Многоканальные телекоммуникационные системы (компьютерные упражнения). Часть 4. Изучение дискретизации непрерывных сигналов. Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики

М.С. Тверецкий

Рекомендовано УМО по образованию в области инфокоммуникационных технологий и систем связи в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 210700 – «Инфокоммуникационные технологии и системы связи» квалификации (степени) «бакалавр» и «магистр».

Протокол № 74 от 26 сентября 2013 г.

МНОГОКАНАЛЬНЫЕ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ (компьютерные упражнения)

Часть 4

ИЗУЧЕНИЕ ДИСКРЕТИЗАЦИИ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ

Учебное пособие

Москва 2014

2

УДК. 621.395.4

Тверецкий М.С. Многоканальные телекоммуникационные системы (компьютерные упражнения). Ч. 4. Изучение дискретизации непрерывных сигналов: Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2014. – 30 с.: ил.

Пособие входит в серию сборников компьютерных упражнений по курсу «Многоканальные телекоммуникационные системы», разработанных на базе математического процессора Office Excel. В четвѐртой части серии приводится краткое теоретическое описание процесса равномерной дискретизации непрерывных сигналов во времени, осуществляемого на первом этапе преобразования аналоговых сигналов в сигналы ИКМ. Даются методические указания по выполнению компьютерных упражнений, в которых рассматриваются дискретизация сигналов посредством амплитудно-импульсной модуляции первого и второго рода (АИМ-1 и АИМ-2), частотные спектры преобразованных сигналов и помехи, вызванные ошибками дискретизации.

Ил. 17, список лит. 4 назв.

Рецензенты: В.Н. Дмитриев, д.т.н., профессор (АСТРАХАНСКИЙ ГТУ)

А.Х.Султанов, д.т.н., профессор (УФИМСКИЙ ГАТУ)

© Московский технический университет связи и информатики, 2013

3

По проделанной работе необходимо составить отчѐт, содержащий результаты экспериментов и выводы.

Форма отчѐта (на электронном или бумажном носителе) устанавливается преподавателем.

2. Краткая теория

Дискретизация сигнала во времени реализуется посредством амплитудноимпульсной модуляции (АИМ) – амплитудной модуляции импульсного переносчика. В данных упражнениях переносчиком является последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой U0 и постоянной частотой следования – частотой дискретизации fд. Для характеристики такой последовательности используется коэффициент скважности1 Кск = Тд /τи, где τи – длительность импульса, а Тд – период следования импульсов (период дискретизации Тд = 1/fд). Частотный спектр такой последовательности определяется выражением

Заметим, что γn при непрерывном изменении n является огибающей амплитудного спектра одиночного прямоугольного импульса.

Таким образом, спектр переносчика состоит из постоянной составляющей и гармоник частоты fд, причем гармоники с номерами, кратными Кск, отсутствуют.

Простейший амплитудно-импульсный модулятор представляет собой ключ, замыкающийся при прохождении импульса переносчика и пропускающий при этом сигнал на свой выход (рис. 1а). Такая амплитудно-импульсная модуляция называется АИМ-1 (АИМ первого рода). При АИМ-1 возникают проблемы дальнейшей обработки сигнала, поскольку высота импульса изменяется во времени. Поэтому применяется АИМ-2 (АИМ второго рода), при которой отсчет берется в какой-либо одной точке прохождения импульса, а затем это значение удерживается в течение времени, необходимого для его обработки. На рисунке 1б показан сигнал АИМ-2, у которого амплитуды импульсов соответствуют мгновенным значениям исходного сигнала, взятым в начальные моменты импульсов переносчика.

1 Для оптических импульсов обычно используют коэффициент заполнения Кзап = 1/Кск.

5

Рис. 1 Виды амплитудно-импульсной модуляции: а) АИМ-1; б) АИМ-2

Спектр сигнала АИМ-1 uk(t) определяется перемножением спектра модулирующего сигнала со спектром переносчика. Для биполярного сигнала имеем

где 2πfi = Ωi – частота i-й спектральной составляющей, а mi - коэффициент, опре-

6

пульсной последовательности. Следовательно, при восстановлении исходного сигнала на приѐме потребуется коррекция амплитудно-частотных искажений (АЧИ). Заметим, что по мере увеличения скважности импульсов отличие между сигналами АИМ-1 и АИМ-2 становится все менее заметным. Подробно построение спектров сигналов АИМ изложено в [4].

Снижение частоты дискретизации, определѐнной по теореме В.А. Котельникова1, приводит к помехам при восстановлении исходного сигнала. На рисунке 3а видно, что при выполнении условия теоремы выделение спектра исходного

f

а) выполнения, б) невыполнения условия теоремы Котельникова

сигнала из спектра АИМ сигнала посредством ФНЧ возможно без помех. При этом желательно обеспечить некоторый интервал между спектром исходного сигнала и нижней боковой полосой при частоте дискретизации (несколько повысить частоту дискретизации) с тем, чтобы снизить требования к крутизне характеристики среза фильтра (АЧХ ФНЧ). Если условия выбора частоты дискретизации нарушены, то, как видно на рисунке 3б, спектр исходного сигнала перекрывается со спектром нижней боковой полосы частот первой гармоники fд. При этом восстановление исходного сигнала сопровождается помехой.

Из-за неточности работы приѐмного генераторного оборудования происходит смещение принимаемых импульсов со своих тактовых точек (фазовые флуктуации). Это приводит к появлению ошибки при восстановлении сигнала. На ри-

1 Частота дискретизации fд должна быть больше или равна удвоенной верхней частоте Fв преобразуемого сигнала (fд ≥ 2 Fв).

