Многомерный статистический анализ. Ч.2. Методическое пособие

Сумма квадратов нагрузок по столбцу с номером i равна дисперсии главной компоненты yi и, соответственно, собственному значению li матрицы корреляций:

k

si2 =∑ai2 j =li (i=1, l).

,

j=1

После деления дисперсии на общий объем информации в исходном наборе переменных k получаем долю дисперсии, сохраненной в соответствующей главной компоненте s2i / k. В последней строке табл.  2.11 указана накопленная доля сохраненной дисперсии для главных компонент с соответствующими номерами.

l

Сумма квадратов нагрузок по строке с номером j hj2 =∑ai2, j

i=1

называется общностью исходной переменной xj (j = 1, k) и показывает долю ее дисперсии, сохраненной в l главных компонентах.

Пример  1.1 (продолжение)1

Оценка качества модели главных компонент для набора статистических показателей, характеризующих европейские страны, представлена в табл.  2.12.

Таблица  2.12

Сохраненная дисперсия и общности

1 Гончаренко А.Н. Многомерный статистический анализ... М., 2022.

31

Дисперсия первой главной компоненты s2(y1) = 3,82, что составляет 54,60% от общей дисперсии исходного набора переменных. Дисперсия второй главной компоненты s2(y2) = 2,32, или 33,12% от общей дисперсии. Таким образом, общая сохраненная дисперсия составляет 87,72%.

Общности показывают, что в максимальной степени сохранена информация из исходной переменной «ожидаемая продолжительность жизни женщин» (96%), в минимальной степени – из переменных «рождаемость» и «ВВП» (по 81%), что также является весьма приемлемым результатом.

Пятый этап – интерпретация главных компонент. Матрица нагрузок (см. табл.  2.9) используется также для интерпретации главных компонент. Поскольку нагрузки являются коэффициентами корреляции между главными компонентами и исходными переменными, для интерпретации используются переменные, имеющие максимальные по абсолютной величине нагрузки.

При интерпретации нагрузок различают две основные ситуации:

1)  если все значительные по абсолютной величине нагрузки имеют одинаковые знаки, главная компонента называется главной компонентой размера; она показывает степень выраженности у объектов одной латентной характеристики, которую и следует интерпретировать;

2)  если значительные по абсолютной величине нагрузки имеют разные знаки, то говорят о главной компоненте формы, которая дифференцирует объекты из выборки в соответствии с наличием у них двух свойств, в некоторой степени противоположных друг другу.

С содержательной точки зрения интерпретация главных компонент происходит по ассоциации с теми исходными переменными, которые имеют на них максимальные (по абсолютной величине) нагрузки. Анализируется семантика соответствующей группы переменных, их «физический смысл». Выявляется ее общее содержание, то общее свойство, которое, по мнению исследователя, объединяет переменные в одну группу. Это свойство или группа свойств затем получает название и фигурирует в качестве названия (имени) главной компоненты.

32

Пример  1.1 (продолжение)1

Для удобства интерпретации главных компонент применим распространенный прием: отсортируем исходные переменные по убыванию нагрузок (по абсолютной величине) и удалим из матрицы нагрузки, не превышающие по абсолютной величине 0,5 (табл.  2.13).

Таблица  2.13

Нагрузки, превышающие по абсолютной величине значение 0,5 и отсортированные по убыванию

В нашем примере обе главные компоненты (ГК) являются компонентами формы, так как значительные по величине нагрузки (выделенные в табл.  2.13 жирным шрифтом) имеют разные знаки.

Первую ГК будем интерпретировать по ассоциации с такими переменными, как «продолжительность жизни мужчин» и «продолжительность жизни женщин» (средние ожидаемые), «ВВП» (со знаком «+»), «детская смертность» (со знаком «–»). На ее положительном «конце» будут располагаться страны

свысоким ВВП на душу населения, высокой продолжительностью жизни и низкой детской смертностью. Поскольку демографические переменные в контексте данной ГК связаны

суровнем ВВП, ее можно проинтерпретировать как «уровень благосостояния».

Вторая ГК интерпретируется в соответствии с переменными «рождаемость» (со знаком «+»), «смертность» и «медианный возраст» (со знаком «–»): на положительном ее конце бу-

1 Гончаренко А.Н. Многомерный статистический анализ... М., 2022.

33

дут располагаться страны с благоприятной демографической ситуацией (относительно молодое население с относительно низким медианным возрастом, низким уровнем смертности

ивысоким уровнем рождаемости), на отрицательном – страны

снеблагоприятной демографической ситуацией (стареющее население с высоким медианным возрастом и высоким уровнем смертности, низким уровнем рождаемости). Она может быть так и названа – «демографическая ситуация».

Переменная «медианный возраст» имеет большие по величине нагрузки на обе главные компоненты, что затрудняет их интерпретацию, так как приходится предположить, что страны

свысоким медианным возрастом имеют также высокий ВВП,

инаоборот, что в целом не соответствует действительности. Для облегчения восприятия факторной структуры может

применяться графическое представление нагрузок. Для этого в пространстве двух, максимум трех, главных компонент стандартизированные исходные переменные x1, x2 ... xk изображаются в виде точек, в качестве координат используются соответствующие значения нагрузок.

Пример  1.1 (продолжение)1

График нагрузок для статистических показателей, измеренных для европейских стран, представлен на рис.  2.10.

Рис.  2.10. График факторных нагрузок

1 Гончаренко А.Н. Многомерный статистический анализ... М., 2022.

