Случайные события. Учебно-методическое пособие

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (СибГУТИ)

Н. Ф. Кобелева

Случайные события

Учебно-методическое пособие

Новосибирск

2023

УДК 519.21(075.8)

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензент к.ф.-м.н., доц. Н.И. Чернова

Кобелева, Н. Ф. Случайные события : учебно-методическое пособие / Н. Ф. Кобелева ; Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, кафедра высшей математики. – Новосибирск, 2023. – 33 с.

Пособие содержит необходимые теоретические сведения по разделу «Случайные величины» теории вероятностей, достаточное количество примеров и задач с решениями, а также задания для самостоятельной работы студентов по данному разделу теории вероятностей. Приводятся образцы решения задач № 1, 2, 3 задания РГР, относящиеся к данному разделу теории вероятностей, для студентов направления 20.03.01 «Техносферная безопасность», профиль «Безопасность технологических процессов и производств».

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов Института телекоммуникаций СибГУТИ различных направлений подготовки, изучающих теорию вероятностей, в соответствии с государственными образовательными стандартами инженерных специальностей. Пособие разработано в соответствии с требованиями ФГОС по направлениям: 11.03.01 «Радиотехника» (профили: «Аудиовизуальная техника», «Радиотехнические средства формирования, передачи, приема и обработки сигналов»); 11.03.03 «Конструирование и технология электронных средств» (профили: «Интеллектуальные сетевые робототехнические системы и устройства», «Конструирование интегральных электронных систем»); 11.03.04 «Электроника и наноэлектроника», профиль: «Микроэлектроника и наноэлектроника».

©Кобелева Н.Ф., 2023

©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2023

2

1.1Опыт, события, вероятность_________________________________ 5

1.2Упражнения________________________________________________ 9

2.5Упражнения________________________________________________ 17

2.6Контрольные вопросы_______________________________________ 18

3.2Упражнения________________________________________________ 22

3.3Контрольные вопросы_______________________________________ 23

4.Схема независимых испытаний__________________________________ 25

4.1Формула Бернулли__________________________________________ 25

4.2Упражнения________________________________________________ 27

3

Введение

Среди математических методов, широко применяемых в различных областях современной жизни (наука, экономика, организация производства и т.д.), не последнее место занимают методы теории вероятностей и математической статистики. Теория вероятностей, как и многие другие разделы математики, развилась из насущных потребностей практики. Так, знаменитый физик Галилей еще в 17 веке пытался исследовать ошибки физических измерений, рассматривая их как случайные величины и оценивая их вероятности. Формирование основных понятий теории вероятностей происходило на материале «азартных игр». По легенде годом рождения теории вероятностей считают 1654 год. Кавалер де Мере предложил знаменитому Б. Паскалю решить задачу, возникшую в практике азартных игр, которую тот с успехом решил. Затем Паскаль предложил эту задачу П. Ферма, который, решая еѐ, обобщил полученное им решение на более сложные варианты. Развитие теории вероятностей связано с именами Я. Бернулли, П. Лапласа, К. Гаусса, С. Пуассона, П.Л. Чебышева и его учеников Маркова А.А., Ляпунова А.М. и многих других. Страховое дело, теория измерений, теория стрельбы, аэродинамика, гидродинамика, теория связи, радиотехника и другие разделы современной науки не обходятся без применения методов теории вероятности и математической статистики. В данном пособии мы рассмотрим только некоторые понятия и теоремы одного из разделов теории вероятностей, а именно раздела «Случайные события».

4

1 Основные понятия

1.1 Опыт, события, вероятность

Предметом изучения теории вероятностей являются случайные явления, которые при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекают каждый раз несколько по-иному. Действительный мир, окружающий человека, наполнен случайными явлениями, и теория вероятностей изучает закономерности массовых однородных случайных явлений. Рассмотрим основные понятия теории вероятностей, а именно: опыт, событие, вероятность события.

Определение 1.1. Опытом (испытанием) называют реализацию определенного комплекса условий.

Определение 1.2. Событием в теории вероятностей называется любой факт, который может произойти или не произойти в результате рассматривае-

мого опыта. Обозначение событий: А, В, …

Например, опыт – один выстрел по цели; события: А – попадание, В – промах.

В теории вероятностей события классифицируются следующим образом.

Определение 1.3. Событие называется достоверным (невозможным), если в результате рассматриваемого опыта оно непременно (никогда не) произойдет.

