Случайные события. Учебно-методическое пособие

1.21. Из пяти карточек с буквами Е, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность, что получится слово «ГДЕ»?

1.3Контрольные вопросы

1.1.Дайте определение опыта.

1.2.Дайте определение события.

1.3.Дайте определение случайного события.

1.4.Дайте определение достоверного события.

1.5.Дайте определение невозможного события.

1.6.Дайте определение вероятности.

1.7.Дайте классическое определение вероятности.

1.8.Дайте геометрическое определение вероятности.

1.9.Дайте определение равновозможных событий.

1.10.Дайте определение пространства элементарных исходов.

1.11.Дайте определение благоприятствующих исходов.

1.12.В каких случаях применяется классическое определение вероятности?

1.13.Связана ли достоверность, случайность, невозможность события с условиями опыта?

1.14.Какие формулы комбинаторики были даны в этом разделе?

11

2 Сложные события

2.1 Алгебра событий

Определение 2.1. События А1, А2, … , Аn называются несовместными, если появление одного из них в опыте исключает появление другого (не могут появиться одновременно в рассматриваемом опыте). В противном случае события называются совместными (могут появиться одновременно в рассматриваемом опыте).

Например: попадание и промах при одном выстреле – несовместные события.

На рисунке 1 слева изображены совместные события, справа – несовместные события.

A B A

B

Рисунок 1 – Совместные события, несовместные события

Определение 2.2. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий (или события А, или события В, или обоих вместе). Обозначение: С=А+В, (С=А «или» В).

Пример 2.1. Производится по одному выстрелу из двух орудий. События: А – попадание в цель из первого орудия; В – попадание в цель из второго ору-

дия. Тогда С=А+В, С – попадание в цель вообще (или из 1-го орудия, или из 2-го, или из обоих вместе).

Определение 2.3. Суммой нескольких событий А1, А2, … , Аn называется событие С, состоящее в выполнении хотя бы одного из них.

Пример 2.2. Производятся 4 выстрела по цели. Рассмотрим следующие события: А0 – ни одного попадания; А1 – одно попадание; А2– два попадания; А3 – три попадания; А4 – четыре попадания. Тогда А=А0+А1+А2, А – не более двух попаданий, В=А3+А4, В – не менее трех попаданий.

Определение 2.4. Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении этих событий в рассматриваемом опыте. Обозначение: С=А·В, (С=А «и» В). Смотрите рисунок 2.

12

Определение 2.5. Произведением нескольких событий А1, А2, … , Аn называется событие С, состоящее в совместном появлении этих событий в рассматриваемом опыте. Обозначение: С=А1·А2·…·Аn,

(C=А1«и»А2«и»…«и»Аn).

Рисунок 2 – Произведение совместных, произведение несовместных событий

Пример 2.3. Производится три выстрела по цели. События: В1 – попадание при первом выстреле; В2 – попадание при втором выстреле; В3 – попадание при третьем выстреле. Тогда С=В1·В2·В3, С – три попадания.

Определение 2.6. Событие Ā называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А. Обозначение: Ā. Читают: Ā – «не

А».

Пример 2.4. Производится один выстрел по цели. События: А – попадание, Ā – промах.

Определение 2.7. События А1, А2,…, Аn образуют полную группу несовместных событий, если они несовместны и в результате опыта хотя бы одно из них обязательно произойдет.

Пример 2.5. Выпадение одного, двух, трех, четырех, пяти, шести очков при бросании игрального кубика образуют полную группу несовместных событий (П.Г.Н.С.).

2.2 Теоремы сложения

Теорема 2.1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Теорема 2.2. Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)

Следствие 1. Если события А1, А2,…, Аn образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна 1,

13

т.е. Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)=1.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1,

т.е. Р(А)+Р(Ā)=1.

Следствие 2 является частным случаем следствия 1, т.к. А и Ā – П.Г.Н.С. Обозначим Р(А)=p, Р(Ā)=q.Тогда p+q=1.

Следовательно, p=1-q, q=1-p.

Пример 2.6. При стрельбе по мишени вероятность сделать отличный выстрел равна 0,3, хороший – 0,4. Какова вероятность получить за сделанный выстрел оценку не ниже «хорошо»?

Решение. События: А – получение оценки «отлично», Р(А)=0,3; В – получение опенки «хорошо», Р(В)=0,4; С – получение оценки не ниже «хорошо», Р(С)=? Составим событие С: С=А+В. Т.к. А и В – несовместны, то по теореме сложения получим Р(С)=Р(А+В)=Р(А)+Р(В)=0,3+0,4=0,7.

Ответ: 0,7.

Теорема 2.3. Вероятность суммы двух совместных событий вычисляется по формуле: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)–Р(А·В).

