Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Ряды. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

762 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

1.6 Интегральный признак сходимости

Пусть члены ряда

un (1)

положительны и не возрастают, т.е.

n=1

u1 u2

... , и

пусть f (x) –

такая

непрерывная,

положительная,

невозрастающая функция, что

f (1) = u1 , f (2) = u2 , ..., f (n) = un . Тогда

если несобственный интеграл

f (x)dx сходится,

то сходится и ряд

(1); если указанный интеграл расходится, то расходится и ряд (1).

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

n =2 n

ln n

Решение.

Функция

f (x) =

удовлетворяет всем условиям

x ln x

интегрального признака сходимости.

Рассмотрим несобственный интеграл

= lim

d (ln x)

= lim ln

(

ln x

)

x ln x

b→+

x ln x

b→+

ln x

→+

= lim

(

ln b

)

− ln

(

ln 2

))

= + ,

он расходится, значит,

заданный ряд

b→+

тоже расходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд

n =1 3

+ n

Решение.

Функция

f (x) =

удовлетворяет всем условиям

3 + x2

интегрального признака сходимости.

Рассмотрим

несобственный

интеграл

+ 2dx

2dx

= lim

arctg

= lim

arctg

− arctg

1 3 + x

→+ 1

3 + x

b→+ 3

, он сходится, значит, заданный ряд тоже

−

3 3

сходится.

			10
	Задачи для самостоятельного решения
Исследовать сходимость рядов:
	1		1
1)		2)		.
	2n (3n −1)		(n + 2) ln (n + 2) ln ln (n + 2)
n=1		n=1

Ответы: 1) сходится; 2) расходится.

1.7 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е. ряды вида

u1 − u2 + u3 − u4 +... = (−1)n−1 un ,

n=1

где u1 , u2 , ..., un , ... положительны, называются знакочередующимися.

Для таких рядов используется признак Лейбница.

	Теорема Лейбница.	Если	в знакочередующемся	ряде
u1 − u2 + u3 − u4 + ... (un 0)		члены	таковы, что u1 u2 u3	... и

lim u	n	= 0	, то ряд сходится, при этом сумма ряда	S удовлетворяет
n→

условию 0 S u1 .

Если хотя бы одно из двух условий нарушается, то ряд расходится.

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются

как	положительные,		так	и	отрицательные:

un	= u1 + u2 + u3 +... + un +...
n=1
Полагаем,		что числа	u1 , u2 , ..., un , ...		могут быть	как
положительными, так и отрицательными.
Сформулируем для таких рядов общий достаточный признак
сходимости.
Теорема.		Если знакопеременный ряд		u1 + u2 + u3 + u4 + ...		таков,

что ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходится, то и данный знакопеременный ряд также сходится.

Замечание. Рассмотренный выше признак сходимости – достаточный, но не необходимый. Поскольку существуют такие

знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

cos n

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

n=1

cos n

cos1

cos 2

cos 3

Решение.

+...

n=1

Данный ряд – знакопеременный. Составим ряд из абсолютных

cos n

величин его членов

и сравним его с обобщенным

n=1

гармоническим рядом

, который сходится.

n =1

Для n N выполняется неравенство

cos n

, поэтому,

используя первый признак сравнения для знакоположительных рядов,

cos n

можно утверждать, что

сходится.

n =1

Следовательно, по теореме о достаточном условии сходимости

знакопеременных рядов заданный ряд сходится.

n+1

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд (−1)

n=1

2n +1

n+1

Решение. (−1)

−

+...

n=1

2n +1

Данный ряд знакочередующийся, поэтому на основании теоремы Лейбница сходится, т.к. абсолютная величина его членов убывает, т.е.

1 1	2 2	3 3	4 4	... и общий член			n n
					un	=

3	5	7	9				2n +1

стремится к нулю:

		n n		1	+
lim un	= lim		=			= 0 .

n→	n→	2n +1		2

n (n + 3)!

Пример 3. Исследовать на сходимость ряд (−1)

n .

n=1

n (n + 3)!

Решение. (−1)

= −

−

+...

n=1

Данный ряд знакочередующийся, воспользуемся признаком Лейбница. Проверим первое условие, которое можно записать в виде un+1 − un 0 .

un = (

n + 3

= (

n + 4

n )

,un+1

n+1 )

, тогда

un+1 −un =

(n + 4)! − (n + 3)! =

(n + 4)!− 2 (n + 3)!

(n + 3)!((n + 4)− 2)

2n+1

(n + 3)!(n + 2)

2n+1

получили обратное, следовательно, ряд расходится.

		Пример		4. Исследовать ряд на абсолютную сходимость
		(	)	.
			−1 n
n=	3 n ln n(ln ln n)

Решение. Данный ряд знакочередующийся, который по признаку Лейбница сходится, так как

1) члены ряда по абсолютной величине образуют монотонно убывающую последовальность, т.е.

n=3

		1		1				1	... ;

	3ln 3(ln ln 3)			4 ln 4(ln ln 4)				5ln 5(ln ln 5)
2) lim un		= lim	1		=	1	= 0 .

n→		n→ n ln n(ln ln n)

Составим ряд из абсолютных величин членов заданного ряда:

1 . n ln n(ln ln n)

Члены полученного ряда можно рассматривать как значения

функции	1		для целочисленных значений аргумента
	f (x) =
		x ln x(ln ln x)
x = 3, 4,5,....