Определение 1.4. Событие называется случайным, если в результате рассматриваемого опыта оно либо произойдет, либо не произойдет.

Определение 1.5. Вероятностью события называют количественную меру объективной возможности появления события в опыте.

Мы остановимся на классическом определении вероятности, применимом для целого класса задач. Задачи имеют определѐнные ограничения на рассматриваемые в них опыты.

Определение 1.6. События А1, А2, …, Аn называются равновозможными в некотором опыте, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое в данном опыте.

Например, при бросании игрального кубика (опыт) события А1, А2, А3,

А4, А5, А6 – выпадение 1-го, 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти, 6-ти очков (соответственно) будут равновозможными событиями в рассматриваемом опыте.

Определение 1.7. Элементарным событием называется каждый неразложимый исход (событие) рассматриваемого опыта.

Определение 1.8. Пространством элементарных событий (обозначение Ω) называется множество всех элементарных исходов (событий) рассматриваемого опыта.

5

Геометрически Ω изображают в виде некоторой области на плоскости, а элементарные события изображаются непересекающимися подмножествами этой области, заполняющими всѐ Ω. Любое подмножество А множества Ω называется событием. Тогда Ω – достоверное событие, Ø – невозможное событие.

Определение 1.9. Элементарные события, входящие в событие А, называются благоприятствующими событию А.

Определение 1.10. (Классическое определение вероятности). Вероятность события А равна отношению числа элементарных исходов (событий), благоприятствующих событию А (входящих в А), к общему числу всех равновозможных элементарных исходов (событий) рассматриваемого опыта, т.е.

А, N – число элементарных равновозможных событий, образующих пространство элементарных событий Ω рассматриваемого опыта.

Например, при бросании игрального кубика пространство элементарных событий Ω={А1, А2, А3, А4, А5, А6}, события Аi, были описаны выше. Рассмотрим событие А – выпадение не менее двух очков. Тогда событие А состоит из следующих элементарных событий А={А2, А3, А4, А5, А6}, т.е. событию А благоприятствуют 5 элементарных событий из множества Ω. Следовательно, вероятность события А равна отношению 5/6. Получили, P(А)=5/6.

Пример 1.1. Опыт: бросание двух монет. События: А – появление двух гербов; B – появление хотя бы одного герба. Найти: Р(А), Р(B).

Решение. Опишем пространство элементарных исходов Ω={ГГ, ГЦ,

ЦГ, ЦЦ}, Г обозначает выпадение герба, Ц обозначает выпадение цифры, порядок выпадения учитывается. Следовательно, число элементарных исходов данного опыта N=4. Найдѐм события, благоприятствующие событиям, вероят-

ность которых нужно найти. M1=1. Следовательно, Р(А)=1/4. M2=3. Следовательно, P(B)=3/4.

Ответ: Р(А)=1/4; Р(B)=3/4.

На практике при вычислении вероятности некоторых событий числа N и M могут оказаться равны бесконечности. В таких случаях пользуются понятием

геометрической вероятности, которая определяется формулой = мерамера ,

где мера – мера (длина, площадь, объѐм и т.п.) всей области G (пространство элементарных исходов); мера – мера той части области G, попадание в которую благоприятствует событию А.

6

Из классического определения вероятности видно, что оно применимо лишь тогда, когда исходы опыта являются равновозможными элементарными событиями, а это не всегда так.

Для вычисления классической вероятности в некоторых задачах необходимо применение формул комбинаторики (раздел математики, в котором рассматриваются различные комбинации (соединения) элементов некоторого множества). Приведем некоторые понятия комбинаторики ниже, не углубляясь в тонкости.

Перестановками из n элементов называются соединения, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком элементов. Обозначение: число перестановок из n элементов. = ! ! = ∙ ∙ ∙ … ∙ .

Размещениями из n элементов по m элементов в каждом называются соединения, состоящие из m элементов (отобранных из множества, содержащего n элементов), отличающиеся друг от друга или порядком расположения эле-

Пример 1.2. Бросаются 2 монеты. Найти вероятность того, что: а) выпадут 2 цифры; б) выпадет 1 герб; в) выпадет хотя бы 1 цифра.