2.3 Теоремы умножения вероятностей. Условная вероятность. Независимые события

На вероятность некоторого события может влиять то, имело или нет место другое событие. Введѐм необходимые определения.

Определение 2.8. Вероятность события В, вычисленная при условии, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В при условии А.

Обозначение: Р(В|А) или РА(В).

Теорема 2.4. Условная вероятность события В при условии А равна отношению вероятности произведения этих событий к вероятности события А,

т.е. Р(В|А)=Р(А·В)/Р(А) , аналогично, Р(А|В)=Р(А·В)/Р(В).

Теорема 2.5. (теорема умножения вероятностей) Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, т.е.

Р(А·В)=Р(А)·Р(В|А)=Р(В)·Р(А|В).

Пример 2.7. В урне 4 белых и 2 черных шара. Из урны последовательно один за другим вынимают 2 шара. События: А – первый шар белый, В – второй шар белый. Р(В|А)=3/5; Р(В|Ā)=4/5.

14

Заметим, что Р(В|А)≠Р(В|Ā). Рассмотрим событие С – оба шара белые.

С=А·В; Тогда Р(С)=Р(А)·Р(В|А)=4/6 (3/5)=2/5.

Определение 2.9. Событие В не зависит от события А, если вероятность события В не зависит от того, произошло или нет событие А,

т.е. Р(В|А)=Р(В|Ā)=Р(В).

Теорема 2.6. (теорема умножения вероятностей двух независимых событий) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведе-

нию вероятностей этих событий, т.е. Р(А·В)=Р(А)·Р(В).

Эту теорему можно распространить на случай нескольких событий.

Пример 2.8. Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания в цель для 1-го стрелка равна 0,9, для второго – 0,7. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

Решение. Рассмотрим события: А1 – попадание первого стрелка, Р(А1)=0,9; А2 – попадание второго стрелка, Р(А2)=0,7; С – два попадания;

Р(С)=?

Так как С=А1·А2 и А1, А2 – независимы, то по теореме умножения для независимых событий Р(С)=Р(А1)·Р(А2)=0,9·0,7=0,63.

Ответ: 0,63.

2.4 Вычисление вероятности появления события хотя бы один раз

Пусть 1, 2, … , – вероятности появления события в 1-м, 2-м, …, − м опытах; А – появление события хотя бы один раз в опытах.

Тогда = − − ∙ − ∙ … ∙ − . Если же = = = = , то = − − .

Рассмотрим несколько примеров типовых задач, в которых применяются теоремы и формулы, рассмотренные выше.

Задача 2.1. Производится стрельба по некоторой области D, состоящей из трѐх непересекающихся зон. Вероятность попадания в первую зону равна 0,03; в зону II – 0,15; в зону III – 0,18. Найти вероятность попадания в область D.

Решение. 1). Опишем события, вероятности которых нам известны.

А1 – попадание в первую зону, Р(А1)=0,03, А2 – попадание в зону II, Р(А2)=0,15, А3 – попадание в зону III, Р(А3)=0,18.

2). Опишем событие, вероятность которого требуется найти. А – попадание в область D, Р(А)=? 3). Составим событие А из событий А1, А2, А3. Для того чтобы попасть в область D необходимо попасть либо в зону I, либо в зону II, либо в зону III, т.е. А=А1+А2+А3 4). Найдѐм вероятность события А.

15

События А1, А2, А3 несовместны, так как попадание в одну зону исключает попадание в другие. Поэтому по теореме сложения для несовместных событий получим Р(А1+А2+А3)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)=0,03+0,15+0,18=0,36

Ответ: Р(А)=0,36

Задача 2.2. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в 1-й склад – 0,01, во 2-й – 0,008, в 3-й – 0,025. При попадании в один склад взрываются все три. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Решение. 1). Пусть события А1 – попадание в первый склад, Р(А1)=0,01; А2 – попадание во второй склад, Р(А2)=0,008; А3 – попадание в третий склад, Р(А3)=0,025. 2). Событие В – склады взорваны. 3). В=А1+А2+А3 (Склады будут взорваны, если бомба попадет или в 1-й склад, или во 2-й склад, или в 3-й склад). 4). Так как события А1, А2, А3 – несовместны, то по теореме сложения вероятностей для несовместных событий получим:

Р(В)=Р(А1+А2+А3)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)=0,01+0,008+0,025=0,043 Ответ: 0,043.

Мы при решении задачи следовали алгоритму:

1.Описать события, вероятности которых известны.

2.Описать событие, вероятность которого требуется найти.

3.Событие, вероятность которого надо найти, составить из событий, вероятности которых известны.

4.Вычислить искомую вероятность, применив теоремы сложения и умножения вероятностей.

Задача 2.3. Курсант знает 20 вопросов из 25 по программе. Найти вероятность того, что курсант знает предложенные ему на экзамене два вопроса.

