Спектральное разложение самосопряженных операторов. Учебное пособие

(U x, U x) = (x, U U x) = (x, x).

x 2 = (x, x) = U x 2 = (U x, U x, ) = (U U x, x).

Поскольку оператор U U самосопряжен, то по следствию из теоремы 2.3 получим, что I = U U .

Так как Im U = H, то U −1 L(H) = U −1 = U .

Определение. Пусть H — гильбертово пространство. Оператор U : D(U ) H → H называется изометричным или изометрией, если

x D(U ) U x = x .

Отметим, что любой унитарный оператор изометричен.

Пример 17.1. Пусть H — гильбертово пространство над полем C и A symL(H). Поскольку для любого x D(A)

(A + iI)x 2 = Ax 2 + x 2 = (A − iI)x 2,

то оператор UA : Im (A + iI) → Im (A − iI), определенный правилом UA(A + iI)x = (A − iI)x, есть линейная изометрия

Im (A + iI) на Im (A − iI).

При этом если y = (A + iI)x, то UAy = (A − iI)(A + iI)−1y.

Утверждение 17.2. Пусть H — гильбертово пространство над полем C, A symL(H) и оператор UA определен формулой (17.2).

Тогда UA — линейная изометрия и Ker (UA − I) = {0}.

121

Доказательство. Пусть x Ker (UA − I), тогда в силу равенств (17.3)

x Im (A + iU ) и UAx = x.

Поэтому существует y D(A) такой, что x = (A + iI)y. Тогда

(17.2) −

0 = (UA − I)x = (A − iI)(A + iI) 1x − x =

= (A − iI)y − (A + iI)y = −2iy = y = 0 = x = 0.

Определение. Пусть H — гильбертово пространство над полем C и A symL(H).

Тогда оператор UA, определенный формулой (17.2), называется преобразованием Кэли оператора A.

Утверждение 17.3. Пусть H — гильбертово пространство и оператор U L(H) — изометрия. Следующие утверждения эквивалентны:

1. U clL(H).

2. D(U ) — замкнутое множество.

3. Im U — замкнутое множество.

Доказательство. 1 = 2 . Пусть D(U ) xn → x0. Тогда

{xn} — фундаментальная последовательность. Так как U — изометрия, то {U xn} — фундаментальная последовательность. Поэтому существует такое y0 H, что U xn → y0. Отсюда в силу замкнутости оператора U следует, что x0 D(U ).

2 = 3 . Пусть Im U yn = U xn → y0. Тогда {xn} — фундаментальная последовательность. Поэтому существует

x0 D(U ) такое, что xn → x0. Отсюда следует, что

U xn → U x0 = y0 Im U.

3 = 1 . Так как оператор U строго отделен от нуля, то в силу п. 4 утверждения 8.4 оператор U является замкнутым.

122

Im UA = H. Поэтому в силу теоремы 17.1 и утверждения 17.2 оператор UA — унитарный.

2 . 1. Так как L(H) U — унитарный оператор и Ker (U − I) = {0}, то в силу п. 3 утверждения 2.2

(17.4)

D(AU ) = Im (I − U ) = Ker (I − U ) =

= Ker (I − U −1) = Ker (U − I) = {0} = H.

Тем самым оператор AU плотно определен, и поэтому существует оператор AU .

2. Покажем, что оператор AU — симметрический.

Пусть x, y D(AU ). Тогда существуют v, w Im (I − U ) такие, что x = (I − U )v, y = (I − U )w. Поэтому

= AU saL(H).

Следствие. Пусть H — гильбертово пространство над полем C и A symL(H), а UA — оператор, определенный формулой (17.2). Тогда

A saL(H) (UA — унитарный).

Пусть H — гильбертово пространство над полем C, U L(H), Ker (U − I) = {0} и U — унитарный оператор. Тогда AU = i(I + U )(I − U )−1 — самосопряженный оператор.

124