Случайные события. Учебно-методическое пособие
.pdf
Задача 3.3. В тире имеется 2 ружья первого типа и 5 ружей второго типа. Вероятность попадания из ружья первого типа равна 0,4; второго типа – 0,7. Определить вероятность попадания из наудачу выбранного ружья.
Решение. Событие А – попадание. Опишем группу гипотез и найдѐм вероятности гипотез. Н1 – выбор ружья первого типа, Р(Н1)=2/7; Н2 – выбор ружья второго типа, Р(Н2)=5/7.
Запишем условные вероятности события А. Р(А|Н1)=0,4; Р(А|Н2)=0,7. Они дают вероятность попадания из ружья определѐнного типа. По формуле полной вероятности: Р(А)=Р(Н1)·Р(А|Н1)+Р(Н2)·Р(А|Н2).
Тогда Р(А)=(2/7)·0,4+(5/7)·0,7=4,3/7=43/70
Ответ: 43/70.
Томас Бейес (Байес), 1702–1761 гг. – английский математик, родился в Лондоне. Получил домашнее образование. Математические исследования относятся к теории вероятностей.
Задача 3.4. (вывод формулы Бейеса). Дано: событие А, которое может
произойти только вместе с одним из событий Н1, Н2, … , Нn, образующих полную группу несовместных событий (группа гипотез). Известны вероятности
|
n |
гипотез: Р(Н1), Р(Н2), … , Р(Нn), |
P Hi 1 . Также известны условные |
|
i 1 |
вероятности события А: Р(А|Н1), Р(А|Н2), … , Р(А|Нn). Пусть событие А произошло. Найти (пересчитать) вероятности гипотез Р(Нi|А) (i = 1,2,…,n).
Решение. По теореме умножения
Р(А·Нi)=Р(А)·Р(Нi|А)=Р(Н)·Р(А|Нi).
Выразим искомые вероятности (пересчитанные вероятности гипотез при условии, что событие А произошло), получим
Ответ: |
P Hi | A |
P Hi |
P A | Hi |
. Формулу называют формулой Бейеса. |
n |
|
|||
|
|
|
|
P Hi P A | Hi
i 1
Задача 3.5. В тире имеется 2 ружья первого типа и 5 ружей второго типа. Вероятность попадания из ружья первого типа равна 0,4; второго типа – 0,7. Пусть в результате выстрела из наудачу выбранного ружья получено попадание. Найти вероятность того, что выстрел произведен из ружья первого типа (второго типа).
Решение. Напомним, что вероятность события А была найдена в задаче 3.3. Осталось применить формулу Бейеса для гипотез. Получим, приближѐнно:
P(H |А)= |
P(H1 )P( A / H1 ) |
= |
2 / 7 0,4 |
≈ 0,19; |
1 |
P( A) |
0,61 |
|
|
|
|
|||
|
|
21 |
||
P(H2|А)= P(H 2 )P( A / H 2 ) =
P( A)
Ответ: ≈ 0,19; ≈ 0,81.
5 / 7 0,7 ≈ 0,81.
0,61
Формулы Бейеса позволяют «переоценить» вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
3.2Упражнения
3.1.В магазин поступают детали: 30% от первого поставщика и 70% – от второго. Первый поставщик допускает 7% брака, а второй – 9%. а) Найти общий процент брака. б) Деталь оказалась хорошего качества. Найти вероятность того, что она привезена в магазин первым поставщиком.
3.2. На линию сборки техники ежедневно поступают однотипные чипы от трех производителей: первый производитель поставляет 300 штук, второй – 200 штук, третий –500 штук. Вероятности брака в каждого производителя соответственно равны 0,04; 0,03; 0,06. а) Какова вероятность того, что наудачу взятый чип окажется бракованным? б) Наудачу взятый чип оказался бракованным. Какова вероятность того, что он от третьего производителя?