Эта функция удовлетворяет всем требованиям, которые на нее накладываются в интегральном признаке.

dx = lim

dx = lim(ln ln ln x)

x ln x ln ln x

3 x ln x ln ln x

b→

→

= lim(ln ln ln b − ln ln ln 3) = + ,

следовательно,

ряд

расходится,

b→

поэтому исследуемый ряд сходится условно.

Пример

Исследовать

ряд

на

абсолютную

сходимость

(−1)

2 .

(

)

n=2

2n +1

Решение. Данный ряд знакочередующийся, который по признаку

Лейбница сходится, так как

члены

ряда

образуют

монотонно

убывающую

последовательность:

...

;

121

lim u

= lim

= 0 .

(

)

n→

2n +1

Для исследования ряда на абсолютную сходимость составим ряд

из модулей его членов, т.е. рассмотрим

(

)

n=2

2n +1

Сравним

его

обобщенным

гармоническим рядом,

который

сходится

n=2

lim

(2n +1)2

= lim

по

второму

признаку

(

)

n→

сравнения ряд сходится.

Тогда заданный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

Задачи для самостоятельного решения

Исследовать на абсолютную сходимость:

		(−1)n				(	−1 n n			(	−1 n
1)				; 2)			)	;	3)		)		.
	(	)	2				3n −1
												n
n=1		4n +1			n=2				n =2

Ответы: 1) сходится абсолютно; 2) расходится; 3) сходится условно.

§ 2. Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

an xn

= a0 + a1 x + a2 x2 +... + an xn +...,

(1)

n=0

где

a0 , a1 , a2 , ..., an , ...

– постоянные

числа, называемые

коэффициентами ряда. Ряд расположен по степеням х.

Рассматриваются также степенные ряды, расположенные по

степеням ( x − x0 ) , т.е. ряды вида

an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 )+ a2 (x − x0 )2 +... + an (x − x0 )n + ...

(2)

n=0

– некоторое постоянное число.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда, если

ряд (1) сходится при

и расходится при

R .

Интервал (−R; R ) называется интервалом сходимости

степенного ряда.

= R , т.е. при

x = R ряд может

При

как сходиться,

так и

расходиться.

Радиус сходимости R может быть найден по формулам:

R = lim

(3)

n→

R =

(4)

lim n

n→

Существует два способа нахождения интервала сходимости степенного ряда.

1.По формулам (3) или (4) находят радиус сходимости R, а затем записывают интервал сходимости (−R; R ) .

2.Применяют признак Даламбера или признак Коши к ряду из

абсолютных величин, вычисляют предел при n → , решают неравенство с x , используя условие сходимости ряда, и получают

интервал сходимости.

В обоих случаях сходимость ряда на концах интервала надо исследовать отдельно.

Замечание.

1)Если R = 0 , то степенной ряд (1) сходится только при x = 0 ;

2)Если R = , то степенной ряд сходится на всей числовой

прямой.

(2n)!

Пример 1. Найти область сходимости ряда

n=1

Решение. Найдем радиус сходимости, используя формулу (3).

Для этого запишем a

= (2n)!

(2(n +1))!

n+1

(

n +

)

n+1

(2n)!

(2n)!(n +1)n +1

R = lim

= lim

an +1

(2(n +1))!

nn (2n + 2)!

n→

→

n→

(

)

+1 n +1

(

)

(

)(

)

n +1

= lim

+1 n

+1 2n

= lim

lim

n→ (2n)!(2n +1)(2n + 2)n

n→

n→ (2n +1)(2n +

= lim

0 = e 0 = 0 .

n→

Делаем вывод, что ряд сходится при x = 0

(x + 4)n

Пример 2. Найти область сходимости ряда

n .

n=1

n 3

Решение. Найдем радиус сходимости, используя формулу (4).

Для этого запишем an

, тогда

n 3

(

n 3n

)

R =

= lim

n n

= lim n n lim 3 = 1 3 = 3 .

n→

lim n

n 3

n→

Следовательно, ряд сходится при

−3 x +4 3

или −7 x −1.

Исследуем поведение ряда на концах интервала:

а) при x = −7 данный степенной ряд принимает вид

(

n )

(

= (

)

(

) .

−7 +

−3

−1 n

n=1

n 3

n=1 n 3

n=1

n 3

n=1

Полученный ряд знакочередующийся, который сходится по признаку Лейбница.

б) при x = −1 имеем расходящийся гармонический ряд

(

n )

= 3 n

= 1 .