Решение. 1). А1 – курсант знает первый вопрос, А2 – курсант знает второй вопрос, 2). В – курсант знает предложенные ему два вопроса. 3). В=А1·А2. 4).Т.к. А1, А2 – зависимые события ( А2 зависит от А1 ), то по теореме умножения вероятностей Р(В)=Р(А1·А2)=Р(А1)·Р(А2|А1); Р(А1)=20/25=4/5;

Р(А2|А1)=19/24; Р(В)=(4/5)·(19/24)=19/30. Ответ: 19/30.

Задача 2.4. Штаб получает пакеты из пунктов А, В, С. Вероятность получения пакета из пункта А равна 0,5, из пункта В – 0,2. Найти вероятность того, что очередной пакет будет получен из пункта С.

Решение. 1). Рассмотрим события: А – получение пакета из пункта А, Р(А)=0,5; В – получение пакета из пункта В, Р(В)=0,2; 2). С – получение пакета из пункта С, Р(С)=? 3). Т. к. события А, В, С образуют полную группу несовместных событий, то Р(А)+Р(В)+Р(С)=1. 4). Р(С)=1-[Р(А)+P(B)]= =1-[0,5+0,2]=0,3.

Ответ: 0,3.

Задача 2.5. Произведено 3 выстрела по мишени. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,3, при третьем – 0,25. Найти ве-

16

роятность того, что: а) все три выстрела дадут попадания; б) будет равно два попадания; в) будет одно попадание; г) будет хотя бы одно попадание по мишени.

Решение. А1 – попадание при первом выстреле, Р(А1)=0,4; А2 – попадание при втором выстреле, Р(А2)=0,3; А3 – попадание при третьем выстреле,

Р(А3)=0,25. а) А – три попадания; А=А1·А2·А3; Т.к. А1, А2, А3 – независимые события, то по теореме умножения для независимых событий

Р(А)=Р(А1·А2·А3)=Р(А1)·Р(А2)·Р(А3)=0,4·0,3·0,25=0,03.

б) Событие В – два попадания. Рассмотрим противоположные события Ā1, Ā2, Ā3 промах при первом, втором и третьем выстрелах соответственно.

Р(Ā1)=1-0,4=0,6; Р(Ā2)=1-0,3=0,7; Р(Ā3)=1-0,25=0,75; Тогда

В=А1·А2·Ā3+А1·Ā2·А3+Ā1·А2·А3; Р(В)=Р(А1)·Р(А2)·Р(Ā3)+Р(А1)·Р(Ā2)·Р(А3)+Р(Ā1)·Р(А2)·Р(А3)=

=0,4·0,3·0,75+0,4·0,7·0,25+0,6·0,3·0,25=0,205.

в) Событие С – одно попадание; С=А1·Ā 2·Ā 3+Ā1·А2·Ā3+Ā1·Ā2·А3;

Р(С)=0,4·0,7·0,75+0,6·0,3·0,75+0,6·0,7·0,25=0,45.

г) Событие D – хотя бы одно попадание, событие F – ни одного попада-

ния; F=Ā1·Ā2·Ā3; Р(F)=Р(Ā1)·Р(Ā2)·Р(Ā3)=0,6·0,7·0,75=0,315;

Р(D)=1–Р(F)=1–0,315=0,685.

Ответ: а) 0,03; б) 0,205; в) 0,45; г) 0,685.

Задача 2.6. Производится 4 выстрела по цели. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Для поражения цели достаточно одного попадания. Найти вероятность поражения цели.

Решение. Событие В – хотя бы одно попадание. По условию задачи p=0,8; n=4. P(В)=1–(1-p)n, P(В)=1–(1-0,8)4 =1–0,24=0,9984. Воспользовались формулой

«вычисление вероятности появления события хотя бы один раз».

Ответ: 0,9984.

2.5Упражнения

2.1.В коробке 12 белых и 7 черных шаров. Вытаскивают 3 шара случайно и без возвращения. Какова вероятность того, что а) они все одного цвета; б) один шар белый.

2.2.Вероятность того, что разговор можно вести по каждому из трех каналов связи соответственно равна 0,8; 0,7; 0,8. Какова вероятность того, что разговор состоится?

2.3.Вероятность занятости первого специалиста колл-центра равна 0,3, второго – 0,6, третьего – 0,2. Какова вероятность того, что все специалисты коллцентра свободны?

2.4.В магазине три кассы. Вероятность того, что первая касса занята, равна 0,7, вторая – 0,8, третья – 0,35. Найти вероятность того, что хотя бы одна касса свободна. Какова вероятность того, что все кассы свободны?

17

2.5.В банке имеется два банкомата, вероятности занятости каждого из банкоматов соответственно равны 0,4; 0,3. Какова вероятность того, что один банкомат занят, а другой нет?

