Основы теории принятия решений. Учебное пособие

Для решения этой задачи каждой дуге ориентированного графа, соответствующего транспортной системе, должно быть сопоставлено число — пропускная способность этой дуги. Рассмотрим пример (рис. 8).

0

Рис. 8. Исходные данные к задаче о максимальном потоке

Исходные данные о транспортной системе, например, внутризаводской, приведенные на рис. 8, можно также задать таблицей (табл. 9).

Таблица 9

Исходные данные к задаче о максимальном потоке

Решение задачи о максимальном потоке может быть получено из следующих соображений.

Очевидно, максимальная пропускная способность транспортной системы не превышает 6, поскольку не более 6 единиц грузов можно направить из начального пункта 0, а именно, 2 единицы в пункт 1, 3 единицы в пункт 2 и 1 единицу в пункт 3.

51

Далее надо добиться, чтобы все 6 вышедших из пункта 0 единиц груза достигли конечного пункта 4. Очевидно, 2 единицы груза, пришедшие в пункт 1, можно непосредственно направить в пункт 4. Пришедшие в пункт 2 грузы придется разделить: 2 единицы сразу направить в пункт 4, а 1 единицу — в промежуточный пункт 3 (из-за ограниченной пропускной способности участка между пунктами 2 и 4). В пункт 3 доставлены такие грузы: 1 единица из пункта 0 и 1 единица из пункта 3. Их направляем в пункт 4.

Итак, максимальная пропускная способность рассматриваемой транспортной системы — 6 единиц груза. При этом не используются внутренние участки (ветки) между пунктами 1 и 2, а также между пунктами 1 и 3. Не догружена ветка между пунктами 1 и 4 — по ней направлены 2 единицы груза при пропускной способности в 3 единицы.

Решение можно представить в виде таблицы (табл. 10).

Таблица 10

Решение задачи о максимальном потоке

Задача линейного программирования при максимизации потока

Дадим формулировку задачи о максимальном потоке в терминах линейного программирования. Пусть ХKM — объем перевозок из пункта К в пункт М. Согласно рис. 8, К = 0, 1, 2, 3, М = 1, 2, 3, 4, причем перевозки возможны лишь в пункт с большим номером. Значит, всего имеется 9 переменных ХKM, а именно: Х01, Х02, Х03, Х12, Х13, Х14, Х23, Х24, Х34. Задача линейного программирования, нацеленная на максимизацию потока, имеет вид:

F → max,

52

Х01 ≤ 2 Х02 ≤ 3 Х03 ≤ 1 Х12 ≤ 4 Х13 ≤ 1 Х14 ≤ 3 Х23 ≤ 1 Х24 ≤ 2 Х34 ≤ 2

ХКМ ≥ 0, К, М = 0, 1, 2, 3, 4 F ≥ 0.

Здесь F — целевая функция, условие (0) описывает вхождение грузов в транспортную систему. Условия (1)–(3) задают балансовые соотношения для узлов 1–3 системы. Другими словами, для каждого из внутренних узлов входящий поток грузов равен выходящему потоку, грузы не скапливаются внутри и системы и не «рождаются» в ней. Условие (4) — это условие «выхода» грузов из системы. Вместе с условием (0) оно составляет балансовое соотношение для системы в целом («вход» равен «выходу»). Следующие девять неравенств задают ограничения на пропускную способность отдельных «веток» транспортной системы. Затем указана неотрицательность объемов перевозок и целевой функции. Ясно, что последнее неравенство вытекает из вида целевой функции (соотношения (0) или (4)) и неотрицательности объемов перевозок. Однако последнее неравенство несет некоторую общую информацию — через систему может быть пропущен либо положительный объем грузов, либо нулевой (например, если внутри системы происходит движение по кругу), но не отрицательный (он не имеет экономического смысла, но формальная математическая модель об этом «не знает»).

Омногообразии оптимизационных задач

Вразличных проблемах принятия решений возникают самые разнообразные задачи оптимизации. Для их решения применяются те или иные методы, точные или приближенные. Задачи оптимизации часто используются в теорети-

53

ко-экономических исследованиях. Достаточно вспомнить оптимизацию экономического роста страны с помощью матрицы межотраслевого баланса Василия Леонтьева или микроэкономические задачи определения оптимального объема выпуска по функции издержек при фиксированной цене (или в условиях монополии) или минимизации издержек при заданном объеме выпуска путем выбора оптимального соотношения факторов производства (с учетом платы за них).