3.3. Агитбригада состоит на 70% из второкурсников и на 30% из третьекурсников. Среди второкурсников 10% парней, а среди третьекурсников – 5%. Все участники агитбригады по очереди составляют отчѐт о проведѐнных мероприятиях. а) Найти вероятность того, что в случайно выбранный день отчѐт составляет девушка. б) В случайно выбранный день отчѐт составлял юноша. Найти вероятность того, что он второкурсник.
3.4. Спортсмен попадает в основной состав команды с вероятностью 0,6, в запас
свероятностью 0,4. Спортсмен из основного состава участвует в соревновании
свероятностью 0,9, а из запасного – с вероятностью 0,2. а) Найти вероятность участия спортсмена в соревновании. б) Спортсмен участвует в соревновании. Какова вероятность того, что он из основного состава?
3.5. Первый склад поставляет 2/3 изделий данного типа, а второй склад –1/3. Вероятность отказа изделия с первого склада равна 0,03, а со второго склада – 0,06. а) Найти вероятность отказа произвольно взятого изделия. б) Произвольно взятое изделие оказалось отличного качества. Найти вероятность того, что оно поставлено вторым складом.
3.6. На сборку поступают детали из двух цехов: первый поставляет 40%, а второй – 60% деталей. Вероятности брака в этих цехах равны 0,04 и 0,06 соответственно. а) Какова вероятность того, что произвольно взятая деталь является бракованной? б) Произвольно взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она из первого цеха?
3.7. В магазине имеется 1000 резисторов: 700 первого поставщика и 300 второго поставщика. а) Найти вероятность того, что наугад купленный резистор окажется бракованным, если вероятность брака в продукции первого поставщика
22
0,06, а в продукции второго поставщика – 0,04. б) Наугад купленный резистор оказался бракованным. Найти вероятность того, что его привѐз в магазин второй поставщик.
3.8. Вероятность того, что грузовик преодолеет трудный участок дороги при хорошей погоде, равна 0,9; в плохую погоду эта вероятность равна 0,7. Вероятность хорошей погоды равна 0,65. а) Найти вероятность того, что грузовик преодолеет трудный участок дороги. б) Грузовик преодолел трудный участок дороги. Найти вероятность того, что в этот день была хорошая погода.
3.9. В группе 30 спортсменов: 20 лыжников и 10 бегунов. Вероятность выполнить квалификационную норму для лыжника равна 0,9, для бегуна – 0,8.
а) Найти вероятность того, что наугад вызванный спортсмен выполнит квалификационную норму. б) Наугад вызванный спортсмен выполнил квалификационную норму. Найти вероятность того, что он лыжник.
3.10. Вероятность установки чипа типа А равна 0,3, чипа типа В – 0,4, чипа типа С – 0,3. Вероятность того, что чип типа А выдержит гарантийный строк, равна 0,8, чипа типа В – 0,9, чипа типа С – 1,0. а) Какова вероятность того, что произвольно взятый чип выдержит гарантийный строк? б) Чип выдержал гарантийный строк. Какова вероятность того, что он типа В?
3.11. На склад поступают детали: 40% с первого конвейера и 60% – со второго. Первый конвейер дает 8% брака, а второй – 9%. а) Найти общий процент исправных деталей. б) Деталь оказалась исправной. Найти вероятность того, что она с первого конвейера.
3.12. В группе из 30 студентов: 20 студентов занимаются в лыжной секции и 10 занимаются в секции бега. Вероятность выполнить норму ГТО для лыжника равна 0,8, для бегуна – 0,7. а) Найти вероятность того, что наугад вызванный студент выполнит норму ГТО. б) Наугад вызванный спортсмен не выполнил норму ГТО. Найти вероятность того, что этот студент ходит в лыжную секцию.