Решение. Используем классическое определение вероятности. Опишем пространство элементарных исходов Ω={ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ}, Г обозначает выпадение герба, Ц обозначает выпадение цифры, порядок выпадения учитывается. Следовательно, число элементарных исходов N=4. События: А – выпадение двух цифр; В – выпадение одного герба; С – выпадение хотя бы одной цифры. Найдѐм события, благоприятствующие событиям, вероятность которых нужно найти. M1=1, M2=2, M3=3. Воспользуемся классическим определением вероятности: P(А)=M/N. Получим: Р(А)=1/4; Р(В)=2/4=1/2; Р(С)=3/4.

Ответ: 1/4; 1/2; 3/4.

Пример 1.3. Минометный расчет равномерно обстреливает площадь шириной 90 м и глубиной 100 м. Определить вероятность прямого попадания одной миной в орудийный расчет, находящийся в зоне обстрела на площади 15 м2.

Решение. Событие А – прямое попадание одной миной в орудийный расчет. Воспользуемся геометрическим определением вероятности (в данной задаче мерой будет площадь): Р(А)=SА/ SΩ , где SΩ – площадь зоны обстрела, SА –

7

площадь цели, находящейся в зоне обстрела. Найдѐм искомые площади

SΩ=90·100 =9000м2; SА=15м2.

P(А)=15/9000=1/600. Ответ: 1/600.

Пример 1.4. Найти вероятность поражения самолета, если за время его полета через обстреливаемое воздушное пространство объѐмом 1/8 км3 может быть произведено 20 выстрелов снарядами со средним поражаемым объѐмом одного снаряда 7500 м3, а поражаемые области включаются в обстреливаемое пространство и не пересекаются.

Решение. Воспользуемся геометрическим определением вероятности (в данной задаче мерой будет объѐм): Р(А)=VА/VΩ. По условию задачи

VΩ=1/8км3=109/8м3; VА=7500·20=150000м3=15·104м3.

Тогда Р(А)=(15·104·8)/109 =0,0012.

Ответ: 0,0012.

Пример 1.5. В забеге участвуют 5 курсантов: А, Б, В, Г, Д, каждый из них имеет одинаковые шансы на успех. а) Какова вероятность, что первые три места займут соответственно курсанты А, Б и В? б) Изменится ли вероятность, если в вопросе задачи опустить слово «соответственно». Если «да», то чему она будет равна?

Решение. События А – первые три места займут соответственно курсанты А, Б и В. Воспользуемся классическим определением вероятности:

P(А)=M/N. а) всего исходов данного опыта N= A53 =5!/(5-3)!=60, при

этом N – сколькими способами можно отобрать 3 курсантов из 5 курсантов с учѐтом порядка. Благоприятный исход (отобрали нужных в нужном порядке А, Б и В) M=1. Следовательно, P1=Р(А)=1/60. P1 – вероятность того, что первые три места займут соответственно курсанты А, Б и В; б) В – первые три места займут курсанты А, Б и В. Всего исходов данного опыта N=C53 =5!/(3!·2!)=10,

N – сколькими способами можно отобрать 3 курсантов из 5 курсантов без учѐта порядка. Благоприятный исход (отобрали нужных без учѐта порядка А, Б и В) M=1. P2=Р(В)=1/10. P2 – вероятность того, что первые три места займут курсанты А, Б и В. Ясно, что вероятности P1,P2 не равны.

Ответ: 1/60; 1/10.

Пример 1.6. В группе студентов 6 отличников, 12 успевающих на «хорошо» и 7 на «удовлетворительно». По списку отобраны 3 студента. Найти вероятность того, что все отобранные студенты окажутся отличниками?

Решение. Событие А – все отобранные студенты окажутся отличниками. Воспользуемся классическим определением вероятности:

P(А)=M/N. Всего исходов данного опыта N=C253 = 25!/(22!·3!)= 2300; благоприятных исходов M= C63 =6!/(3!·3!)=20. Тогда P(А)=20/2300=1/115. Порядок N, M применяем формулу для вычисления

8

Ответ: 1/115.

Пример 1.7. В ящике находится 20 сигнальных ракет, из которых 6 красного цвета, остальные – зеленого. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 ракет 3 окажутся красного цвета?

Решение. Событие А – среди взятых наудачу пяти ракет три окажутся красного цвета. Воспользуемся классическим определением вероятности:

P(А)=M/N, N=20!/(5!·15!)=15504; M= C63 C142 , т.к. искомому событию благоприятствуют те случаи, когда из шести ракет красного цвета взяты 3 раке-

Ответ: ≈ 0,11739.

