Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Спектральное разложение самосопряженных операторов. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Лемма 15.5. Пусть { Iλ } — разбиение единицы в гильбертовом пространстве H, а функция f : R → R такова, что

a, b R f I[a; b]. Определение (15.7) интеграла +∞f (λ) dIλ

−∞

корректно, т. е. не зависит от последовательностей { an } и { bn }.

Доказательство. 1. Пусть F =						bn	f (λ) dI		, а
						lim
F = n→+∞		n	λ,	n		n→+∞an		λ
		−n				n − −n , n		n − −n.
	lim		f (λ) dI	H	:= Im I	I	P	:= I I

Возьмем произвольное n N. Тогда для любого m N такого, что am −n < n bm, в силу п. 2 теоремы 6.5 получим

Pn bm f (λ) dIλPn = bm f (λ) dIλPn = n f (λ) dIλ.

am am −n

Поэтому для любого n N справедливы равенства

F P	n	= F P	n	= P F P	n	= F P
Pn	n		n	n	n	n.

Тем самым по лемме 15.2 справедливы равенства

lim F P		=	lim	F P	= F
F = n→+∞	n		n→+∞	n	.

Определение. Если f (·) = g(·) + ih(·), где g(·) и h(·) —

вещественнозначные функции, то

		+∞			+∞		+∞
			f (λ) dIλ :=
			f (λ) dIλ :=		g(λ) dIλ + i		h(λ) dIλ.
		−∞			−∞		−∞
Таким образом, в силу определения
	+∞				n	+
						+
D −∞ f (λ) dIλ				:= x : −n f (λ) dIλ x — сходится при n → ∞ ,
		+		∞	+	∞		n
		+			+			n
			∞	n=1 Hn	D	−∞ f (λ) dIλ ,
			∞	(λ) dIλ	∞
							lim
	x	D					lim
		−∞ f			−∞ f (λ) dIλ x = n→+∞−n f (λ) dIλ x.

111

Определение. Множество функций f : R → R таких, чтоa, b N f I[a; b], обозначим I(R).

Теорема 15.1. Пусть { Iλ } — разбиение единицы в гиль-

бертовом пространстве H. Тогда:

αf (·) + βg(·)

I(R) и

1. Если f, g

(R), то

α, β C

+∞

αf (λ) + βg(λ) d Iλ = α

f (λ) d Iλ + β

g(λ) d Iλ.

−∞

2. Если f, g I(R), то f (·)g(·) I(R).

При этом для любого x из

+∞

f (λ)g(λ) d Iλ

D −∞ f (λ) d Iλ ∩ D −∞ g(λ) d Iλ ∩ D −∞

справедливо равенство

+∞

f (λ)g(λ) d Iλx =

−∞

f (λ) d Iλx

−∞

g(λ) d Iλx.

−∞

3. Если f I(R), то

I(R) (здесь

— комплексно со-

пряженная к f функция) и

+∞

−∞ f

(λ) d Iλ

−∞ f (λ) d Iλ .

+∞

(λ) 0, то

f (λ) d Iλ 0.

4. Если f I(R)

и λ

R f

5. Если f, g I(

) и λ

−∞

f (λ) g(λ), то

+∞

f (λ) d Iλ

−∞

6. Если f C(R), то

Iλx 2 — сходится ,

+∞

D −∞ f (λ) d Iλ = x H : −∞ |f (λ)|2 d

+∞

x D

−∞ f

(λ) d Iλ −∞ f (λ) d Iλx = −∞ |f (λ)|2 d Iλx 2.

112

Доказательство. 6 . Примем обозначение

				+∞
			F :=			f	(λ) d Iλ.
			F :=			f	(λ) d Iλ.
				−∞
				+∞
Поскольку D(F ) = {x :						f	(λ) dIλ x — сходится}, то
Поскольку D(F ) = {x :						f	(λ) dIλ x — сходится}, то
				−∞

			n
x D(A) −n f (λ) dIλ x — фундаментальна
			n+p					n

			−n−p f (λ) dIλ x −−n f (λ) dIλ x 2								=
		n					n+p		2
		−

=	=	−n−p f (λ) dIλ x − n						f (λ) dIλ x		=
=	−n−p f (λ) dIλ x					+		n	f (λ) dIλ x		=
	−n				2		n+p			2	(6.7)

=−n |f (λ)|2 d Iλ x 2 + n+p |f (λ)|2 d Iλ x 2 =

	−n−p					n
	n+p					n
=	− −					−
=	n p \|f (λ)\|2 d Iλ x 2			−		n \|f (λ)\|2 d Iλ x 2
	−n \|f (λ)\|2 d Iλ x 2				— фундаментальна

	n
		+∞					— сходится.

