Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

762 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Рязанский государственный радиотехнический университет им. В.Ф. Уткина

А.Н. Конюхов, С.Н. Машнина, Л.А. Ревкова, К.А. Ципоркова

РЯДЫ

Учебное пособие

Рязань 2023

УДК 517.521

Ряды: учебное пособие / А.Н. Конюхов, С.Н. Машнина, Л.С. Ревкова, К.А. Ципоркова; Рязан. гос. радиотехн. ун-т. – Рязань, 2023. –

48 с.

Приведены основные теоретические сведения по теме «Ряды». Содержат задачи для практических занятий и самостоятельной работы по теме «Ряды», изучаемой в дисциплине «Математика».

Предназначены для студентов всех форм, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика»,

38.03.02 «Менеджмент»,	38.03.03	«Управление	персоналом»,
38.03.04 «Государственное	и	муниципальное	управление»,
38.03.05 «Бизнес-информатика».
Библиогр.: 8 назв.

Числовые ряды, знакочередующиеся и знакопеременные ряды, степенные ряды, сумма ряда, область сходимости

Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.

Рецензент: кафедра ЭМОП Рязанского государственного радиотехнического университета им. В.Ф. Уткина (зав. кафедрой д-р экон. наук, доцент Е.Н. Евдокимова)

Ко н ю х о в Алексей Николаевич

Ма ш н и н а Светлана Николаевна

Ре в к о в а Лариса Сергеевна Ц и п о р к о в а Ксения Андреевна

Ряды

Тираж 1 экз. Усл. печ. л. 3,0.

Рязанский государственный радиотехнический университет 390005, Рязань, ул. Гагарина, 59/1.

Редакционно-издательский центр РГРТУ.

ВВЕДЕНИЕ

На протяжении веков взаимодействие математики и экономики представляет собой одно из важнейших междисциплинарных направлений. Экономика с древних времён использует различные математические методы. Одно из важных мест занимает понятие ряды.

§1. Числовые ряды

1.1Ряд. Сумма ряда

Пусть

задана

бесконечная

последовательность

чисел

u1 , u2 , ..., un , ...

Числовым

рядом

называется

выражение

u1 + u2 +... + un +... = un .

n=1

Числа u1 , u2 , u3 , ...

называются членами ряда,

– общим (n –м)

членом ряда.

Пример.

+... =

– ряд, члены которого образуют

n−1

n=1 3

убывающую геометрическую прогрессию.

Конечная сумма

Sn = u1 + u2 + ... + un называется n-й частичной

суммой ряда.

Если

существует

конечный

предел

lim Sn ,

ряд

называется

n→

сходящимся,

в противном случае – расходящимся. Число

S = lim Sn

n→

называется суммой ряда.

Пример 1. Найти сумму ряда

= 1+

+...

n−1

n=1 3

Решение. Сумма бесконечной убывающей геометрической

прогрессии находится по формуле

S =

− q

В нашем случае a = 1, q =

получаем S =

1−

Пример 2. Найти сумму ряда

(n +1)

n=1

Решение.

S = lim Sn = lim

(u1 +u2 +... + un ).

→

n→

+ ... +

1 2

2 3

3 4

(

n +1

)

Общий

член

ряда

можно

представить

следующем

виде:

−

n(n +1)

Тогда

S = lim

1−

−

... +

−

→

n +1

lim 1

−

+...

−

= lim 1−

=1.

n→

2 2 3 3 4

n n +1

n→

n +1

Пример 3. Найти сумму ряда

n=7

−

8n +15

Решение. Представим общий член

ряда

виде

суммы

простейших дробей.

n2 − 8n +15 = 0

D = b2 − 4ac = 64 − 4 15 = 64 − 60 = 4

8 2

= 3; 5

1,2

n2 − 8n +15 = (n − 3)(n − 5)

An − 5A + Bn − 3B

(A + B) n + (−5A − 3B)

n2 −8n +15

n − 3

n − 5 (n − 3)(n − 5)

(n − 3)(n − 5)

A + B = 0

A = −B

B = 30

−5A − 3B = 60

5B − 3B = 60 A = −30

−

n2 −8n +15

n −5

n −3

Тогда ряд можно записать в виде:

		30		30

			−
				n − 3
n=7	n − 5

Найдем его сумму:

(u1 + u2

+... + un )

S = lim Sn

= lim

−

7 −

n→

→

n→

7 − 3

8 −5 8 −

−

+... +

−

= lim 15

−

+10 −

−

9 − 3

10 −5 10 −3

n −

n −3

n→

−

+... +

−

= 15

+10 = 25.

