и ГУ третьего рода – на правой. Случай цилиндрической симметрии.

16.Записать схему Кранка–Николсона для нелинейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ третьего рода на левой границе и нелинейным ГУ третьего рода – на правой. Случай цилиндрической симметрии.

17.Записать явную разностную схему для линейного неоднородного уравнения теплопроводности с граничным условием (ГУ) первого рода на левой границе и нелинейным ГУ третьего рода – на правой. Случай сферической симметрии.

18.Записать схему Дюфорта–Франкеля для линейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ второго рода на левой границе и нелинейным ГУ первого рода – на правой. Случай сферической симметрии.

19.Записать неявную разностную схему для линейного неоднородного уравнения теплопроводности с граничным условием (ГУ) первого рода на левой границе и нелинейным ГУ третьего рода – на правой. Случай сферической симметрии.

20.Записать схему Кранка–Николсона для линейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ второго рода на левой границе и нелинейным ГУ первого рода – на правой. Случай сферической симметрии.

21.Записать явную разностную схему для нелинейного однородного уравнения теплопроводности с ГУ третьего рода на левой границе и ГУ второго рода – на правой. Случай сферической симметрии.

22.Записать неявную разностную схему для нелинейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ второго рода на левой границе и ГУ первого рода – на правой. Случай сферической симметрии.

27

23.Записать схему Дюфорта–Франкеля для нелинейного однородного уравнения теплопроводности с нелинейным ГУ первого рода на левойграницеиГУтретьегорода–направой.Случайсферическойсим- метрии.

24.Записать схему Кранка–Николсона для нелинейного неоднородного уравнения диффузии с ГУ третьего рода на левой границе и нелинейным ГУ третьего рода – на правой. Случай сферической симметрии.

25.Что такое порядок аппроксимации схемы по времени и по пространству?

26.В чем состоит устойчивость разностной схемы?

28

разрывные

УКАЗАНИЯ

1. Для решения (1)–(2) применяются разностные схемы: «левый уголок» (явная)

30