		−∞ \|f (λ)\|2	(d		Iλ x 2

Утверждение 15.1. Пусть { Iλ } — разбиение единицы в гильбертовом пространстве H, f (·) I(R) и ϕ : R → (α; β) — строго возрастающая непрерывная биекция R на (α; β). Тогда семейство ортопроекторов{ Iμ }, определенное следующим образом:

113

	O,	μ α,
Iμ :=	Iϕ(μ), μ (α; β),
	I,	μ β

является разбиением единицы в гильбертовом пространстве H. При этом

+∞f (λ) d Iλ = β f ϕ(μ) d Iμ.

−∞ α

16. Спектральное разложение неограниченного самосопряженного оператора

В этой главе рассматривается спектральное разложение неограниченных самосопряженных операторов.

Теорема 16.1. Пусть H — гильбертово пространство над полем C и A saL(H). Тогда существует такое разбиение единицы {Iλ}, что при любом λ R оператор Iλ соком-

мутирует с A и A = +∞λ dIλ.

−∞

Доказательство. 1. По теореме 9.4 существуют операторы B, C L(H) такие, что

I B = (I + A2)−1 0,

C = AB,

(16.1)

Поскольку ±i ρ(A), то

B = (A

iI)−1(A + iI)−1 = RA(i)RA(

(14.1)

−

i) =

2 RA(−i) −

−

RA(−i) − RA(i)

i (A + iI iI) RA( i) (A iI + iI) RA(i) =

= AB

= A

(i)

I iRA( i) I iRA(i) = 1

RA( i) + RA(i) .

−

− − −

−

В силу соотношений (16.1) Im B D(A).

2. Пусть { Iλ } — разложение единицы, порожденное самосопряженным ограниченным оператором B. Так как в силу (16.1) 0 B I, то { Iλ } сосредоточено на [0; 1 + ε], где 0 < ε — достаточно малое число.

115

Поскольку Ker B = {0}, то 0 σd(B). Тем самым по теореме 7.4 точка 0 есть точка непрерывности { Iλ }. Поэтому

I−0 = I0 = I+0 = 0.

(16.2)

3. Пусть

Pn := I1/n − I1/(n+1), Hn := Im Pn при n 2, а

P1 := I − I1/2, H1 := Im P1.

Тогда Hn Hm при n = m. Поскольку операторы B и C коммутируют, то в силу свойств разложения единицы, порожденного оператором B, при любом n N операторы Pn, B и C коммутируют между собой.

4. Так как при любом x H

(16.2)

Pnx = I − I1/(N +1)

→

x, то

∞

= I.

n=1

1/n

1/(

5. Рассмотрим операторы

λ−1 dIλ и

n+1)

1/n

п. 3 теор. 7.2

1/(

BPn.

Bn :=

λ dIλ

n+1)

Тогда

1/n

п. 2 теор.

1/(

BnBn

dIλ = Pn

n+1)

и для любого x H

(16.4)

D(A).

Im B

x = B

= BP

B x

(16.3)

(16.4)

(16.5)

116

При этом

	AP	(16.5)	(16.4)	ABP	B	(16.1)
	AP	x = AB	B x =	ABP	B	x =
	n	n	n3	n	n
		= CPnBnx = PnCBnx Hn.
Поэтому	H	инвариантное подпространство оператора A.
Поэтому	n —
					как операторы, дей-
6. Рассмотрим операторы An := A Hn					как операторы, дей-
ствующие в Hn. Тогда при любом n				N оператор An — симмет-

рический оператор, определенный на всем гильбертовом про-

странстве Hn. Поэтому по теореме 2.1 An L(Hn).

7. По теореме 5.1 каждый оператор An порождает разложе-

ние единицы

(H )

= 0

при

−

n ,

{ Iλ } L

. При этом Iλ

и Iλ= Pn Hn

при λ >

+∞

An =

(16.6)

λ d Iλ.