4 6

5 7

6 8

n −5 n − 3

Задачи для самостоятельного решения

Найти общие члены следующих рядов:

1) 113 + 2 132 + 3 133 + 4 134 +... ;

2)		1	+	1	+		1	+... ;


	1 2			2 3		3 4

3)		1	+	1		+		1		+		1				+		1	+		1	+... .
3)			+			+				+						+			+			+... .
	2			6		12						20						30	42
Найти сумму ряда:
1)	1			+			1		+			1					+	1		+ ... +					1			+ ... ;
1)				+					+								+			+ ... +			(		)(	)		+ ... ;
	1 3						3 5				5 7							7 9					(	2n −	)(	)
	1 3						3 5				5 7							7 9						2n −	1 2n +1
						48
2)						48								.

					2		− 6n +					8
		n=6 n					− 6n +					8
Ответы: 1) S =													1		;		2) S = 20.
Ответы: 1) S =												2			;		2) S = 20.
												2
1.2		Необходимый признак сходимости ряда
																									= 0 .
Если ряд un												сходится, то lim un													= 0 .
							n=1																n→
							n=1
Следовательно, если lim un																						0 , то ряд расходится.
																		n→
Данный признак не является достаточным,																											т.е. если lim un = 0 , то
																												n→

о сходимости ряда ничего еще сказать нельзя: он может быть как сходящимся, так и расходящимся.

	2n
Пример 1. Исследовать сходимость ряда		.

n =1	n

Решение. Так как

lim un	= lim	2n
		n
n→	n→

т.е. lim un 0 , то ряд

n→

= = lim (2n )n→ (n )

расходится (не

= lim 2n ln 2 = ,

n→ 1

выполняется необходимый

признак сходимости).

						1
Пример 2. Исследовать сходимость ряда n=1								.
						3n −1
Решение. Так как lim un	= lim	1	=	1	= 0,		то о сходимости
		3n −1
n→	n→

ряда ничего сказать нельзя, надо воспользоваться другим признаком сходимости.

1.3 Признаки сравнения рядов

1.3.1. Первый признак сравнения


Пусть даны два ряда с положительными членами un	(1) и vn
n=1	n=1

(2), причем члены ряда (1) не превосходят соответствующих членов ряда (2), т.е. un vn (n = 1, 2, ...). Тогда, если сходится ряд (2), то

сходится и ряд (1). Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

1.3.2. Второй (предельный) признак сравнения


Если un	и vn – ряды		с положительными членами и
n=1	n=1
существует конечный предел lim		un	= k 0 , то оба ряда одновременно

	n→ v
		n

сходятся или одновременно расходятся.

Для сравнения используются ряды, которые называют

эталонными:


1)	геометрический ряд				a qn−1 сходится при	q	1 и
1)	геометрический ряд				a qn−1 сходится при	q	1 и
					n=1
расходится при		q	1 ;
расходится при		q	1 ;
				1
2)	гармонический ряд				расходится;
2)	гармонический ряд			n	расходится;
			n=1	n

обобщенный гармонический ряд

сходится при 1 и

n=1

расходится при 1 .

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

n =2

ln n

Решение. Сравним заданный ряд с гармоническим

n=2

Так как

и гармонический ряд расходится,

то по 1-му

ln n

признаку сравнения данный ряд расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

arctg

4 n

n=1

Решение.

arctg

при

n → ,

беря

для

сравнения

обобщённый гармонический ряд

(расходится,

т.к

n=1

n=1 n 6

arctg

1 ),

получим

lim

3 n

= lim

3 n

по

x→

3 n

второму признаку сравнения заданный ряд тоже расходится.

n2 + 2

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд ln

n=1

(сходится, т.к. = 2 1):

Решение. Сравним с рядом

n =1

+ 2

1 +

lim

= lim

ln 1

= lim

n2 +1

→

n→

при

n →

n→

= lim

= 1 0

по

2-му признаку

сравнения

заданный

ряд

n→ n2

сходится.

