Теория динамических систем (теория и практика). Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВО “ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИНЖЕНЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ”

Л. А. КОРОБОВА, Ю.А. САФОНОВА

ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

(теория и практика)

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

ВОРОНЕЖ

2017

УДК 681.3

ББК З973.2-018я7 К68

Научный редактор доцент Л. А. КОРОБОВА

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра правовой информатики, информационного права и естественнонаучных дисциплин Российской академии правосудия;

д-р техн. наук В. Ф. БАРАБАНОВ (Воронежский государственный технический университет)

Печатается по решению редакционно-издательского совета

Воронежского государственного университета инженерных технологий

Коробова, Л. А.

К68 Теория динамических систем (теория и практика) [Текст] : учеб. пособие / Л. А. Коробова, Ю. А. Сафонова; Воронеж. гос. ун-т инж. технол. - Воронеж : ВГУИТ, 2017. – 98 с.

ISBN 978-5-00032-290-1

Учебное пособие разработано в соответствии с требованиями ФГОС ВО подготовки выпускников по направлению09.04.02 - «Информационные системы и технологии». Оно предназначено для закрепления теоретических знаний дисциплин цикла Б1. В пособии дан теоретический материал по темам: принципы системной организации, динамические характеристики и параметры качества процессов и систем, свойства и критерии устойчивости объектов управления, математическое описание цифровых систем управления, приведена методика выполнения практических работ, предложены варианты заданий, а также даны примеры их выполнения.

Оригинал-макет данного издания является собственностью Воронежского государственного университета инженерных технологий, его репродуцирование (воспроизведение) любым способом без согласия университета запрещается.

ОТ АВТОРОВ

Учебное пособие предназначено для закрепления теоретических знаний студентами, обучающимися по направлению 09.04.02 - «Информационные системы и технологии» по дисциплине «Теория динамических систем».

Процесс освоения дисциплины направлен на формирование у студентов способности воспринимать математические, естест- венно-научные, социально-экономические и профессиональные знания, умение самостоятельно приобретать, развивать и применять их для решения нестандартных задач, в том числе в новой среде и в междисциплинарном контексте.

Цель изучения дисциплиныполучение обучающимися знаний и навыков разработки математических моделей динамических систем, а также исследование согласно полученным моделям характеристик как отдельных звеньев, так и системы в целом, оценки структурной устойчивости систем с дискретным и непрерывным временем.

Изучение курса позволит овладеть необходимыми умениями по выбору математической модели некоторого объекта, процесса или явления, которая воспроизводит основные характеристики реального объекта моделирования, а также применять полученные знания для изучения соответствующей модели и описываемого ею реального объекта.

3

Требования к оформлению отчета

Отчет должен быть оформлен грамотно, аккуратно, напи-

сан разборчиво. Все этапы выполнения работы необходимо пояснить в отчете.

Отчет должен содержать название практической работы,

задание в соответствии с вариантом, выданным преподавателем,

атакже следующие пункты:

1)цель работы;

2)условие задания;

3)последовательные этапы выполнения задания с необходимыми пояснениями и графиками;

4)соответствующие выводы.

Защита практической работы проводится по контрольным

вопросам и заданиям.

4

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ КУРСА

Динамическая система – это математическая абстракция саморазвивающейся системы, эволюционирующей во времени в соответствии с внутренне присущими ей, не зависящими от времени законами. Многие естественные и искусственные объекты, движение или изменение которых во времени описывается автономными дифференциальными уравнениями, можно рассматривать как динамические системы. В отличие от теории дифференциальных уравнений для теории динамических систем характерны целостный подход к системе и множеству определяемых ею движений, глобальность изучения движения как в пространстве, так и во времени, разнообразие используемых методов, широкое применение сравнительного анализа разных(хотя обычно близких) систем.

Бурно развивающаяся в последние полстолетия теория вобрала в себя множество более частных теорий и явилась фундаментом, определившим современный прорыв в области изучения

ипонимания целого ряда нелинейных процессов и явлений.

Вкурсе излагаются основы нескольких избранных разделов теории динамических систем, а именно: топологической динамики систем на многообразиях, теории интегрируемых систем, ряда разделов теории возмущений, в частности, структурная устойчивость систем, вопросы гиперболической теории, теории бифуркаций, а также некоторые асимптотические методы теории возмущений.

Динамическая система представляет собой математическую модель некоторого объекта, процесса или явления.

Динамическая система также может быть представлена как система, обладающая состоянием. При таком подходе динамическая система описывает (в целом) динамику некоторого процесса, а именно - процесс перехода системы из одного состояния в другое. Фазовое пространство системы - совокупность всех допустимых состояний динамической системы. Таким образом, динамическая система характеризуется своим начальным состоянием

изаконом, по которому система переходит из начального состояние в другое.