34

Шестой этап – вычисление главных компонент. Наиболее распространенным методом вычисления главных компонент является регрессионное шкалирование, которое заключается в том, что для каждого объекта из выборки в уравнение (2.8) подставляются стандартизированные значения исходных переменных. Вычисление значений главных компонент фактически приводит к окончательному переходу из исходного пространства переменных в пространство главных компонент. Значения главных компонент, вычисленные методом регрессионного шкалирования, являются стандартизированными и обычно лежат в интервале (–4; +4).

Пример  1.1 (продолжение)1

Вычисленные значения главных компонент для европейских стран представлены в табл.  2.14. Максимальные по абсолютной величине значения выделены жирным шрифтом.

В данном случае у нас двумерное пространство, образованное главными компонентами, поэтому мы можем изобразить его на плоскости. На рис.  2.11 представлены те же страны, что и на рис.  2.2.

Рис.  2.11. Европейские страны в пространстве главных компонент

1 Гончаренко А.Н. Многомерный статистический анализ... М., 2022.

35

Учет в структуре главных компонент, наряду с рождаемостью и ВВП, других демографических показателей (смертности, средней продолжительности жизни мужчин и женщин, медианного возраста, детской смертности) позволяет выявить ряд более общих тенденций.

Так, западноевропейские страны образуют на рис.  2.11 более однородную группу, чем на рис.  2.2; их отрыв по уровню жизни от восточноевропейских стран выражен сильнее, чем по одному показателю (ВВП); восточноевропейские страны предстают более дифференцированными, особенно по уровню жизни. Интересно, например, что Россия, имевшая в 2008 г. более высокий ВВП на душу населения, чем Беларусь, в целом, с учетом таких показателей, как продолжительность жизни и детская смертность, имела более низкий уровень благосостояния, чем Беларусь.

В то же время сходный характер взаимного расположения стран на рис.  2.11 и  2.2 позволяет сделать вывод о валидности измерения и интерпретации главных компонент.

Этап вычисления значений главных компонент не является обязательным. Нередко МГК используется только для изучения структуры связей между переменными: переменные, имеющие высокие по абсолютной величине нагрузки на одну главную компоненту, могут рассматриваться как группа коррелирующих друг с другом переменных, являющаяся составной частью искомой структуры. Именно таким образом проверяется, в частности, валидность факторов семантического дифференциала.

Таковы основные этапы реализации МГК. Следует, однако, заметить, что главные компоненты, полученные посредством описанного выше алгоритма, не всегда удается проинтерпретировать. В этом случае исследование структуры исходных переменных можно продолжить посредством факторного анализа, в рамках которого МГК нередко применяется в качестве метода первоначального выделения факторов. В частности, результаты могут быть улучшены посредством вращения факторов, полученных методом главных компонент.

Самостоятельная работа

1.  Проинтерпретируйте главные компоненты, полученные с успеваемостью школьников (табл.  2.15). Используйте график нагрузок на главные компоненты.

38

2.  Нарисуйте пространство главных компонент и представьте в нем:

а)  школьника, хорошо успевающего по всем предметам; б)  школьника, плохо успевающего по всем предметам; в)  школьника, хорошо успевающего по математическим

дисциплинам и плохо – по гуманитарным; г)  школьника, плохо успевающего по математическим дис-

циплинам и хорошо – по гуманитарным.

2.4.  Факторный анализ

Метод факторного анализа: общая характеристика. Факторный анализ (ФА) – один из методов снижения размерности, впервые разработанный для психологии, где представлял собой выражение идей тестового подхода.

Вдальнейшем ФА стали применять не только к индивидам, но и к человеческим сообществам, а также к неодушевленным объектам для выявления их неочевидных обобщенных характеристик.

Воснове ФА лежат следующие предположения.

1.  Все наблюдаемые различия в значениях измеряемых переменных (индикаторов) обусловлены различиями в некоторых внутренних – скрытых (латентных) – свойствах испытуемых (респондентов), не поддающихся непосредственному измерению. Эти свойства получили название факторов или, точнее, общих факторов, влияющих на значения всех измеряемых переменных. Предполагается, что общие факторы непрерывны и их число относительно невелико, значительно меньше числа индика-

39

торов, в изменении которых они проявляются. Их содержание (смысл) может быть выявлено посредством анализа структуры корреляций между измеряемыми переменными. Для отдельных респондентов можно оценить численные значения общих факторов и использовать их в дальнейшем для описания респондентов, их сравнения, классификации и т.п.

2.  Каждый общий фактор имеет различную значимость для изменений разных индикаторов, т.е. существует нагрузка каждого фактора на каждую измеряемую переменную, определяющая степень такого влияния.

3.  Помимо изменений, порожденных влиянием общих факторов, существуют индивидуальные изменения эмпирических переменных, вызываемые различными причинами – контролируемыми и неконтролируемыми, к которым относятся особенности инструментария, ситуация опроса, состояние респондента, личность интервьюера и др. В совокупности они составляют характерные факторы, по одному для каждого индикатора.

Таким образом, все изменения наблюдаемых переменных объясняются двумя группами факторов – группой изучаемых и интерпретируемых общих факторов и группой характерных факторов, которые в ФА не рассматриваются. В целом ФА объясняет корреляции между измеряемыми переменными воздействием общих факторов.

Модели факторного анализа. Главная задача ФА – переход от некоторого числа относительно легко измеряемых характеристик изучаемого явления к относительно небольшому числу стоящих за ними латентных общих факторов. Как и при рассмотрении МГК, количество исходных переменных будем обозначать буквой k, количество общих факторов – буквой l (l << k).

Структурная графическая модель ФА представлена на рис.  2.12. Она иллюстрирует влияние на каждую стандартизированную исходную переменную zj набора общих факторов F1, F2 … Fl и уникального характерного фактора uj. Корреляции между переменными zj (и, соответственно, xj) обусловливаются влиянием общих факторов (см. рис.  2.6).

40