Физика механика. Учебное пособие

Следует отметить, что в физике существует подход, позволяющий рассчитать параметры системы материальных точек, при условии, что силы взаимодействия между частицами в исследуемой системе неизвестны. В основе этого подхода лежат законы сохранения импульса, механической энергии и момента импульса замкнутой системы материальных точек.

Замкнутая система – это система материальных точек, на которую другие тела не воздействуют.

1.1.3. ИМПУЛЬС И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Импульсом (количеством движения) материальной точки называ-

ется величина, равная произведению массы тела m на его скорость V . Импульс – величина векторная:

p mV .

Импульсом p системы материальных точек называется величина, равная сумме импульсов всех точек системы:

p N miVi . i 1

Здесь mi – масса i-й точки; Vi – скорость i-й точки; N – число матери-

альных точек.

Закон сохранения импульса (количества движения) системы ма-

териальных точек заключается в следующем. Импульс системы материальных точек сохраняется, если сумма внешних сил, действующих на систему материальных точек, равна нулю.

Закон сохранения импульса можно записать в виде

Закон сохранения импульса может быть получен как следствие законов Ньютона, условия применения которых даны выше. Следовательно, в рамках данного подхода закон сохранения импульса выполняется только тогда, когда выполняются законы Ньютона.

При переходе из одной системы отсчета в другую импульс системы материальных точек изменяется. Для нахождения закона преобразова-

11

ния импульса системы материальных точек рассмотрим систему из N материальных точек. Пусть Vi – скорость i-й точки в неподвижной

инерциальной системе отсчета; Vi – скорость той же точки в подвиж-

ной инерциальной системе отсчета; v – скорость подвижной инерци-

альной системы отсчета относительно неподвижной. Тогда скорости точек в подвижной и неподвижной системах отсчета связаны соотношением (1.1)

Умножая (1.2) на mi , получаем соотношение между импульсом части-

цы в подвижной miVi и неподвижной miVi системе отсчета: miVi miVi miv .

Суммируя обе части последнего уравнения по всем i, получаем закон преобразования импульса при переходе из покоящейся инерциальной системы отсчета в движущуюся:

i 1

N

точек в движущейся системе; M mi – полная масса системы мате-

i 1

риальных точек.

Закон сохранения импульса системы позволяет в определенных случаях рассчитать результат столкновения частиц, если не известны силы, действующие между частицами.

Закон сохранения импульса выглядит очень просто в системе центра инерции.

Системой центра инерции называется инерциальная система отсчета, в которой полный импульс системы материальных точек равен нулю.

12

Для нахождения скорости системы центра инерции V0 воспользуемся соотношением (1.3). Если подвижная система отсчета есть система центра инерции, то p = 0 и скорость V0 находится из соотношения

p MV0 ,

откуда скорость системы центра инерции

V0 Mp .

Поскольку полный импульс системы в неподвижной системе отсчета

p N miVi , скорость системы центра инерции i 1

Возьмем производную по времени от левой и правой части (2.4):

Из полученной формулы видно, что если результирующая сила равна нулю, то скорость движения центра инерции (центра масс) – величина постоянная.

Радиус-вектор центра инерции системы материальных точек определяется на основе формулы (1.4). Поскольку скорость i-й частицы

13

Величину, стоящую под знаком полной производной, обозначим R0 :

R0 1 N mi ri .

M i 1

R0 называется радиусом-вектором центра инерции системы матери-

альных точек.

Примечание. Системы центра инерции интересны тем, что описания многих процессов в них выглядят проще, чем в других инерциальных системах отсчета.

1.2. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ И РАБОТА

Для формулировки закона сохранения механической энергии системы материальных точек необходимы понятия работы силы, кинетической энергии системы материальных точек и потенциальной энергии системы материальных точек.

Работой А постоянной силы F при прямолинейном однонаправленном движении точки называется скалярное произведение вектора

силы и вектора перемещения r :

A F r F r cos .

Здесь F и r – модули векторов силы и перемещения; – угол между этими векторами. Модуль вектора перемещения при прямолинейном движении есть путь S. Поэтому работа равна

A FS cos .

ски остается постоянной, а сам участок очень мало отличается от отрезка прямой.

14

Здесь Fi – сила, действующая на тело на участке i; ri – вектор перемещения на участке i.

В этом случае работа силы Fi на участке i траектории есть

Ai Fi ri .

Работа же силы на всей траектории от точки 1 до точки 2 есть сумма работ на всех участках траектории:

A N Ai N Fi ri . i 1 i 1

В строгом математическом смысле работа переменной силы может быть представлена как предел суммы работ Ai , когда каждый вектор

перемещения ri стремится к нулю, а число разбиений N стремится к бесконечности:

Такой предел суммы математики называют криволинейным интегралом силы по заданной траектории между точками 1 и 2. Теперь можно

сказать, что работа переменной силы F при криволинейном движении

тела из точки 1 в точку 2 есть криволинейный интеграл силы F по заданной траектории движения тела:

Кинетической энергией материальной точки называется величина

T mV2 2 . Здесь m – масса материальной точки; V – скорость матери-

альной точки. Понятие работы А (1.5) переменной силы, действующей на материальную точку, позволяет сформулировать теорему об изменении кинетической энергии материальной точки.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки.

