Теоретико-числовые методы в криптографии. Ч.1. Учебное пособие

Но условие ≡ ( ) — это то же самое, что ′ . Поэтому = для некоторого элемента . Следовательно, класс эквивалентности элемента может быть переписан в виде:

{ }.

Общепринятое название для такого класса - правый смежный класс группы по подгруппе . Заметим, что класс эквивалентности единичного элемента совпадает с самой подгруппой .

Напомним формулировку теоремы.

Теорема 8.4 (Лагранж). Порядок любой подгруппы конечной группы делит порядок всей группы.

Доказательство. Пусть — конечная группа с операцией и— ее подгруппа. Подсчитаем сначала количество элементов в классе эквивалентности по модулю . Если , то его класс эквивалентности совпадает с

= { }.

Покажем, что множества и имеют одинаковое количество элементов. Так как элементы множества получаются умножением элементов на фиксированный элемент , их не

может быть больше, чем в . Предположим, теперь, что 1 = = 2 для каких-то двух 1,2 . Тогда

1 = (1 ) ′ = (2 ) ′ = 2,

где ′ - обратный элемент к . Это означает, что различные элементы подгруппы при умножении их справа на дают различные элементы в . Итак, доказано, что число элементов любого классасовпадает с порядком подгруппы .

Витоге имеем:

1)cравнение по модулю является отношением эквивалентности, оно разбивает всю группу на различные непересекающиеся классы эквивалентности. Таким образом, порядок группы равен сумме количеств элементов в каждом из этих классов;

2)установлено, что все эти классы содержат одно и то же число элементов, равное порядку подгруппы .

Значит, порядок группы равен порядку , умноженному на количество различных классов эквивалентности. В частности, порядок подгруппы делит порядок группы . Теорема доказана.

111

Замечание. Утверждение, обратное теореме Лагранжа, ложно. Если - группа порядка и - один из делителей числа , то группавовсе не обязана иметь подгруппу порядка . Например, порядок группы симметрии правильного тетраэдра равен 12, но в ней нет подгруппы порядка 6. Тем не менее, если - простой делитель порядка группы, то в найдется подгруппа порядка (теорема Коши).

Библиографический список

1. Теория чисел: учеб. пособие / А.А. Бухштаб. – Изд. 3-е стер.-

СПб.: Лань, 2008.-383 с.

2. Нестеренко Ю.В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений / Ю.В. Нестеренко. – М.: Издательский центр «Ака-

демия», 2008. – 272 с.

3. Ильин М.Е. Криптографическая защита информации в объектах информационной инфраструктуры: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.Е. Ильин, Т.И. Калинкина, В.Н. Пржегорлинский; под ред. В.Н. Пржегорлинского. – М.: Издательский центр «Академия», 2020.- 288 с.

4. Оре Ойстин. Приглашение в теорию чисел: пер. с англ. Изд. 2-е, стер.-М.: Едиториал УРСС, 2003.-128 с.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов, т. 2: учеб. пособие для втузов. – 13-е изд.- М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.- 560 с.

6. Carmichael R. D. On composite numbers P which satisfy the Fermat congruence −1 ≡ 1 ( ). The Amer. Math. Monthly 19 (1912), 22-27.

112