Различают системы сдискретным временем и системы с

непрерывным временем.

5

В системах с дискретным временем, которые традиционно называются каскадами, поведение системы (или, что то же самое, траектория системы в фазовом пространстве) описывается последовательностью состояний. В системах с непрерывным временем, которые традиционно называются потоками, состояние системы определено для каждого момента времени на вещественной или комплексной оси. Каскады и потоки являются основным предметом рассмотрения в символической и топологической динамике.

Динамическая система (как с дискретным, так и с непрерывным временем) часто описывается автономной системой дифференциальных уравнений, заданной в некоторой области и удовлетворяющей там условиям теоремы существования и единственности решения дифференциального уравнения. Положениям равновесия динамической системы соответствуют особые точки дифференциального уравнения, а замкнутые фазовые кривые— его периодическим решениям.

Основное содержание теории динамических систем— это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих (аттракторы) и отталкивающих (репеллеры) множеств (многообразий). Важнейшие понятие теории динамических систем — это устойчивость (способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии) и грубость (сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы).

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

6

Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан закон, который описывает изменение начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному

состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы, его называют законом эволюции. Под динамическими системами понимаем: механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описания динамических систем для задания закона эволюции также разнообразны: с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, теории графов, теории марковских цепей и т..дВыбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

Для задания динамической системы необходимо описать ее фазовое пространство, множество моментов времени и некоторое правило, описывающее движение точек фазового пространства со временем. Множество моментов времени может быть как интервалом вещественной прямой, так и множеством целых или натуральных чисел. Во втором случае«движение» точки фазового пространства больше напоминает мгновенные «скачки» из одной точки в другую: траектория такой системы является не гладкой кривой, а просто множеством точек, и называется обычно орбитой. Тем не менее, несмотря на внешнее различие, между системами с непрерывным и дискретным временем имеется тесная связь: многие свойства являются общими для этих классов систем или легко переносятся с одного на другой.

Динамические системы, в отличие от статических систем, помнят свое прошлое состояние, то есть обладают памятью. Поэтому в записи модели динамических систем присутствует производная, связывающая прошлое состояние системы с настоящим. Чем большей памятью обладает система, тем больше состояний из прошлого влияют на настоящее, тем большая степень старшей производной используется в записи модели.

7

Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции. Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соот-

ветствующие динамические системы называют каскадами или системами с дискретным временем.

Таким образом, основное содержание теории динамических систем - это исследование кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. Сюда входит разбиение фазового пространства на траектории и исследование предельного поведения этих траекторий: поиск и классификация положений равновесия, выделение притягивающих и отталкивающих множеств. Важнейшие понятие теории динамических систем - это устойчивость, то есть способность системы сколь угодно долго оставаться около положения равновесия или на заданном многообразии и грубость - сохранение свойств при малых изменениях структуры динамической системы.

Привлечение вероятностно-статистических представлений в эргодической теории динамических систем приводит к понятию динамической системы с инвариантной мерой.

Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

8

2.СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ОБЪЕКТОВ УПРАВЛЕНИЯ

2.1.Уравнения статики и динамики

Различные по физической природе системы могу описываться однотипными математическими зависимостями. Эта особенность систем управления положена в основу так называемого метода математических аналогий, широко используемого в теории автоматического управления.

Построение любой системы управления начинается с изучения объекта исследования и составления его математического описания. Рассмотрим, из каких уравнений складывается математическое описание, какими особенностями обладают уравнения различных объектов, каким образом составляются эти уравнения.

Математическое описание объектов управления может быть получено следующим образом:

1)экспериментальным путем. В данном случае уравнения объекта получают путем либо постановки специальных экспериментов на объекте(метод активного эксперимента), либо статистической обработкой результатов длительной регистрации координат объекта в условиях его нормальной эксплуатации (метод пассивного эксперимента);

2)аналитическим путем. В данном случае уравнения объекта получают на основании анализа физико-химических закономерностей протекания изучаемого процесса;

3)комбинированным (экспериментально-

аналитическим) путем. В данном случае математическое описание процесса подразумевает обычно составление уравнений аналитическим методом с последующим уточнением коэффициентов этих уравнений экспериментальным путем.

Уравнения объектов автоматического управления различаются в зависимости от описываемого ими режима работы. САУ может находиться в равновесном состоянии(статика) и неравновесном состоянии (динамика).

Уравнения статики описывают установившийся режим, при котором все координаты объекта остаются неизменными во

времени, то есть объект находится в состоянии равновесия.

9