Цифровые технологии в профессиональной деятельности. Язык программирования Фортран для научных и инженерных вычислений. В 2 частях. Ч.1. Учебное пособ

x_bar = sum_x / real(n); y_bar = sum_y / real(n)

slope = (sum_xy - sum_x * y_bar) / ( sum_x2 - sum_x * x_bar)

y_int = y_bar - slope * x_bar write(*, 1020) slope, y_int, n

1020 format('Коэффициенты регрессии для линии МНК:', & /,' slope(m) = ', f12.3, &

/,' intercept(b) = ', f12.3, &

/,' no of points = ', i12) close(8)

end if errorcheck

end program least_squares_fit

Рассмотрим фрагмент кода, в котором используется конструкция error stop, завершающая работу программы и выводящая информацию об ошибке (здесь – об ошибке открытия файла с входными данными):

!Попытка открытия файла с входными данными

open(8, file=fn, status='old', iostat=ierror, iomsg=err_msg) if ( ierror /= 0 ) then

write(*, 100) fn, ierror

100 format ('Ошибка открытия файла ',a,'. iostat = ',i6) write(*, '(a)') err_msg

error stop 'Ошибка открытия файла с входными данными' end if

Г л а в а 7

ВВЕДЕНИЕ В МАССИВЫ

7.1. Массивы. Основные термины и понятия

Массивы – ключевые компоненты большинства алгоритмов вычислительной направленности, представляющие собой упорядоченные наборы из конечного числа переменных или констант одного типа, доступ к которым производится по общему имени. Отдельное значение в массиве называется элементом, который идентифицируется именем массива и индексом (или набором индексов), указывающим на его конкретное место в массиве.

101

Массивы являются мощным инструментом для работы с данными и подразделяются на статические и динамические. Объем оперативнойпамяти,выделяемойподстатическиемассивы,определяется на этапе компиляции программы. Динамические массивы получают необходимые ресурсы непосредственно в процессе выполнения программы, при этом объем выделенной памяти может быть изменен или память может быть вообще освобождена.

Массивы характеризуются рангом (или размерностью, числом измерений), размером (числом элементов) и формой (или экстен- том, протяженностью вдоль каждого из измерений). Массивы с одинаковымизначениямивсехтрехперечисленныххарактеристик называются согласованными.

Границами массива в заданном измерении называется диапазон изменения в нем индекса массива. Индексы могут быть любыми следующими подряд целыми числами, в том числе и отрицательными. В языке Фортран нумерация элементов массива в каждом измерении по умолчанию начинается с единицы, а заканчивается числом, равным соответствующей протяженности массива. В случае если нижняя граница начинается с единицы, при объявлении массива ее можно опустить (иначе границы необходимо указывать явно, используя разделитель между границами – двоеточие).

Как будет показано далее, в современном Фортране можно манипулировать массивами и выполнять вычисления с отдельными элементамимассивов«одинзадругим»,сименованнымимассивами целиком или с их сечениями.

7.2.Статические массивы. Объявление

иинициализация. Поэлементная работа с массивами

Перед использованием статического массива требуется явным образом объявить его тип и количество элементов (атрибут dimension),например,длямассивовранга1(одномерногомассива, вектора):

integer(2), parameter, dimension(n) :: a2 ! массив из констант

102

Массив, форма которого явно объявлена в операторе объявления типа, называется массивом заданной формы. Массив может иметь нулевой размер (нижняя граница превосходит верхнюю); работа с такими массивами происходит по общим правилам. При объявлении рекомендуется использовать именованные константы,поскольку вэтом случаелегкоизменять размерымассивовпри компиляции, что особенно ценно для больших и сложно устроенных программ.

Элементы массива могут быть инициализированы операторами присваивания, вызовами встроенных функций, в операторах объявления типов или с помощью операторов ввода read (см. п. 7.5). Обращение к элементам массива выполняется с использованием круглых скобок.

Приведем примеры различных вариантов инициализации векторов с помощью операторов присваивания:

Массивы можно инициализировать непосредственно при объявлении их типов, например, так:

integer, parameter :: n = 5 integer :: i, j

integer, dimension(n) :: a1 = [ 1, 2, 3, 4, 5 ] integer(2), dimension(n) :: a2 = [ (i, i = 1, n) ]

character(len = 4), dimension(7) :: s = ['Пн', 'Вт', 'Ср', & 'Чт', 'Пт',

'Сб', 'Вс'] ! стандарт кодирования UTF-8, len = 4 real(8), dimension(n) :: a3 = 1.

real, dimension(n) :: a4 = [0., (exp(real(i)*.5), i = 1, 3), 9.] integer, dimension(15) :: a5 = [ ((0, i = 1, 4), 5*j, j =1, 3) ]

! Результат: 0 0 0 0 5 0 0 0 0 10 0 0 0 0 15

103

Для создания сложных шаблонов инициализации могут использоваться выражения с переменными, неявные циклы и некоторые встроенные функции. Так, в последнем примере элементы массива инициализируются нулем, если не делятся на 5, и значением номера элемента в противном случае.