3.13. На линию сборки поступают детали с двух складов: первый поставляет 30%, а второй – 70% деталей. Вероятности брака деталей, поступивших с этих складов равны 0,04 и 0,06 соответственно. а) Какова вероятность того, что произвольно отобранная деталь, поступившая на сборку, окажется исправной? б) Произвольно отобранная деталь, поступившая на сборку, оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она со второго склада?
3.14. Отряд волонтѐров состоит на 70% из второкурсников и на 30% из третьекурсников. Среди второкурсников 10% девушек, а среди третьекурсников – 5%. Все волонтѐры дежурят по очереди на пункте приѐма гуманитарной помощи. а) Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на пункте приѐма дежурит юноша. б) В случайно выбранный день на пункте приѐма дежурит юноша. Найти вероятность того, что он учится на втором курсе.
3.3Контрольные вопросы
3.1.Запишите формулу полной вероятности.
3.2.Запишите формулу Бейеса.
23
3.3.Дайте определение понятию группа гипотез.
3.4.Сформулируйте, в каких случаях применима формула полной вероятности.
3.5.Сформулируйте, в каких случаях применима формула Бейеса.
3.6.Как проверить, что группа гипотез образует ПГНС?
24
4. Схема независимых испытаний
4.1 Формула Бернулли
Определение 4.1. Опыты называется независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты.
Задача 4.1. (вывод формулы Бернулли).
Производится n независимых опытов в одинаковых условиях. Вероятность появления события А в каждом опыте постоянна и равна p. (Схема Бернулли). Найти вероятность того, что событие А произойдет ровно m раз в произведѐнных n опытах.
Решение. Аi – появление события А в i-ом опыте, Р(Аi)=p; i – непояв-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ление события А в i-ом опыте, P( |
|
i )=1-p=q. Рассмотрим событие B – событие |
||||||||||||||||
А произошло ровно m раз в n опытах. Обозначим Р(В)=Рm,n = ? |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 1 2 m |
|
m 2 n + |
1 2 m 1 |
m 2 n + + |
||||||||||||||
m 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
2 n m |
n m 1 n |
|
|
|||||||||||
Все слагаемые несовместны. По теореме умножения для независимых событий веpоятность каждого слагаемого равна pmqn-m. Всего слагаемых Cnm . Таким
образом, Ответ: P m |
Cm pnqn m . |
n |
n |
Получили формулу Бернулли, где n – число опытов, m – число появлений события А («успехов»), p – вероятность появления события А («успеха») в одном опыте, q = 1-p, q– вероятность «непоявления» события А в одном опыте.
Теорема Бернулли: Производится n независимых опытов в одинаковых условиях. Вероятность появления события А («успех») в каждом опыте постоянна и равна p. Тогда вероятность того, что событие А произойдет ровно m раз в проведѐнных n опытах вычисляется по формуле Бернулли:
Pn m Cnm pnqn m .
Следствие из теоремы Бернулли. Наивероятнейшее число k0 успехов в
серии из n испытаний по схеме Бернулли удовлетворяет неравенствам:
np q k0 np p .
Задача 4.2. Биатлонист поражает мишень с вероятностью 0,8. Найти наивероятнейшее число попаданий при 5 выстрелах.
25
Решение. Испытания проводятся по схеме Бернулли, «успех» А – попада-
ние, n |
5 , p |
0,8 , q 0,2 . Тогда по следствию из теоремы Бернулли получим |
|
5 0,8 |
0,2 |
k0 |
5 0,8 0,8 . Следовательно, наивероятнейшее число лежит в |
пределах 3,8 |
k0 |
4,8 . Значит, наивероятнейшее число k0 4, то есть наиве- |
|
роятнейшее число попаданий равно 4.
Ответ: 4.
Задача 4.3. Биатлонист производит выстрелы по мишеням. Задача спортсмена – закрыть все 5 мишеней пятью выстрелами. Вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,2. Какова вероятность того, что биатлонист поразит только три мишени?