7

которая и определяет величину помехи дискретизации.

Смещение импульса из точки ti в точку ti + ti ведет к ошибке в определении амплитуды импульса, равной uc(ti + ti) – uc(ti) ≈ uc′(ti)· ti, где uc′(ti) – первая производная от uc(t) по t (крутизна сигнала в точке ti). Экспериментально установлено, что для телефонного сигнала среднеквадратическое значение крутизны равно

где uc2 – эффективное значение сигнала. Защищенность сигнала от таких помех в полосе частот 0…0,5 fд будет равной

Как правило, телефонные сигналы в ЦТС передаются по основным цифровым каналам (ОЦК) со скоростью 64 кбит/с. Согласно существующим нормам, предельные отклонения импульсов от тактовых точек в ОЦК не должны превышать 0,25 периода или 0,25/64·103 = 3,90625 ≈ 4 мкс. На такую же величину в пределе может быть смещено и восстановленное мгновенное значение телефонного сигнала. В этом случае защищенность от помех ошибки дискретизации будет не хуже 35 дБ.

Среднеквадратическое значение крутизны гармонического сигнала равно

8

следовательно, его защищѐнность от помех дискретизации может быть подсчитана по упрощѐнной формуле

Так, если частота сигнала fc = 1000 Гц, то его защищенность от помехи из-за ошибок дискретизации составит 32 дБ.

3.Упражнения

Вдальнейшем будет использоваться такие наименования упражнений, входящих в данный сборник.

Цикл 41 Изучение дискретизации непрерывных сигналов. Упражнение 4.1 Изучение формы АИМ сигналов.

Упражнение 4.2 Изучение частотных спектров АИМ сигналов. Упражнение 4.3 Изучение восстановления исходных сигналов Упражнение 4.4 Изучение ошибок дискретизации сигнала.

Общие указания.

Упражнения по указанию преподавателя могут выполняться или фронтально в компьютерном классе, или индивидуально, как в классе, так и на домашнем компьютере.

Перед выполнением любого упражнения необходимо:

1.Ознакомиться с краткой теорией, описанием и таблицами Excel данного упражнения.

2.Получить допуск к работе в результате собеседования с преподавателем. При собеседовании выясняется, как подготовлен учащийся в области теории данной задачи и в особенностях еѐ решения в приложе-

нии Excel.

3.Получить задание (исходные данные) к упражнению.

После завершения работы следует получить отметку преподавателя о выполнении работы. По результатам работы составить отчѐт, который, помимо результатов работы (по форме, индивидуальной для конкретного упражнения), должен содержать:

1 Первым считается цикл освоения работы в приложении Excel [1].

9

–фамилию, и.о. студента, номер учебной группы, дату выполнения работы и фамилию преподавателя;

–исходные данные к работе;

–используемые расчѐтные соотношения;

–развѐрнутые выводы по результатам работы.

Отчѐт, по согласованию с преподавателем, может быть представлен на бумажном или/и на электронном носителе.

Упражнение 4.1 Изучение формы АИМ сигналов

Задача упражнения.

В задачу упражнения входит наблюдение формы биполярных и униполярных сигналов при АИМ первого и второго рода (АИМ-1 и АИМ-2) для модулируемых импульсов различной скважности.

Описание упражнения.

Упражнение выполняется на листе Форма АИМ (4.1. Форма АИМ сигналов) книги Excel Упр_ч_4. Поскольку пособие отпечатано в чѐрно-белом варианте, цвета заливки ячеек на рисунках не различаются. Напоминаем, что данные вводить можно только в зелѐные ячейки, ячейки другого цвета изменять не следует.

На листе расположены две таблицы и три или четыре графика. На рисунке 5 приведена таблица Исходные данные и два вспомогательных графика. Столбец А этой таблицы используется для формирования импульса переносчика с заданным коэффициентом скважности. Для этого заполняют (без пропусков) единицами то или иное число ячеек в столбце А, начиная с верхней (А5). Сформированный импульс отображается на графике, расположенном рядом, а величина коэффициента скважности Кск в ячейке С11. Столбец Кск является вспомогательным.

Правая часть таблицы Исходные данные служит для формирования исходного сигнала как суммы синусоидальных составляющих SIN1, SIN2,…SIN5. Для каждой составляющей могут быть заданы частота (f, кГц), начальная фаза (φ, град) и амплитуда, нормированная относительно максимальной (u/U0). В столбце G отображаются частоты составляющих, нормированные относительно частоты дискретизации 8 кГц (f/Fд). В ячейке Е11 таблицы рассчитывается постоянная составляющая униполярного сигнала; ввод этого значения в ячейку F11 реализует униполярный сигнал, обнуление ячейки F11 – соответствует биполярному сигналу.

10

Рис. 5 Таблица исходных данных и вспомогательные графики листа

Форма АИМ книги Excel Упр_ч_4

График на рисунке 5 справа демонстрирует формы униполярного и биполярного сигналов для одних и тех же параметров синусоидальных составляющих. График этот на листе может отсутствовать, поскольку формы сигналов представляются также на рабочих графиках.

Часть расчѐтной таблицы листа Форма АИМ показана на рисунке 6. В ячейке В22 рассчитывается интервал между временными отсчѐтами t, мкс таблицы. По-

Рис. 6 Расчѐтная таблица листа Форма АИМ книги Excel Упр_ч_4

скольку период импульса переносчика в данной работе содержит 16 мгновенных значений, то при частоте дискретизации fд = 8 кГц, интервал будет равен

1/(8·103·16) = 125/16 = 7,8125 мкс. Полная шкала t в таблице равна 2000 мкс, что со-

11