ГЛАВА 4 СТРУКТУРА ДАННЫХ ТАБЛИЦА

Понятие структуры данных таблица

Таблица – это структурный тип данных, состоящий из конечного множества элементов, возможно пустого, причем каждый элемент характеризуется рядом признаков (свойств). Один из признаков, называемый ключом, позволяет отличить один элемент от другого (идентифицировать элемент). Поэтому таблицу часто называют список с ключами.

Ключ может однозначно определять элемент таблицы (ключи всех элементов различны) или неоднозначно (в таблице есть элементы с равными ключами).

Неупорядоченная таблица – это таблица, элементы которой располагаются в произвольном порядке, например, в порядке их поступления в таблицу.

Упорядоченная таблица – это таблица, между элементами которой установлено отношение порядка. Это отношение, как правило, устанавливается на признаке ключ. Поэтому говорят, что таблица упорядочена по ключам элементов. Таблица упорядочена по возрастанию значений ключа, если ключ(Ti) < ключ(Ti+1) для всех i = 1, 2 , ... , n - 1 (здесь Ti – i-й элемент таблицы T). Таблица упорядочена по убыванию значений ключа, если ключ(Ti) > ключ( Ti+1) для всех i = 1, 2, ... , n - 1.

Таблица с вычисляемым входом (хеш-таблица) – это таблица, элементы которой располагаются в соответствии с некоторой функцией расстановки (хеш-функцией). Функция расстановки f (ключ) вычисляет для каждого элемента таблицы по его ключу номер (позицию) элемента в массиве (эта операция называется хеширование). Таким образом, диапазон значений функции (область определения функции) расстановки f(ключ) – 0 N - 1 или 1 N.

Все действия над элементами таблицы выполняются в соответствии с их ключами: по ключу элементы выбираются из таблицы и добавляются в нее.

88

Представление таблицы в памяти

Как и всякий динамический объект, таблицу можно хранить как в статической, так и в динамической памяти. В памяти таблицу можно представить как линейным, так и нелинейным связным списком или несвязной структурой.

В данной теме будем рассматривать таблицы, отображаемые в статической памяти, используя несвязное представление. Для краткости будем называть их статические таблицы. При несвязном представлении таблицу можно представить как множество данных, которые располагаются в ней последовательно и непрерывно друг за другом и это множество дополнено информацией, которая позволяет вносить изменения в динамическую структуру данных. Таблица в статической памяти отображается:

а) массивом и величиной, задающей фактическое количество элементов таблицы, её можно представить следующим образом (см. рис. 4.1). Здесь N – максимальное количество элементов в таблице (размер таблицы); n – фактическое количество элементов в таблице.

n

Рис.4.1

Задать такую таблицу можно следующим образом:

89

struct table

{

type elem[N]; int n;

} table T;

Здесь N – именованная константа. Если поле n = N, то таблица полна, если поле n < N , в таблице есть свободные позиции. Если поле n = 0, таблица пуста. Инициализация таблицы: T.n = 0;

б) вместо задания n можно ввести, если это возможно, понятие пустого элемента. Пустой элемент позволяет определить, пуста таблица, полна таблица или в ней еще есть свободные позиции. Например, если в таблице нет ни одного пустого элемента, она полна, если первый элемент – пустой элемент, таблица пуста.

В этом случае таблица задается (рис. 4.2.): type T[N];

Инициализация таблицы: T[0] = "пусто";

Здесь (в пп. а и б) type – тип элемента таблицы, который, как правило, является сложным типом.

При работе с хеш-таблицей необходимо определять, находится ли в позиции с номером равным f (ключ) элемент или нет. Поэтому в па-

90

мяти хеш-таблица отображается вторым способом (type T[N];), т. е. массивом с заданием значения «пустой элемент». Хеш-таблица должна быть инициирована так, чтобы все элементы таблицы получили значение «пусто».

Организация хеш-таблиц

Если ключ(Ti) ключ(Tj) и f(ключ(Ti)) f(ключ(Tj)) при i j, для всех i и j = 0, 1, 2, ... , n - 1, то элементы таблицы взаимно – однозначно отображаются в элементы массива. Организованная таким образом таблица называется таблицей с прямой адресацией. Прямая адресация применима, если количество возможных ключей невелико. Если в такой таблице число реально присутствующих элементов мало по сравнению с N, то в таблице много пустых элементов (т. е. много памяти тратится зря).

Если ключ(Ti) ключ(Tj), а f (ключ(Ti)) = f(ключ(Tj)) при i j, то нет однозначного отображения элемента таблицы в элемент массива. Эта ситуация называется коллизией (столкновением). Если заранее неизвестен диапазон значений ключа, то выбрать функцию расстановки, дающую однозначное отображение практически невозможно. В таких таблицах возникает проблема разрешения коллизий, которая включает две задачи:

1)выбор функции расстановки;

2)выбор способа разрешения коллизий (способа рехеширования).

Выбор функции расстановки

Функция расстановки подбирается в каждом случае в зависимости от ключа так, чтобы алгоритм ее вычисления был несложным. Функцию расстановки подбирают из условия случайного и возможно более равномерного отображения (перемешивания) ключей в адреса хранения, но «случайная» хеш-функция должна быть детерминированной в том смысле, что при ее повторных вычислениях с одним и тем же ключом, она должна давать одно и то же значение.

Известно несколько методов получения хеш-функции:

91

а) метод деления: ключу ставится в соответствие остаток от деления целого значения ключа на N – размер таблицы (диапазон значения остатка от деления целого на целое от 0 до N - 1):

f(ключ) = ключ mod N

или, если ключ не является целым результата его преобразования к целому значению:

f(ключ) = (ключ) mod N,

здесь (ключ) – функция, преобразующая ключ элемента в целое число;

mod N – означает операцию по модулю N, т. е. остаток от деления на N. Здесь хорошо задавать N простым числом, хуже, если N = 2P или N

= 10P.

б) метод умножения: значение хеш-функции – это какая-то часть целого значения ключа, либо часть преобразованного к целому значения ключа, если ключ не является целым значением.

Значение хеш-функции вычисляется по формуле: f(ключ) = [N ∙ (ключ∙A mod 1)]

или

f(ключ) = [N ∙ ( (ключ)∙A mod 1)],

здесь А – константа из интервала (0, 1). Выбор константы зависит от исходных данных, лучшее значение константы – непериодическая дробь с большим числом разрядов. Выражение (ключ∙A mod 1) – это дробная часть произведения ключ∙A. Квадратные скобки – это взятие целой части N ∙ (ключ∙A mod 1).

Пример вычисления хеш-значения:

возьмем А = (√5 - 1)/2 = 0,6180339887… . Пусть ключ = 123456, N = 10000, тогда

f(ключ) = [10000·( 123456·0,6180339887 mod 1 ) ] = [10000·(76300,0041151… mod 1)] = [10000·0,0041151 … )] = [41,

151, … ] = 41.

Если N = 2m, (степень двойки) или N = 10P, то операция умножения на N – сдвиг значения на m (или p) разрядов. Таким образом, значением хеш-функции будет m (или p) разрядов выражения (ключ∙A mod 1).

92