При перемещении материальной точки в пространстве из точки 1

15

в точку 2 под действием переменной результирующей силы Fрез из-

менение кинетической энергии материальной точки равно работе результирующей силы, т. е.

1.3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ

Потенциальная энергия материальной точки является характеристикой, позволяющей исследовать движение материальной точки, когда точка движется в статическом поле тяготения или в электростатическом поле. Это поля консервативных (потенциальных) сил.

Основные свойства консервативного поля:

1)сила, действующая на материальную точку со стороны потенциального поля, зависит только от координаты материальной точки;

2)работа силы, действующей на материальную точку со стороны потенциального поля, не зависит от формы траектории, по которой частица переходит из одной точки в другую.

Из этих свойств следует, что работа при перемещении материальной точки в поле потенциальных сил по замкнутой траектории равна нулю.

Потенциальной энергией тела в произвольной точке, например 1, называется работа консервативных сил поля, совершаемая при перемещении тела из точки 1 в точку О (рис. 5) при условии, что потенциальная энергия в точке О равна нулю:

Работа А12 по перемещению тела из точки 1 в точку 2 в потенциальном поле равна разности потенциальных энергий тела в точках 1 и 2:

A12 U1 U2 .

16

При произвольном движении материальной точки потенциальная энергия есть функция трех координат материальной точки x, y, z:

UU (x, y, z) .

Вэтом случае проекции силы Fx, Fy, Fz, действующей на материальную точку, могут быть найдены по формулам:

Fx Ux , Fy Uy , Fz Uz .

Потенциальная энергия материальной точки U U (x, y, z) и кине-

тическая энергия материальной точки T mV2 2

ческую энергию материальной точки. Механической энергией материальной точки E называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий

E mV2 2 U .

Закон сохранения механической энергии тела материальной точки при ее движении в поле потенциальных сил: при движении матери-

альной точки в поле только потенциальных сил сумма кинетической и потенциальной энергии этой точки остается постоянной:

mV2 2 U const .

Пример 1

Найти потенциальную энергию тела массы m в однородном поле силы тяжести на высоте h над поверхностью Земли, если ускорение свободного падения постоянно и равно g.

Решение Если нулевую точку выбрать на поверхности Земли так, что

U0 0, то работа силы тяжести mg будет равна Amg mgh и U mgh .

Пример 2

Найти потенциальную энергию U точечного тела массой m, находящегося на расстоянии r от массивного точечного тела массой M.

17

Решение

Между этими телами действует сила притяжения, которая рассчитывается по формуле

F G mMr2 .

Если нулевую точку выбрать на бесконечности, то полная работа A силы притяжения F при перемещении тела массой m на бесконечность равна сумме элементарных работ dA :

dA G mMr 2 dr

на элементарных участках dr , когда r r .

Полную работу А можно представить в виде интеграла:

Потенциальная энергия U в этом случае равна работе А:

U A G mMr .

Законы сохранения импульса и механической энергии позволяют создать математическое описание упругого и неупругого удара двух тел.

Упругим ударом двух тел называется такой удар, при котором кинетическая энергия тел сохраняется.

mV222 mV212 mV222 mV21 2 .

Здесь m1 и m2 – массы первого и второго тела; V1 и V2 – скорости пер-

вого и второго тела до удара; V1 и V2 – скорости первого и второго

тела после удара.

При упругом ударе двух тел, на которые не действуют внешние силы, кроме кинетической энергии, сохраняется полный импульс систе-

мы двух тел:

m1V1 m2V2 m1V1 m2V2 .

18

Пример 3

На неподвижную частицу массой m1 налетает частица массой m2 ,

модуль скорости которой равен V2 . Найти скорости частиц V1 и V2 после удара. Удар считать центральным и упругим.

Примечание. Столкновение частиц называется центральным, если частицы до и после удара двигаются только вдоль одной оси.

Решение

Если удар центральный, а частица массой m2 движется со скоростью V2, то

Неупругим ударом называется удар, при котором не сохраняется кинетическая энергия тел, так как часть кинетической энергии переходит во внутреннею энергию взаимодействующих тел. Поэтому при неупругом ударе имеет место только закон сохранения импульса

m1V1 m2V2 m1V1 m2V2

при условии, что система замкнута.

Пример 4

На неподвижную частицу массой m1 налетает частица массой m2 , модуль скорости которой равен V2 . После столкновения образуется

новая частица с массой m1 m2 . Найти скорость образовавшейся частицы V .

19

Решение

В этой задаче закон сохранения импульса принимает вид m2V2 (m1 m2 )V .

Последнее соотношение позволяет найти скорость образовавшейся частицы V :

1.4. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА И ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА

Моментом импульса L материальной точки относительно неко-

Здесь r – радиус-вектор точки; p m V – импульс точки; m – масса

точки; V – ее скорость.

Моментом импульса системы материальных точек относительно некоторой точки О называется величина

L N ri pi . i 1

Здесь N – число материальных точек в системе; i – номер материальной точки (i = 1, 2, 3,..., N); ri – радиус-вектор i точки, pi miVi – им-

пульс i точки.

Для формулировки закона сохранения момента импульса системы материальных точек необходимо понятие момента силы, действующего на материальную точку.

Моментом силы Mi , действующей на i материальную точку отно-

сительно некоторой точки О, называется величина

Mi ri Fi .

Здесь Fi – сила, действующая на i материальную точку.

20