Статистические методы анализа и обработки результатов исследований. Учебное пособие по направлению подготовки 08.04.01 Строительство, направленность «

Наконец, сложив все числа последней строки, получают сумму uV ,

u

которая также равна искомой сумме nu u . Например, для табл. 7.5

имеем uV 169, следовательно, nu u 169 .

u

Теперь, когда мы научились вычислять nu u , вычислим, наконец,

выборочный коэффициент корреляции согласно выражению (7.2). Рассмотрим пример на отыскание выборочного коэффициента корреляции.

Пример 7.3. Вычислить выборочный коэффициент корреляции

rв nu u nu по данным корреляционной табл. 7.3. n u

Решение. Перейдя к условным вариантам, получим корреляционную

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции, учитывая, что ранее уже вычислена сумма nu u 169 :

rв nu u nu 169 200 0,425 0,09 0,775. 200 1,106 1,03

Итак, выборочный коэффициент корреляции равен rв 0,775 . Таким

образом, в рассматриваемом примере мы имеем сильную (тесную) корреляционную связь.

102

Выборочное уравнение прямой линии регрессии

После того, как мы научились вычислять выборочный коэффициент корреляции, разберем пример на отыскание уравнения прямой линии регрессии.

Студенту рекомендуется вывести данные формулы самостоятельно. Пример 7.4. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Y

на X по данным корреляционной табл. 7.3.

Решение. Напишем искомое уравнение в общем виде:

Коэффициент корреляции вычислен в примере 7.3. Остается найти x , y , x , y :

x uh1 c1 0,424 10 40 35,75; y h2 c2 0,09 10 35 35,9;

x h1 u 1,106 10 11,06 ; y h2 1,03 10 10,3 .

Подставив полученные величины в (7.4), получим искомое уравнение: yx 35,9 0,77511,0610,3 x 35,75 ,

что окончательно составляет

yx 0,72x 10,09.

Сравним условные средние, вычисленные по: а) этому уравнению; б) данным корреляционной табл. 7.3.

Например, при x 30 :

а) y30 0,72 30 10,09 31,69;

б) y30 23 25 30 35 10 45 63 32,94 .

Как видим, согласование расчётного и наблюдаемого условных средних – удовлетворительное.

Мера любой корреляционной связи

Мы рассмотрели оценку тесноты линейной корреляционной связи. Как же возможно оценить тесноту любой корреляционной связи?

Пусть данные наблюдений над количественными признаками X и Y сведены в корреляционную таблицу. Можно считать, что тем самым наблюдаемые значения Y разбиты на группы; каждая группа содержит те

103

значения Y , которые соответствуют определенному значению X . Например, данные наблюдений сведены в корреляционную табл. 7.6.

Т а б л и ц а 7.6

Условные средние теперь можно назвать групповыми средними:

–групповая средняя первой группы y8 4 3 6 5 10 4,2;

–групповая средняя второй группы y9 13 3 7 5 20 3,7 .

Поскольку все значения признака Y разбиты на группы, можно представить общую дисперсию признака в виде суммы внутригрупповой и межгрупповой дисперсий:

DмежгрDобщ 1.

Таким образом, видно, что чем связь между признаками ближе к функциональной, тем меньше Dвнгр , и, следовательно, чем больше прибли-

жается Dмежгр к Dобщ , а, значит, отношение DмежгрDобщ – к единице.

Отсюда ясно, что целесообразно рассматривать в качестве меры тесноты корреляционной зависимости отношение межгрупповой дисперсии к общей, или, что то же, отношение межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению.

Выборочное корреляционное отношение. Свойства

Для оценки тесноты линейной корреляционной связи между признаками в выборке служит выборочный коэффициент корреляции.

Для оценки связи нелинейной корреляционной связи вводят новые сводные характеристики:

104

yx – выборочное корреляционное отношение Y к X ;xy – выборочное корреляционное отношение X к Y .

Выборочным корреляционным отношением Y к X называют отноше-

ние межгруппового среднего квадратического отклонения к общему среднему квадратическому отклонению признака Y :

где n – объем выборки (сумма всех частот); nx – частота значения x

Решение. Найдем общую среднюю:

y ny y n 38 15 12 25 50 17,4.

105

Найдем межгрупповое среднее квадратическое отклонение:

Искомое корреляционное отношение равно

yx yx y 2,734,27 0,64 .