−∞

8. Поскольку для любых λ R и x H

∞

Pnx

2 = x 2,

n=1

Iλ Pnx

n=1

то в силу утверждения 1.2 при каждом λ R оператор Iλ, определенный равенством

∞	n
n	Iλ Pn,
Iλ :=	Iλ Pn,
=1

есть ограниченный самосопряженный оператор и

IλPn =Iλ Pn.

Покажем, что для любого λ выполняется равенство Iλ2

(16.7)

(16.8)

= Iλ:

117

∞

∞ n

∞

I λ Pmx =

Iλx = n=1 Iλ PnIλx = n=1 Iλ Pn m=1

Im I λ

∞ n

∞

Iλ

Pn I λ Pmx

n=1

m=1

∞

Iλ Pn Iλ Pnx =

Iλ Pnx = Iλx.

n=1

Тем самым Iλ — ортопроектор.

9. Пусть μ > λ, тогда

∞

(Iμ − Iλ)x, x = n=1

Iμ − Iλ Pnx, x =

∞

= n=1

Iμ − Iλ Pnx, Pnx

[Iμ − Iλ 0] 0 = Iμ Iλ

и, в частности, Iλ−0 Iλ.

10. В

силу

(16.7)

Iλx

Pnx + rN,λ(x), где

Iλ

∞

rN,λ(x) :=

Iλ Pnx, и

N +1

rN,λ(x) 2	rN (x)2 :=	∞	Pnx 2	0.
				N−→→ ∞
		n=N +1		N−→→ ∞
				+

Рассмотрим неравенство


0		N	n	rN (x).
0	Iλx − n=1		Iλ Pnx	rN (x).

(16.9)

(16.10)

Переходя в неравенстве (16.10) к пределу при λ → μ − 0 (λ → −∞, λ → +∞), а затем к пределу при N → +∞, с учетом соотношений (16.9) получим

I		∞	I uP	x	(16.7)		lim I = 0,		lim		I = I.
	μ−0	n	m n		μ	λ	→−∞	λ	λ +	∞	λ
		n					→−∞		→	∞
		=1

118

Тем самым { Iλ } — разложение единицы.

12. Рассмотрим самосопряженный оператор A :=					+∞
12. Рассмотрим самосопряженный оператор A :=					λ dIλ.
Тогда для любого n N					−∞
Тогда для любого n N
				A A
APnx =	+∞	(16.8)	+∞	n
	−∞		−∞

Тем самым по лемме 15.2 получим, что = .

13.Отметим, что в силу п. 6 теоремы 15.1 x D(A) +∞λ2 d(Iλx, x) < +∞.

−∞

Определение. Пусть { Iλ } — разложение единицы в гильбертовом пространстве H, порожденное самосопряженным неограниченным оператором A, и f (·) I(R). Тогда, как и в случае ограниченного оператора, оператор f (A) определяется

формулой f (A) := +∞f (λ) dIλ.

−∞

Пример 16.1. Пусть { Iλ } — разложение единицы в гильбертовом пространстве H, порожденное самосопряженным неограниченным оператором A. Тогда

	+∞
eiA =		eiλ dIλ		= cos A + i sin A.
eiA =		eiλ dIλ		= cos A + i sin A.
−∞
При этом в силу п. 6 теоремы 15.1
x D eiA			2	+∞

	eiAx			= −∞ 1 d Iλx 2 = x 2.

17.Унитарные операторы

иих спектральное разложение

Вэтой главе рассматривается еще один класс линейных операторов, для которых имеется интегральное представление.

Определение. Пусть H — гильбертово пространство. Линейный оператор U L(H) такой, что

U U = I = U U ,

(17.1)

называется унитарным.

Утверждение 17.1. Пусть H — гильбертово пространство. Линейный оператор U L(H) унитарный тогда и только тогда, когда


U		(H)			и	U = U −1.
	L
Доказательство.				. В силу (17.1)			D(U ) = H и
		=
Im U = H. Поэтому для любого x H
x 2 = (U U x, x) = (U x, U x) = U x 2.

Теорема 17.1. Пусть			H — гильбертово				пространство

U L(H) и D(U ) = H. Следующие условия эквивалентны: 1. U — унитарный оператор.

2. Im U = H и x, y H (U x, U y) = (x, y). 3. Im U = H и x H U x = x .

Доказательство. 1 = 2 . Для любых x, y H

(U x, U y) = (x, U U y) = (x, y).

При этом в силу (17.1) Im U = H. 2 = 3 . Для любого x H

120

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1312 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]