Кроме затронутых выше методов решения задач оптимизации, напомним о том, что гладкие функции оптимизируют, приравнивая 0 производную (для функций нескольких переменных — частные производные). При наличии ограничений используют множители Лагранжа. Эти методы обычно излагаются в курсах высшей математики и потому опущены здесь.

54

10. ЗАДАЧИ ПО КУРСУ «ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ»

1. Какой образец мотоцикла запустить в серию? Исходные данные для принятия решения приведены в табл. 11. Разберите четыре критерия принятия решения: пессимистичный, оптимистичный, средней прибыли, минимальной упущенной выгоды.

Таблица 11

Прибыль фирмы при различном выборе образца мотоцикла для запуска в серию (млн. руб.)

2. Изобразите на плоскости ограничения задачи линейного программирования и решите (графически) эту задачу:

400 W1 + 450 W2 → min,

5 W1 + 10 W2 ≥ 45,

20 W1 + 15 W2 ≥ 80, W1 ≥ 0,

W2 ≥ 0.

3. Решите задачу линейного программирования:

W1 + 5 W2 → max, 0,1 W1 + W2 ≤ 3,8,

0,25 W1 + 0,25 W2 ≤ 4,2,

W1 ≥ 0,

W2 ≥ 0.

4. Решите задачу целочисленного программирования:

10 Х + 5 У → max.

8 Х + 3 У ≤ 40,

3 Х + 10 У ≤ 30,

Х ≥ 0, У ≥ 0, Х и У — целые числа.

55

5. Решите задачу о ранце:

Х1 + Х2 + 2 Х3 + 2 Х4 + Х5 + Х6 → max,

0,5 Х1 + Х2 + 1,5 Х3 + 2 Х4 + 2,5 Х5 + 3 Х6 ≤ 3.

Управляющие параметры Хk, k = 1, 2, ..., 6, принимают значения из множества, содержащего два элемента — 0 и 1.

6. В табл. 12 приведены упорядочения 7 инвестиционных проектов, представленные 7 экспертами.

Таблица 12

Упорядочения проектов экспертами

Найдите:

а) итоговое упорядочение по средним арифметическим рангам; б) итоговое упорядочение по медианам рангов; в) кластеризованную ранжировку, их согласующую.

7. Выпишите матрицу из 0 и 1, соответствующую бинарному отношению (кластеризованной ранжировке):

5 < {1, 3} < 4 < 2 < {6, 7}.

8.Найдите расстояние Кемени между бинарными отношениями — упо-

рядочениями А = [3 < 2 < 1 < {4, 5}] и B = [1 < {2, 3} < 4 < 5].

9.Дана квадратная матрица (порядка 9) попарных расстояний для множества бинарных отношений из 9 элементов А1, А2, А3, ..., А9 (табл. 13). Найдите

вэтом множестве медиану для множества из 5 элементов {А2, А4, А5, А8, А9}.

56

Таблица 13

Попарные расстояния между бинарными отношениями

10. Решите задачу коммивояжера для четырех городов (маршрут должен быть замкнутым и не содержать повторных посещений). Затраты на проезд из города отправления в город назначения приведены в табл. 14 (в условных денежных единицах).

Таблица 14

Исходные данные к задаче коммивояжера

11. Транспортная сеть (с указанием расстояний) приведена на рис. 9. Найдите кратчайший путь из пункта 1 в пункт 4.

Рис. 9. Исходные данные к задаче о кратчайшем пути

57

12.Как послать максимальное количество грузов из начального пункта 1

вконечный пункт 8, если пропускная способность путей между пунктами транспортной сети (рис. 10) ограничена (табл. 15)?