Поскольку xy обладает теми же свойствами, что и yx , перечислим свойства только одного из них – yx , которое для упрощения обозначим через и для простоты назовем «корреляционным отношением»:

–свойство 1: корреляционное отношение удовлетворяет двойному неравенству 0 1;

–свойство 2: если 0 , то признак Y с признаком X корреляционной

зависимостью не связан;

– свойство 3: если 1, то признак Y связан с признаком

Xфункциональной зависимостью;

–свойство 4: выборочное корреляционное отношение не меньше

абсолютной величины выборочного коэффициента корреляции: rв ;

– свойство 5: если выборочное корреляционное отношение равно абсолютной величине выборочного коэффициента корреляции, то имеет место точная линейная корреляционная зависимость.

Другими словами, если rв , то точки x1; y1 , x2; y2 , …, xn; yn лежат на прямой линии регрессии, найденной способом наименьших квадратов.

И, говоря о достоинствах и недостатках корреляционного отношения как меры корреляционной связи, следует отметить, что, поскольку в рассуждениях не делалось никаких допущений о форме корреляционной связи, – служит мерой тесноты связи любой, в том числе и линейной,

формы. В этом состоит преимущество корреляционного отношения перед коэффициентом корреляции, который оценивает тесноту лишь линейной зависимости.

Вместе с тем, корреляционное отношение обладает недостатком: оно не позволяет судить, насколько близко расположены точки, найденные по данным наблюдений, к кривой определенного вида, например, к параболе, гиперболе и т.п. Это как раз и объясняется тем, что при определении корреляционного отношения форма связи во внимание не принималась.

106

Задачи.

В задачах 7.1–7.2 даны корреляционные табл. 7.8 и 7.9. Найти: а) rв ; б) выборочные уравнения прямых регрессии; в) yx и xy .

7.1

Таблица 7.8

7.2

Таблица 7.9

107

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Адлер, Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий [Текст] / Ю.П. Адлер, Ю.В. Грановский, Е.В. Маркова. – М.:

Наука, 1976.

2.Боровиков, В.П. STATISTICA – Статистический анализ и обработка данных в среде Windows [Текст] / В.П. Боровиков, И.П. Боровиков. – М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998.

3.Браверман, Э.М. Структурные методы обработки эмпирических данных [Текст] / Э.М. Браверман, И.Б. Мучник. – М.: Наука, 1983.

4.Вентцель, Е.С. Теория вероятностей [Текст]: учеб. для вузов. – 6-е изд. стер. – М.: Высшая школа, 1999.

5.Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]. – М.: Высшая школа, 2003.

6.Дубров, А.М. Многомерные статистические методы [Текст] / А.М. Дубров, В.С. Мхитарян, Л.И. Трошин. – М.: Финансыистатистика, 1998.

7.Елисеева, И.И. Общая теория статистики [Текст] / И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. – М.: Финансы и статистика, 1999.

8.Иванов, А.Ю. Военно-технические основы построения и математическое моделирование перспективных средств и комплексов автоматизации [Текст] / А.Ю. Иванов, С.П. Полковников, Г.Б. Ходасевич. – СПб.: ВАС, 1997.

9.Кендал, М. Статистические выводы и связи [Текст] / М. Кендал, А. Стьюарт. – М.: Наука, 1973.

10.Кендал, М. Теория распределений [Текст] / М. Кендал, А. Стью-

арт. – М.: Наука, 1966.

11.Корн, Г. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1974.

12.Кремер, Н.Ш. Теория вероятности и математическая статистика [Текст] / Н.Ш. Кремер. – М.: Юнити-Дана, 2002.

13.Надежность и эффективность в технике [Текст] / Справочник в десяти томах. Т.6. Экспериментальная отработка и испытания. – М.: Машиностроение, 1989.

14.Рябинин, И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем [Текст] / И.А. Рябинин. – СПб.: Политехника, 2000.

15.Северцев, Н.А. Надежность сложных систем в эксплуатации и обработке [Текст] / Н.А. Северцев. – М.: Высшая школа, 1989.

16.Скрипник, В.М. Оценка надежности технических систем по цензурированным выборкам [Текст] / В.М. Скрипник, А.Е. Назин. – Минск: Наука и техника, 1981.

17.Ходасевич, Г.Б. Обработка экспериментальных данных на ЭВМ: обработка одномерных массивов [Текст]: учеб. пособие / Г.Б. Ходасевич. – СПб.: ГУ Телекоммуникаций, 2008 – 60 с. (http://dvo.sut.ru/ libr/opds/i130hod2/index.htm

109

ПРИЛОЖЕНИЯ

Начертания букв латинского и греческого алфавитов, используемых в научных текстах

110