1. Анализ цепи во временной области методом переменных состояния при постоянных воздействиях

1. Составление уравнений состояния цепи для

Для составления уравнений состояний воспользуемся методом переменных состояний. Для этого заменим L и С элементы исходной схемы на соответствующие им ИТ и ИН. В дальнейшем будем опускать индексы у L и С.

Рисунок 1.1 – Схема для t > 0

Преобразуем ИН в ИТ - U0/R₁ = 4

Выразим по методу узловых напряжений UL(t) через Uc (t) и iL(t):

Выразим по закону токов Кирхгофа ic(t) через i₀(t) и i_RH:

Уравнения состояния имеют вид:

(1)

Из этих уравнений составим матрицу А:

Найдем определитель матрицы , который будет являться характеристическим уравнением цепи:

Корни ХП представляют собой частоты собственных колебаний:

Введём обозначения:

Тогда

2. Нахождение аналитических решений уравнений состояния

Решение складывается из свободной составляющей и вынужденной.

Найдем аналитические решения для и , рассмотрев схему цепи в предначальном и вынужденном режимах:

а)

Рисунок 1.4 – Схема для t = 0^-

(с «-», т.к. другая полярность (см пункт 1.1.)

б)

Рисунок 1.5 – Схема для t → ∞

Решение в общем виде:

Найдём значение производных и , при для этого воспользуемся предначальными условиями и вспомним, что .

Имея, все необходимые данные получим для коэффициентов систему из двух уравнений (t=0):

Отсюда

Отсюда

3. Численные решения уравнений состояния

В уравнениях состояния (1) аппроксимируем производную как

Шаг примем равным .

Перепишем (1) с учётом (2).

Пользуясь начальными условиями (4) и рекуррентными соотношениями (3) можно построить численное решение.

4. Графики аналитических и численных решений.

Рисунок 1.6 – Временная зависимость напряжения на C-элементе.

Рисунок 1.7 – Временная зависимость тока на L-элементе.

2. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии.

   1. Определение функции передачи цепи.

Рисунок 2.1 – Операторная схема замещения

На рисунке 2.1:

Воспользуемся методом пропорциональных величин.

2. Определение нулей и полюсов функции передачи цепи.

1) Нули функции передачи

2) Полюсы функции передачи: , что являются корнями характеристического уравнения.

Рисунок 2.2 – Нули и полюсы на комплексной плоскости

3. Переходная и импульсная характеристики.

Контроль ИХ

Контроль ПХ

4. Изображение по Лапласу одиночного входного импульса.

Найдём изображение по Лапласу входного одиночного импульса. Сигнал может быть описан суммой двух функций:

Тогда изображение входного сигнала выглядит следующим образом:

где

5. Напряжение на выходе цепи.

Запишем выражение для изображения реакции цепи на входной одиночный импульс:

где

Тогда

причём

Используем теорему разложения

Таким образом,

Графики реакции (сплошная линия) и воздействия (штриховая линия) приведены на рисунке 2.4.

6. Графики переходной и импульсных характеристик, входного и выходного сигналов.

Рисунок 2.3 – Переходная и импульсная характеристики.

Рисунок 2.4 – Входной и выходной сигналы.

3. Качественный анализ цепи частотным методом при апериодическом воздействии.

   1. Нахождение и построение АФХ, АЧХ, ФЧХ цепи по функции передачи H(s).

ФЧХ:

АЧХ:

АФХ:

Рисунок 3.1 – АЧХ цепи

Рисунок 3.2 – ФЧХ цепи

Рисунок 3.3 – АФХ цепи

2. Определение полосы пропускания.

Полоса пропускания берётся по уровню .

Рисунок 3.4 – Полоса пропускания цепи

На рисунке 3.4:

Amax – максимальное значение АЧХ, wAn=0.044 и wAv=0.193 – нижняя верхняя границы полосы пропускания соответственно (нормированные).

Графически была найдена полоса пропускания имеющейся цепи:

3. Амплитудный и фазовый спектры входного сигнала.

Определим спектральные характеристики исходного одиночного импульса. Учитывая, что

то комплексный спектр сигнала будет выглядеть так

Амплитудный спектр входного сигнала

Фазовый спектр входного сигнала

Рисунок 3.5 – Амплитудный спектр входного сигнала

Рисунок 3.6 – Фазовый спектр входного сигнала

4. Анализ полученных характеристик

Найдём узлы амплитудного спектра – значения частот , при которых указанный спектр равен 0.

Таким образом,

Вычислим значение спектра на нулевой частоте.

Ширина спектра импульсного входного сигнала, определённая по 10%-му критерию, . При прохождении через цепь входной сигнал будет искажён, поскольку наш фильтр является полосовым. В полосу пропускания попадает почти весь спектр сигнала. Поскольку при АЧХ равна нулю, то можно ожидать увеличения длительности переднего и заднего фронтов выходного импульса. Так как значение АЧХ при равно 0, то это значит, что сигнал равновелико будет располагаться как выше, так и ниже оси времени..