Учебно-методическое пособие по дисциплине Математика. Математический анализ. Часть 1

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

Московский технический университет связи и информатики

Кафедра теории вероятностей и прикладной математики

Власов А.В.

Учебно-методическое пособие по дисциплине

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть 1

для студентов-заочников 1 курса

(направления: 09.03.02, 15.03.04)

Москва 2016

1

План УМД на 2016/17 уч.г.

Учебно-методическое пособие по дисциплине

МАТЕМАТИКА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Часть 1

Составитель А.В.Власов, к.т.н., доцент

Издание стереотипное. Утверждено на заседании кафедры.

Рецензент Е.А.Скородумова, к.ф.-м.н., доцент

2

Целью преподавания данной дисциплины является изучение основных разделов математического анализа, включающих в себя теорию пределов, а также основы дифференцирования и интегрирования элементарных функций. Полученные студентами знания, умения и навыки по данной дисциплине помогут им в освоении таких дисциплин как «Теория вероятностей

иматематическая статистика», «Статистика», а также ряда иных дисциплин.

Впроцессе изучения курса студент должен самостоятельно выпол-

нить контрольную работу, варианты которой приводятся в конце данного пособия. По результатам самостоятельной работы и на основании выполненной им контрольной работы студент допускается к зачету по данному курсу.

Бюджет времени на изучение курса (час)

Примерное содержание лекционного курса

1.Функции. Основные способы задания функций. Основные элементарные функции и их графики.

2.Предел функции. Основные теоремы о пределах. Замечательные пределы. Непрерывность функции. Классификация точек разрыва.

3.Производная и дифференциал, их геометрический смысл. Основные правила вычисления производной. Таблица производных элементарных функций.

4.Производная сложной функции. Производная функций, заданных неявно.

5.Неопределенный интеграл, его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Интегрирование методами замены переменной и по частям.

6.Интегрирование рациональных и иррациональных дробей.

7.Определенный интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

8.Геометрическое и физическое применение производной и определенного интеграла. Построение уравнения касательной. Задачи определения минимума (максимума). Вычисление площадей с помощью определенного интеграла.

3

Примерная тематика упражнений

1.Вычисление пределов.

2.Вычисление производных. Производная сложной функции. Производная неявной функции.

3.Вычисление неопределенных интегралов. Интегрирование методами замены переменной и по частям.

4.Определенный интеграл. Методы замены переменной и интегрирования по частям в определенном интеграле.

5.Использование производной и определенного интеграла для решения физических и геометрических задач. Уравнение касательной. Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла.

Список литературы

Основная

1.Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учебное пособие для вузов. – М.: Астрель, 2004. – 654 с.

2.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч. 1.

– М.: ОНИКС, 2005. – 304 с.

Дополнительная

3.Щипачев В.С. Математический анализ. – М.: Высшая школа, 2001.

– 176 с.

4.Сборник задач по высшей математике для экономистов / Под ред. В.И. Ермакова и др. – М.: ИНФРА-М, 2003, 2004. – 575 с.

Пример решения задач варианта контрольной работы по курсу «Математика»

Задача 1а. Найти предел функции

Решение. Убеждаемся, что в результате непосредственной подстановки предельного значения получается неопределенность вида . Делим числитель и знаменатель рациональной дроби на переменную в наивысшей

4

Задача 1б. Найти предел функции:

ным, а умножение данного выражения на сопряженное позволяет избавиться в этом выражении от радикалов:

Решение. Убедимся сначала, что данное выражение представляет собой неопределенность вида . Далее вычислим указанный предел, приводя его ко второму замечательному пределу, записанному в виде:

5

Задача 2б. Вычислить производную сложной функции

√ ).

Решение. При вычислении производной сложной функции прежде всего надо понять порядок применения последовательности функций к аргументу . Так, в данной функции сначала из аргумента извлекается квадратный корень, далее от полученного значения вычисляется арктангенс, и, наконец, вычисляется натуральный логарифм. Вычисление производной происходит в обратном порядке, то есть, начиная с логарифма:

, где √ . Таким образом, мы получаем следующую цепочку равенств:

но:

Решение: Используя правило дифференцирования сложной функции, вычисляем производную от правой и левой части исходного выражения:

Оставляя слагаемое, содержащее , в левой части, и перенося остальные слагаемые в правую часть, изменяя их знак, получим:

.

6

Решение. Преобразуем данную функцию к виду, удобному для дифференцирования, использовав основное логарифмическое тождество

.

Получим:

.

Далее, использовав алгоритм дифференцирования сложной функции, а также формулу дифференцирования произведения, получим:

интеграле и используя таблицу неопределенных интегралов, получим:

Возвращаясь к старой переменной, получим ответ:

7

. При этом надо учитывать возможное изменение пределов интегрирования при замене переменной. В нашем случае нижний предел инте-

= , а интеграл в результате замены переменной интеграл принимает вид:

грал будем называть сходящимся, а величину этого интеграла будем считать его значением. Если же предел не существует, то интеграл называется расходящимся.

В данном случае:

∫ √ ∫ ( √ ) .

Следовательно, интеграл сходится, и его величина равна 2.

Правила нахождения номера своего варианта

А. Если две последние цифры номера студенческого билета образуют число, меньше 50, то номер варианта совпадает с этим числом. Например, если номер студенческого билета БСТ1423, то номер варианта 23.

В. Если две последние цифры номера студенческого билета образуют число, большее или равное 50, то для получения номера варианта из этого числа надо вычесть 50.

Например, если номер студенческого билета БСТ1368, то номер варианта

68-50 = 18.

Задания на контрольные работы

Для всех вариантов:

Задачи 1а, 1б, 1в. Вычислить указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

Задачи 2а, 2б, 2в. Вычислить производные указанных функций. Задачи 3а, 3б. Вычислить неопределенные интегралы.

Задачи 4. Вычислить определенный интеграл.

Задачи 5. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

8

Вариант 00

Вариант 03