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд n en −1 .

n=1

				6
	1		1
Решение.		− 1		при n →

	2
1			1
(	− 1)			при n →
			2

Сравним заданный ряд с расходящимся гармоническим рядом

n en

−1

, получим

lim

= lim

= 1 0 по 2-му

n=1

n→

n→ 1

признаку сравнения ряд расходится.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать ряды на сходимость:

; 2)

; 3)

sin

n =1

n=1

n(2n

+ 5)

n=1

Ответы: 1) сходится; 2) расходится; 3) сходится.

1.4

Признак Даламбера

Если

для

ряда

положительными

членами

существует

n=1

предел

lim

un+1

= l, то этот ряд сходится при

l 1 и расходится при

n→0 u

l 1 . (В случае l = 1 вопрос о сходимости ряда остается открытым).

Замечание. Если l

= + ,

то ряд расходится.

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

72n

n=1 (2n −1)!

Решение.

72(n+1)

l = lim

(2(n +1) −1)!

= lim

72n+2 (2n −1)!

= lim

72n 72 (2n −1)!

(

)

(

)

n→

72n

n→

(

)

n→

72n

2n +1 ! 72n

2n −1 ! 2n

2n +1

(

)

2n −1 !

= lim

= 0 1

ряд сходится.

n→

2n (2n +1)

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд (n!n) .

n =1

Решение.

) )

(

1 ! 2

(n +1)

n+1

(

n! n +1

(n +

l = lim

= lim

(

))

= lim

(

)

(

) (

)

n +1

(

)

n→

(

)

n→

n +1

n +

= lim(n +1) lim

lim(n +1) = +

ряд расходится.

n→

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд

6n (n2 −1)

n=1

3n + 5

6n+1 ((n +1)2 −1)

(

)

(

)

6n 6

+ 2n

(

3n + 5

)

Решение.

l = lim

3 n +1 + 5

= lim

6n (n2 −1)

(3n + 8) 6n (n2 −1)

n→

→

3n + 5

= lim

6(n2 + 2n)

lim

3n + 5

= 6 1 1 = 6 1

ряд расходится.

n→

(

)

n→ 3n + 8

−1

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать ряды на сходимость:

1 2 3 ...

(

2n −1

; 2)

; 3)

)

;

n=1

(2n +

n =1

(3n)!

n=1

+1)!

n! 3 n

n =1

+ 2

Ответы: 1) расходится; 2) сходится; 3) сходится; 4) расходится.

1.5 Признак Коши

Если для ряда с положительными членами un существует

n=1

предел lim n un = l , то:

n→

1)в случае l 1 ряд сходится;

2)в случае l 1 ряд расходится;

3) l = 1 признак не работает.

Замечание. Если l = + , то ряд расходится.

3n + 2

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд n

n=1

4n −1

Решение.

3n + 2 n

3n + 2

= lim (

n )

l = lim n n

= lim

lim

n→

−1

n→

→

4n −1

n→

4 4

ряд сходится.

Замечание.

lim n n =1.

n→

2n +

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

n=1

n +1

2n + 3

2n +

Решение.

ряд

l = lim n

= lim

= 2

= +

n→

n +1

n→

n +1

расходится.

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд 1+

n=1

Решение. l = lim n 1

= lim 1

признак Коши не

n→

работает.

Найдем

1 n

следовательно,

ряд

lim un = lim

= e 0,

n→

расходится, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать ряды на сходимость:

−n2

;

3) n arcsin

n=1

10n + 5

n=1

n +1

n=1

Ответы: 1) сходится; 2) расходится; 3) сходится.

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.20261 Мб0Рыночная экономика. Market Economy. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026892 Кб0Рыночные циклы как выявлять и использовать закономерности для успешного инвестирования.pdf
#
15.08.2026951 Кб0Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026847 Кб0Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.2026740 Кб0Ряды. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026762 Кб0Ряды. Учебное пособие.pdf
#
11.08.2026623 Кб0С английским языком в дорогу. Справочник.pdf
#
09.08.2026356 Кб0С того берега. Эссе.pdf
#
09.08.2026431 Кб0Сalorimetric measurements of thermal effects of chemical reactions and physicochemical processes. Laboratory training guidance.pdf
#
15.08.2026941 Кб0Садово-парковое искусство. История. Учебное пособие для вузов.pdf
#
11.08.2026559 Кб0Сайфулла-кади Башларов.pdf