Схема расположения элементов некоторого вектора a размера 5 с границами 1 и 5 в линейной по своей структуре оперативной памяти компьютера показана на рис. 7.1.

… a(1) a(2) a(3) a(4) a(5) …

Рис. 7.1. Расположение элементов вектора в оперативной памяти

Приведем примеры фрагментов программ с поэлементной обработкой векторов в арифметических циклах – вычисление функции факториала для заданного набора значений целых чисел (см. вариант кода без массива в п. 5.1); присвоение четным элементам массива нечетных значений индексов и наоборот; возведение в квадрат набора значений целых чисел:

! Элементы массива fact: 1 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880

real, dimension(-2:2) :: a = [ (real(i), i = -2,2) ], square do i = -2, 2 ! цикл можно заменить на одну команду square=a**2

square(i) = a(i)**2 end do

! Элементы массива square: 4.0 1.0 0.0 1.0 4.0

Современные компиляторы (в том числе и gfortran) на этапе компиляции выполняют проверку кода программы на возможный

104

выход индексов за границы массивов, предупреждая об этом раз-

работчика:

integer, parameter :: n = 5 integer :: i

real, dimension(n) :: a = [ (real(i), i = 1,n) ] do i = 1, n+1

a(i) = a(i) * 2. end do

! Warning: Array reference out of bounds (6 > 5) in loop

7.3. Именованные массивы. Сечения массива

Термин именованный (named) по отношению к массиву означает, что его имя не сопровождается индексами, а операции выполняются сразу над всеми или над явно указанными элементами одновременно, как если бы они были обычными переменными (также в специальной литературе используется термин whole array,

массив целиком).

Приведемкодпрограммыииллюстрацию(рис.7.2)выполнения операции сложения двух согласованных векторов двумя способа-

ми – поэлементно и с использованием именованных массивов: program sum_vectors

implicit none

integer, parameter :: n = 4 integer :: i

real, dimension(n) :: a = [ 1., 2., 3., 4. ]

real, dimension(n) :: b = [ 5., 6., 7., 8. ], c, d

!Поэлементное сложение векторов do i = 1, n

Массивы можно использовать в качестве операндов, только если они согласованы, диапазон индексов в каждом измерении при этом необязательно должен быть одинаковым.

Многие встроенные функции Фортрана, используемые со скалярными величинами, могут принимать массивы как входные аргументы и возвращать их в качестве результатов массива.

105

Рис. 7.2. Иллюстрация выполнения операции сложения векторов

Возвращенные массивы будут содержать результат поэлементного применения функции к входному массиву. Такие функции называются элементными, например, abs, mod, floor, sign, int, real, sin, cos, exp, log, sqrt и др. (см. прил. Г).

Приведем код программы с примерами работы с именованными массивами, в том числе с привлечением элементных встроен-

ных функций: program whole_arrays implicit none

integer, parameter :: n = 5

real, dimension(n) :: a = [ 1., 2., 3., 4., 5. ] real, dimension(n) :: b = 2., c, d, e, f

! Прибавление ко всем элементам массива вещественного числа

Помимо обращений к элементам массивов поэлементно или целиком в Фортране можно использовать подмножества элементов, называемые сечениями. Сечения позволяют формировать подмножества регулярной структуры. Задание сечения осуществляется при помощи индексного триплета – тройки целых чисел – и в наиболее общем виде выглядит так:

[нижняя граница] : [верхняя граница] : [шаг]

106

Приведем примеры различных вариантов использования сечений заданного одномерного массива и результаты выполнения операций:

integer :: i = 3, j = 7

real, dimension(8) :: a = [ 1., -2., 3., -4., 5., -6., 7., -8. ]

Другой, более гибкий, способ основан на задании векторного индекса.Векторный индекс –одномерныйцелочисленныймассив, содержащий значения индексов, попадающих в пределы границ исходного массива, из которого будет извлекаться подмножество элементов. Массив, заданный с помощью векторного индекса, будет содержать по одному элементу для каждого указанного индекса, например:

В отличие от индексного триплета элементы в векторном индексе могут располагаться в произвольном порядке и повторяться.

Пример программы, использующей сечения для подсчета суммы элементов массива с четными и нечетными индексами:

program even_odd_sections implicit none

integer, parameter :: n = 6

real, dimension(n) :: a = [ 1., -2., 3., -4., 5., -6. ]

end program even_odd_sections

Отметим,чтосредиширокогонаборавстроенных функций Фортрана, представленных в прил. Г, часть предназначена исключительно для работы с массивами, в том числе справочные функции, функции заполнения и преобразования, поиска экстремальных элементов и некоторые др.