−1+ 4

n=1

n 3

n=1 n 3

n=1 n

Следовательно, областью сходимости ряда является промежуток

−7; −1) .

n3 +1

Пример 3. Найти область сходимости ряда

(x − 2)

n=1 3

Решение. Для ряда такого вида удобнее использовать

непосредственно признак Даламбера.

un =

n3 +1

;

3n (x − 2)n

(

)

un+1 =

n +1 3 +1

3n+1 (x − 2)n+1

(

)

n +1 3 +1

l = lim

un+1

= lim

3n+1

(x − 2)n+1

= lim

((n +1)3 +1)3n (x − 2)n

n3 +1

3n+1 (x − 2)n+1 (n3 +1)

n→

3n (x − 2)n

lim

(n +1)3 +1

1 =

x − 2

n3 +1

x − 2

n→

По

признаку Даламбера

ряд

сходится,

если

l 1 , в нашем

случае,

1 ;

x − 2

3| − 2| > 1 ;

| − 2| >

;

x − 2

;

x − 2 −

																17
		7
x
x		3								5			7
		3								5			7
		5	или x			−;								; + .
			или x			−;							3	; + .
	x									3			3
	x	3


		Исследуем поведение ряда на концах интервала:
		а) если x =					7		, получаем числовой ряд
		а) если x =				3			, получаем числовой ряд
						3			+1			= n				+1n	= (n3	+1),
			n					3	+1		n	= n			3	+1n	= (n3	+1),
								3							3
			n =1		n	7							n =1 n			1	n =1
				3					− 2					3
				3		3			− 2					3
						3										3

который	расходится,				т.к.	lim un = lim (n3 +1) 0			(не выполняется
						n→	n→
необходимый признак сходимости).
б)	если	x =	5	,	то	получаем		знакочередующийся		ряд
б)	если	x =		,	то	получаем		знакочередующийся		ряд
		3

(−1)n (n3 +1),		который				по	признаку	Лейбница	расходится,	т.к.
n=1

члены ряда не образуют монотонно убывающую последовательность.

			5	7
Итак, область сходимости:	x	−;				; + .

			3		3

n=1

(n + 2)!

(x +1)

Пример 4. Найти область сходимости ряда

2n−1 .

Решение. Воспользуемся непосредственно признаком Даламбера,

причем un

(x +1)

2n−1

(n + 2)!

(

n +1 2

2(n+1)−1

(

n +1 2

2n+1

un+1 =

)

+1)

)

(x +1)

(n + 3)!

n +1

( )

(x +1)2n+1

un+1

n + 3 !

(

x +1 2

(

n + 2

! n +1 2

l = lim

= lim

(

)

= lim

)

) (

)

(n + 3)!n2

n→

(x +1)

2n−1

n→

(n + 2)!

x +1 2 lim

(n +1)2

lim

(n + 2)!

x +1 2 1 0 = 0,

(

) (

)

(

)

n→

n + 2

(

)

! n + 3

получили

l = 0 1 ,

т.е.

ряд сходится

при

любом х

или

на всей

числовой прямой.

Итак, область сходимости данного ряда:

x (−; + ) .

(n +1)

Пример 5. Найти область сходимости ряда

x2n

n=1

2n +1

Решение. Применяем признак Даламбера:

(

n + 2

)

x2(n+1)

l = lim

un+1

= lim

2(n +1)+

(

)

x2n

n→

n +1

2n +1

(n + 2)5

2n +1

= x2 .

= lim

lim

=1 1

(

)

n→

n +1

n→

2n + 3

n→

Ряд сходится, если l 1 , т.е. x2

−1 x 1 x (−1; 1) .

Исследуем поведение ряда на концах полученного интервала:

								n +1 5
а) при x =1	данный степенной ряд принимает вид						(	) .
а) при x =1	данный степенной ряд принимает вид						(	) .
					n =1			2n +1
Поскольку,	lim u	n	= lim (n +1)5	= , то можно сделать вывод, что
	n→	n	n→ 2n +1
	n→		n→ 2n +1
ряд расходится.
б) при x = −1 получается аналогичный результат.
Итак, область сходимости данного степенного ряда:						x (−1; 1) .

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.08.20261 Мб0Рыночная экономика. Market Economy. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026892 Кб0Рыночные циклы как выявлять и использовать закономерности для успешного инвестирования.pdf
#
15.08.2026951 Кб0Ряды и дифференциальные уравнения числовые и функциональные ряды. Учебное пособие.pdf
#
15.08.2026847 Кб0Ряды Фурье. Интегральные преобразования Фурье и Радона. Учебно-методическое пособие.pdf
#
15.08.2026740 Кб0Ряды. Учебное пособие-1.pdf
#
15.08.2026762 Кб0Ряды. Учебное пособие.pdf
#
11.08.2026623 Кб0С английским языком в дорогу. Справочник.pdf
#
09.08.2026356 Кб0С того берега. Эссе.pdf
#
09.08.2026431 Кб0Сalorimetric measurements of thermal effects of chemical reactions and physicochemical processes. Laboratory training guidance.pdf
#
15.08.2026941 Кб0Садово-парковое искусство. История. Учебное пособие для вузов.pdf
#
11.08.2026559 Кб0Сайфулла-кади Башларов.pdf