Решение. Из условия задачи n = 5; m = 3; q= 0,2; p =1-0,2=0,8.
Применяем формулу Бернулли P3,5 =C35 p3q2 = 3!5!2! ·0,83·0,22=10·0,512·0,04 =
0,2048.
Ответ: 0,2048.
Замечание. В случае, когда n велико, а p мала (p<0,1) вместо формулы Бернулли применяют приближѐнную формулу Пуассона (для «редких» событий):
|
a m |
e a |
, где a np |
Pm,n ≈ |
|
|
|
|
m! |
||
|
|
|
Задача 4.4. Известно, что в принятой для сборки партии из 1000 деталей имеются 4 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 наудачу взятых деталей нет дефектных.
Решение. n = 50, m = 0, р = 0,004 (по классическому определению вероятности).
Т.к. n велико, а p<0,1, то вместо формулы Бернулли применим приближѐнную формулу Пуассона
|
a m |
e a |
|
|
a |
|
np . |
|
Pm,n ≈ |
|
|
|
|
, |
|
||
|
m! |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a 0 |
e |
a |
||
У нас а = 50·0,004 = 0,2, поэтому Р0,50 ≈ |
|
|
|
|
|
= 0,20·е- 0,2 ≈ 0,819. |
||
|
|
|
0! |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ≈ 0,819.
26
4.2Упражнения
4.1.Вероятность занятости каждого специалиста колл-центра равна 0,7. Найти вероятность того, что из четырех специалистов, работающих в колл-центре, свободно не менее двух.
4.2.Считая, что вероятность рождения мальчика и девочки одинакова, найти вероятность того, что в семье с тремя детьми будет: а) три мальчика; б) менее трех мальчиков.
4.3.Спортсменом на каждом из пяти рубежей производится выстрел по установленной цели. Вероятностью поражения установленной цели для данного спортсмена 0,8 на каждом из них. Какова вероятность того, что будет поражено: а) ровно четыре цели; б) не менее четырех целей.
4.4.Шифровальщик передаѐт четыре сообщения, каждое из которых в виду неопытности шифровальщика искажается с вероятностью 0,3. Найти вероятности того, что он допустит: а) ровно два искажения; б) не более двух искажений.
4.5.Вероятность занятости канала связи равна 0,8. Работает пять каналов связи. Найти вероятность того, что в данный момент свободно: а) ровно два канала; б) не менее двух каналов связи?
4.6.Считая, что вероятность рождения мальчика и девочки одинакова, найти вероятность того, что в семье с пятью детьми будет: а) менее трех девочек; б) два мальчика.
4.7.Считая, что вероятность каждой цифры в номере машины одинакова, найти вероятность того, что трѐхзначный номер случайно встретившейся машины содержит: а) не более двух «двоек»; б) одну «двойку».
4.8.При изготовлении деталей каждые четыре из 9 требуют корректировки под конкретный проект. Какова вероятность того, что корректировка потребуются не менее двух деталей из четырех?
4.9.В среднем два сообщения из шести попадает в спам. Найти: а) наивероятнейшее число сообщений, попавших в спам, если сообщений будет восемь; б) вероятность этого числа.
4.10.Три биатлониста выстрелили по одному разу по мишени. Вероятность попадания каждым биатлонистом равна 0,9. Найти вероятность следующих событий, что: а) будет хотя бы два попадания в мишень; б) все промахнутся.
4.3Контрольные вопросы
4.1.Какие опыты называются независимыми?
4.2.Запишите формулу Бернулли.
4.3.Опишите схему Бернулли.
4.4.Сформулируйте теорему Бернулли.
4.5.Как найти наивероятнейшее число «успехов»?
4.6.Когда применима формула Бернулли?
4.7.Запишите формулу Пуассона, сформулируйте, когда она применяется.
27
4.8. Как вычислить вероятность появления события хотя бы один раз в схеме Бернулли?