2.6.По радиолинии передается сигнал в виде последовательности пяти импульсов. Вероятность искажения каждого импульса равна 0,1. Искажения отдельных импульсов независимы. Найти вероятность того, что передаваемый сигнал будет искажен.

2.7.Вероятности попадания в мишень каждого из двух стрелков соответственно равны 0,3; 0,4. Стрелки стреляют по очереди, причем каждый делает по два выстрела. Найти вероятность того, что было хотя бы одно попадание.

2.8.В команде три спортсмена, которые в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу. Вероятность поражения мишени первым спортсменом равна 0,9, вторым – 0,8 и третьим – 0,7. Найти вероятность того, что команда прошла отборочный тур, если для этого достаточно двух попаданий.

2.9.Для сигнализации об отказе оборудования установлено три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при отказе оборудования сработает первое устройство, равна 0,9, для второго устройства эта вероятность равна 0,95, для третьего устройства – 0,85. Найти вероятность того, что при отказе оборудования сработает: а) только одно устройство; б) ровно два устройства; в) все три устройства.

2.10.Известно, что вероятность попадания при каждом выстреле постоянна. Дана вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах, она равна 0,936. Чему равна вероятность промаха при одном выстреле?

2.11.Два игрока бросают монету два раза каждый. Какова вероятность того, что у обоих выпадет одинаковое число гербов?

2.12.Три удлинителя включены последовательно. Вероятности их отказов равны 0,1; 0,15; 0,2. Найти вероятность того, составленный таким образом удлинитель будет работать.

2.6Контрольные вопросы

2.1.Дайте определение совместных событий.

2.2.Дайте определение несовместных событий.

2.3.Дайте определение суммы событий.

2.4.Дайте определение произведения событий.

2.5.Дайте определение независимых событий.

2.6.Дайте определение зависимых событий.

2.7.Сформулируйте теорему сложения вероятностей для несовместных собы-

тий.

2.8.Сформулируйте теорему сложения вероятностей для совместных событий.

2.9.Сформулируйте теорему умножения вероятностей для независимых собы-

тий.

18

2.10.Сформулируйте теорему умножения вероятностей для зависимых собы-

тий.

2.11.Дайте определение условной вероятности.

2.12.Чему равна сумма вероятностей событий, образующих полную группу несовместных событий (ПГНС).

2.13.Дайте определение ПГНС.

19

3Формула полной вероятности (ФПВ). Формула Бейеса (Байеса)

3.1Вывод ФПВ, Формулы Бейеса (Байеса)

Задача 3.1. (вывод формулы полной вероятности). Дано: событие А,

которое может произойти только вместе с одним из событий Н1, Н2, … , Нn, образующих полную группу несовместных событий (группа гипотез). Известны

ны условные вероятности события А: Р(А|Н1), Р(А|Н2), … ,Р(А|Нn). Найти вероятность события А. Р(А) –?

Решение. Так как событие А может произойти только вместе с одним из событий Н1, Н2, … , Нn, образующих полную группу несовместных событий (группа гипотез), то А=А·Н1+А·Н2+…+А·Нn. Т.к. события Н1, Н2, …, Нn несовместны, то события А·Н1, А·Н2, … , А·Нn также будут несовместны. По теореме сложения для несовместных событий получим

Р(А)=Р(А·Н1)+Р(А·Н2)+…+Р(А·Нn). Для каждого слагаемого применима теорема умножения и, следовательно, получим

Полученную формулу называют формулой полной вероятности. Рассмотрим примеры решения типовых задач по формуле полной вероятности.

Задача 3.2. Имеется три одинаковые на вид урны. В первой урне – 2 белых и 1 черный шар; во второй – 3 белых и 1 черный; в третьей – 2 белых и 2 черных шара. Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из неѐ шар. Найти вероятность того, что шар белый.

Решение. Рассмотрим событие А – шар белый, Р(А)=? Опишем группу гипотез и найдѐм вероятности гипотез. H1 – выбор первой урны, Р(H1)=1/3; H2 – выбор второй урны, Р(H2)=1/3; H3 – выбор третьей урны. Р(H3)=1/3.

Запишем условные вероятности события А: Р(А|Н1)=2/3, Р(А|Н2)=3/4,

Р(А|Н3)=2/4=1/2, они дают вероятность вынуть белый шар из соответствующей урны. Тогда по формуле полной вероятности:

Р(А)=Р(Н1)·Р(А|Н1)+Р(Н2)·Р(А|Н2)+Р(Н3)·Р(А|Н3).

Получим Р(А)=(1/3)·(2/3)+(1/3)·(3/4)+(1/3)·(1/2)=23/36.

Ответ: 23/36.

20