107

7.4. Многомерные массивы и составные циклы

Многомерные массивы имеют ранг больше единицы, а обращение к их элементам производится с помощью указания (в круглых скобках через запятую) количества индексов, равного рангу. При-

меры объявления:

integer, dimension(3,2) :: A1 ! массив ранга 2 real(8) A2(4,3,2) ! массив ранга 3 (другой вариант описания) real, dimension(-5:2,8:10,0:5) :: A3 ! объявление границ массива character(len = 4), dimension(-3:3,6) :: s ! массив строк

ВязыкеФортран,еслиприменитьаналогиюсмассивамиранга2 (матрицами), которые адресуются двумя индексами, элементы располагаютсявоперативнойпамятипостолбцам(рис.7.3,матрица формы 3 на 2). Таким образом, «пробегание» по многомерному массивуначинаетсяспервогоиндекса,азаканчиваетсяпоследним (в языке С – наоборот). Этот факт следует учитывать при формировании порядка вложенности циклов в коде программ (см. пояснения в п. 9.8).

Примерыинициализацииматрицыспомощьюсоставного(тес-

но вложенного) цикла и оператора присваивания (рис. 7.3): integer, parameter :: m = 3, n = 2

integer :: i, j

integer, dimension(m,n) :: A do i = 1, m

do j = 1, n

A(i,j) = i+3*(j-1)+1 ! расположение в памяти: 2 3 4 5 6 7 end do

end do

…A(1,1) A(2,1) A(3,1) A(1,2) …

Рис. 7.3. Расположение элементов матрицы в оперативной памяти

108

Встроенная функция reshape позволяет менять форму массива при объявлении типов или в коде программы, сохраняя количество элементов массива, например, для инициализации той же матрицы:

Первый вектор в параметрах функции содержит элементы для изменения формы, второй – описывает целевую форму. Количество элементов во втором векторе задает число измерений в выходном массиве, а значение элементов в нем – размер каждого из измерений.

Сечения многомерных массивов могут быть отобраны с использованием индексных триплетов или векторных индексов. Например, создание сечений, соответствующих первому столбцу и третьей строке матрицы A, производится обращениями A(:,1)

и A(3,:).

Индексы массива можно использовать независимо в каждом измерении. Так, сечение массива A(1:3:2, 1:2) представляет собой матрицу, состоящую из строк 1 и 3 и столбцов 1 и 2 исходной матрицы, т. е. с исключением из нее элементов A(2,1)

и А(2,2).

Задание сечения при помощи векторного индекса позволяет гибко оперировать с элементами многомерных массивов (повторять, располагать в произвольном порядке), например:

i = [2, 6, 4, 7, 15]; j = [3, 12, 6, 18]

A(i,j) = 4! 20 выбранных элементов массива примут значение 4

Фортран поддерживает и более сложные многомерные массивы, содержащие до 15 индексов, которые хранятся в памяти, объявляются,инициализируютсяииспользуютсяпотемжеправилам, что и матрицы. На практике часто используются массивы ранга 3, напримерпричисленноммоделированиифизическихииныхпроцессов в трехмерном пространстве.

109

7.5. Операции ввода/вывода с массивами

Операции ввода/вывода с массивами в Фортране можно выполнять как с отдельными элементами, так и с массивами целиком. В следующих примерах вывод массива производится в одну строкупоэлементноиспомощьюнеявногоарифметическогоцик-

ла (результат – это 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0): integer, parameter :: n = 5 character(len=20) :: fmt

real, dimension(n) :: a = [ ( real(i), i = 1, n ) ] write(fmt, *) n

write(*,'('//fmt//'(1x,f3.1))') a(1), a(2), a(3), a(4), a(5) write(*,'(*(1x,f3.1))') a(1), a(2), a(3), a(4), a(5)

write(*,'(*(1x,f3.1))') ( a(i), i = 1, n ) write(*,'(*(1x,f3.1))') a

В общем случае операторы ввода/вывода с неявным циклом могут содержать набор значений и границы изменения индекса цикла, при этом каждый аргумент в списке значений задействуется однократно при выполнении шага цикла, например (результат вывода – 1 2.0 3 6.0 5 10.0): write(*,'(*(i3,1x,f4.1))') (i, a(i)*2., i = 1, 5, 2)

Неявные циклы, как и обычные циклы do, могут быть вложенными, при этом внутренний цикл будет выполняться целиком для каждого внешнего шага, например (результатом вывода будет

матрица, как на рис. 7.3):

integer, parameter :: m = 3, n = 2

A = reshape ( [ 2, 3, 4, 5, 6, 7 ], [m,n] ) write(*,'(i5,1x,i5)') ((A(i, j), i = 1, m), j = 1, n)

Другойвариантвыводаматрицывтакомжевидеоснованнаис-

пользовании цикла do и сечения: do i = 1, m

write(*,'(*(i5,1x))') A(i,:) end do

Вывод массивов целиком производится посредством указания

имени массива в качестве параметра оператора write, например: write(*,*) a

write(*,'(*(1x,f4.1))') A

110