Пример 1.8. Произвольно раскладываются карточки с буквами А, К, Н, Т. Какова вероятность того, что будет выложено слово «ТАНК»?

Решение. Событие А – будет выложено слово «ТАНК». Воспользуемся классическим определением вероятности: P(А)=M/N. N=P4=4!=24 (общее число исходов равно числу перестановок из 4 букв), M=1, получим P(А)=1/24.

Ответ: 1/24.

Пример 1.9. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность события А – сумма выпавших очков равна 10.

Решение. Опыт: бросаем два игральных кубика. Событие А – сумма выпавших очков равна 10. Вычислим общее число равновозможных элементарных исходов опыта N=6·6=36 (6 возможностей для первого кубика и 6 возможностей для второго кубика). M=3, так как благоприятные исходы рассматриваемого события А, дающие в сумме 10: 4+6, 5+5, 6+4. Значит,

P(А)=M/N=3/36=1/12. Ответ: 1/12.

1.2Упражнения

1.1.В коробке лежат 10 шаров: 3 белых и 7 чѐрных. Из коробки наугад достают один шар. Найти вероятность того, что этот шар: а) белый; б) чѐрный?

1.2.Из слова «МАТЕМАТИК» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что это буква «А»? Какова вероятность того, что эта буква гласная? Какова вероятность того, что эта буква согласная?

1.3.Брошены три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два «орла»?

1.4.Из пяти карточек с буквами А, Р, В, Г, У наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово «УРА»?

1.5.В коробке 5 кг мелких деталей двух партий: партии № 1 – 1,5 кг и остальные детали партии № 2. Все детали одинаковы и перемешаны. Наугад берѐтся одна деталь. Какова вероятность того, что она принадлежит партии № 2?

9

1.6.В коробке 4 белых и 5 чѐрных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара а) окажутся белыми, б) один белый, один чѐрный?

1.7.В партии 50 деталей, из них пять бракованные. Из партии выбираются наугад 6 деталей. Определить вероятность того, что среди этих 6 деталей 2 окажутся бракованными.

1.8.В партии из 45 изделий 3 бракованных. Из партии выбираются наугад два изделия. Определить вероятность того, что среди отобранных изделий оба окажутся небракованными.

1.9.После бури на участке между 35-м и 80-м километрами телефонной линии произошѐл обрыв провода. Какова вероятность того, что обрыв произошѐл между 50-м и 65-м километрами линии?

1.10.Самолѐт бомбит мост шириной 4 м и длиной 30 м. Мост находится в зоне бомбометания, имеющей форму прямоугольника со сторонами 200 м и 300 м. Определить вероятность попадания бомбы в мост, если считать падение бомбы равновозможным в любую точку зоны бомбометания.

1.11.Найти вероятность поражения самолѐта, если за время его полѐта через обстреливаемое воздушное пространство объѐмом 1/6 км3 может быть произве-

дено 15 выстрелов снарядами со средним поражаемым объѐмом одного снаряда 7000 м3, а поражаемые области включаются в обстреливаемое пространство и не пересекаются.

1.12.Имеется 15 кг небольших металлических шаров двух партий: партии № 1

– 6 кг и партии № 2 – 9 кг. Все шары одинаковы и перемешаны. Наугад берѐтся один шар. Какова вероятность того, что он принадлежит партии № 1?

1.13.В урне 3 белых и 6 чѐрных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся чѐрными?

1.14.В партии из 50 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

1.15.Самолѐт противника может произвести налѐт на обороняемый объект с любого направления с одинаковой вероятностью. Определить вероятность того, что налѐт будет совершѐн в секторе с границами 120°–210°. Оборона объекта круговая.

1.16.Из 25 курсантов 5 отличников. Наудачу отобраны 7 курсантов. Найти вероятность того, что среди отобранных курсантов окажется 3 отличника.

1.17.Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадет хотя бы один «герб».

1.18.Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадет ровно один «герб».

1.19.Из 25 курсантов 7 отличников. Наудачу отобраны 5 курсантов. Найти вероятность того, что среди отобранных курсантов окажется 5 отличников.

1.20.В партии из 50 изделий 6 бракованных. Из партии выбираются наугад 5 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 5 изделий 3 окажутся бракованными.

10