Таблица 15

Исходные данные к задаче о максимальном потоке

1 3 6 8

4 7

Рис. 10. Транспортная сеть к задаче о максимальном потоке

58

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Внастоящее время теория принятия решений — весьма развитая научная, прикладная и учебная дисциплина. В наших учебниках [18, 19] представлена широкая панорама методов теории принятия решений — инструментов современного управленца (менеджера в исходном смысле этого слова), экономиста, инженера. На основе обширного арсенала методов теории принятия решений могут быть составлены различные учебные курсы. В настоящей книге подробно изложено содержание одного из таких курсов. Автор в течение нескольких лет вел занятия по курсу «Основы теории принятия решений». Его изучали студенты ряда вузов, в том числе обучающие по программам дополнительного (второго) образования, слушатели бизнес-школ.

Представленный в настоящей книге курс отличается нацеленностью на задачи оптимизации, в то время как не рассматриваются разделы теории принятия решений, опирающиеся на использование вероятностно-статистических моделей, теории нечеткости, интервальную математику и др. С различными разделами теории принятия решений можно познакомиться в других наших учебниках (см., например, [18, 19]).

Внастоящее время обсуждается возможность преподавания основ теории принятия решений в средней школе. Для этого можно использовать ряд разделов настоящей книги.

Теория принятий решений становится все более актуальной в эпоху взрывного развития цифровой экономики [20]. Технологии принятия управлен-

ческих решений необходимы для реализации инноваций в менеджменте [21, 22]. Так, на основе научных результатов теории принятия решений разработаны методы определения приоритетности реализации научно-исследова- тельских и опытно-конструкторских работ на предприятиях ракетно-косми- ческой отрасли [23]. Теория принятия решений — важная составляющая научного обеспечения искусственного интеллекта [24, 25]. Развитие теории принятия решений и экспертных оценок проанализировано в статье [26].

59

ЛИТЕРАТУРА

1.Менеджмент : учебное пособие / Под редакцией Ж.В. Прокофьевой. — Москва : Знание, 2000. — 288 с.

2.Гасс, С. Путешествие в страну линейного программирования / С. Гасс ; перевод с английского. — Москва : Мир, 1973. — 176 с.

3.Кофман, А. Займемся исследованием операций / А. Кофман, Р. Фор ; перевод с французского. — Москва : Мир, 1966. — 280 с.

4.Кемени, Дж. Кибернетическое моделирование: Некоторые приложения / Дж. Кемени, Дж. Снелл. — Москва : Советское радио, 1972. — 192 с.

5.Анализ нечисловой информации / Ю.Н. Тюрин, Б.Г. Литвак, А.И. Орлов [и др.]. — Москва : Научный Совет АН СССР по комплексной проблеме «Кибернетика», 1981. — 80 с.

6.Орлов, А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях / А.И. Орлов. — Москва : Наука, 1979. — 296 с. — (Серия «Проблемы советской экономики»).

7.Жихарев, В.Н. Законы больших чисел и состоятельность статистических оценок в пространствах произвольной природы / В.Н. Жихарев, А.И. Орлов // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Межвузовский сборник научных трудов. — Пермь : Изд-во Пермского государственного университета, 1998. — С. 65–84.

8.Белов, В.В. Теория графов / В.В. Белов, Е.М. Воробьев, В.Е. Шаталов. — Москва : Высшая школа, 1976. — 392 с.

9.Горский, В.Г. Метод согласования кластеризованных ранжировок / В.Г. Горький, А.А. Гриценко, А.И. Орлов // Автоматика и телемеханика. —

2000. — № 3. — С. 159–167.

10.Орлов, А.И. Экспертные оценки / А.И. Орлов // Заводская лаборатория. — 1996. — Т. 62. — № 1. — С. 54–60.

11.Орлов, А.И. Современная прикладная статистика / А.И. Орлов // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. — 1998. — Т. 64. — № 3. — С. 52–60.

12.Науман, Э. Принять решение, но как? / Э. Науман. — Москва : Мир, 1987. — 198 с.

13.Контроллинг в бизнесе. Методологические и практические основы построения контроллинга в организациях / А.М. Карминский, Н.И. Оленев, А.Г. Примак, С.Г. Фалько. — Москва : Финансы и статистика, 1998. — 256 с.

14.Бурков, В.Н. Как управлять проектами / В.Н. Бурков, Д.А. Новиков. — Москва : СИНТЕГ-ГЕО, 1997. — 188 с.

60