28
5 Образец решения задач № 1,2,3 РГР по теории вероятностей
Задача №1. В урне находятся четырнадцать черных, шесть белых и пять синих шаров. Из урны извлекают пять шаров. Найти вероятность того, что среди них будет три белых и два черных шара
Решение. Рассмотрим событие А – среди взятых наудачу пяти шаров будет три белых и два чѐрного цвета. Воспользуемся классическим определением вероятности: P(А)=M/N.
Вычислим число способов вынуть пять шаров из урны, содержащей 25 шаров. Так как была выборка без возвращения и порядок не важен, то применя-
ем формулу для вычисления числа сочетаний. N=C255 = 25!/(5!·20!)=53130. Тогда M= C63 
C142 , т.к. искомому событию благоприятствуют те случаи, когда из 6 шаров белого цвета взяты 3 шара (C63 способов), а остальные 2 шара взяты из 14
чѐрных ( C142 способов). C63 20 ; C142 91; M=20·91=1820.
Тогда P(А)=1820/53130 ≈ 0,03426. Ответ: ≈ 0,03426.
Задача №2. В хранилище поступают детали из двух бункеров, из первого вдвое больше, чем из второго. Вероятность брака в первом бункере равна 0,1, во втором бункере – 0,25. а) Найти вероятность брака детали в хранилище. б) Найти вероятность того, что бракованная деталь поступила из второго бункера. в) Найти вероятность того, что годная деталь поступила из второго бункера.
Решение. Рассмотрим событие А – наудачу выбранная деталь бракованная. Опишем группу гипотез и найдѐм вероятности гипотез. Пусть всего деталей 3x. Н1 – деталь из первого бункера, Р(Н1)=2x/(3x)=2/3; Н2 – деталь из второго бункера, Р(Н2)=x/(3x)=1/3. Запишем условные вероятности события А (брака): Р(А|Н1)=0,1; Р(А|Н2)=0,25. Найдѐм условные вероятности события Ā (годной =исправной): Р(Ā|Н1)=0,9; Р(Ā|Н2)=0,75.
а) По формуле полной вероятности Р(А)=Р(Н1)·Р(А|Н1)+Р(Н2)·Р(А|Н2).
Тогда вероятность брака Р(А)=(2/3)·0,1+(1/3)·0,25=0,45/3 =45/300=15/100=0,15
Вероятность исправной детали Р(Ā)=1-Р(А)=1-0,15=0,85
б) По формуле Бейеса: P Hi | A |
P Hi |
P A | Hi |
, |
n |
|
||
|
|
|
P Hi P A | Hi
i 1
применѐнной к событию А, получим: P(H2|А)=(Р(Н2)·Р(А |Н2))/Р(А),
P(H2|А)=((1/3)·0,25)/0,15=25/(3·15)=5/9. Это вероятность того, что бракованная деталь поступила из второго бункера.
29
в) По формуле Бейеса: P Hi | A |
P Hi |
P A | Hi |
, |
n |
|
||
|
|
|
P Hi P A | Hi
i 1
применѐнной к событию Ā, получим: P(H2|Ā)=(Р(Н2)·Р(Ā|Н2))/ Р(Ā),
P(H2|Ā)=((1/3)·0,75)/0,85=75/(3·85)=5/17. Это вероятность того, что годная деталь поступила из второго бункера.
Ответ: а) 0,15, б) 5/9, в) 5/17.
Задача №3. Стрелок производит выстрелы по 5 мишеням. Задача стрелка – закрыть все 5 мишеней пятью выстрелами. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Какова вероятность того, что стрелок попадѐт только по трѐм мишеням?
Решение. Из условия задачи n = 5; m = 3; p = 0,8; q =1-0,8=0,2.
Применяем формулу Бернулли P3,5 =C35 p3q2 = 3!5!2! ·0,83·0,22=10·0,512·0,04= =0,2048.
Ответ: 0,2048.
30