Многоканальные телекоммуникационные системы (компьютерные упражнения). Часть 4. Изучение дискретизации непрерывных сигналов. Учебное пособие

ответствует одному периоду частоты 500 Гц. Как правило, эти параметры в данной работе не изменяются.

Рис. 7 График сигнала АИМ-2 при Кск = 1,6

Результаты расчѐтов отображаются на двух графиках, расположенных на листе справа, один из них, соответствующий биполярному сигналу, при скважности переносчика, равной 1,6, и амплитудно-импульсной модуляции второго рода (АИМ-2) приведѐн на рисунке 7. График сигнала АИМ-2 для наглядности представлен гистограммой.

Порядок выполнения упражнения.

1.Ввести в таблицу Исходные данные заданные величины. Убедиться, что все зелѐные ячейки этой таблицы заполнены, а величина коэффициента скважности равна заданной. Обнулить ячейку F11.

2.Сравнить графики сигналов АИМ-1 и АИМ-2. Скопировать графики в отчѐт как графики биполярных сигналов.

3.Изменяя в возможных пределах величину Кск, наблюдать изменение формы сигналов. Зафиксировать в отчете, при каких величинах Кск наблюдается наибольшее отличие и сходство указанных графиков.

4.Изменять параметры составляющих исходного сигнала и зафиксировать в отчѐте характерные особенности формы сигнала в зависимости от параметров его составляющих.

5.Перевести сигнал в униполярную форму, для чего ввести в ячейку F16 значение из ячейки E16 (опция Специальная вставка…, значения). Зафиксировать

вотчѐте отличие форм биполярного и униполярного сигналов. По указанию пре-

12

подавателя произвести с униполярным сигналом процедуры, аналогичные описанным в п.п. 2, 3, 4.

6. Составить отчѐт по работе. Если отчѐт представляется в электронном виде, он должен содержать заполненный согласно заданию исходный лист Форма АИМ книги Excel Упр_ч_4, графики, полученные в результате изменения тех или иных параметров, расчѐтные формулы и выводы по работе. Отчѐт на бумажном

Задача упражнения.

В задачу упражнения входит изучение частотных спектров сигналов при амплитудно-импульсной модуляции первого и второго родов (АИМ-1 и АИМ-2). Исходные сигналы представляют собой суммы того или иного числа (до 5) синусоидальных составляющих. Рассматриваются униполярные и биполярные исходные сигналы, а также сигналы, удвоенные верхние частоты которых ниже или выше частоты дискретизации.

Описание упражнения.

Упражнение выполняется на листе Спектры АИМ (4.2. Спектры АИМ сигналов) книги Excel Упр_ч_4. Этот лист представляет собой расширение листа Форма АИМ. Так, к таблице Исходные данные добавлены три ячейки (E13, F13, G13. Поправка для огибающей). В ячейку F13 вводится число для масштабирования огибающей спектра, в ячейках E13 и G13 записаны часто используемые величины.

Таблица расчѐтов расширена значительно. На рисунке 8 показан верх правой части этой таблицы; видно, что к таблице добавлено пять новых столбцов:

13

БПФ1 и БПФ2, в которых содержатся результаты быстрого преобразования Фурье функций АИМ-1 и АИМ-2 соответственно; АС1 и АС2, содержащих значения амплитудных спектров этих функций, и Yn – функции огибающей амплитудных спектров (амплитудный спектр прямоугольного импульса с заданной скважностью).

Результаты расчѐтов отображаются четырьмя диаграммами, две из которых повторяют диаграммы листа Форма АИМ, то есть изображают графики исходного сигнала и сигналов АИМ-1 и АИМ-2. Две другие диаграммы представляют графики спектров АИМ сигналов, одна из которых показана на рисунке 9.

Спектры АИМ сигналов определяются посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ), поэтому [1] расчѐтная таблица содержит 256 мгновенных значений исходного сигнала в диапа-

равна 4 кГц и в данном диапазоне размещается 8 еѐ периодов. При выборе частот спектральных составляющих исходного сигнала надо стремиться к тому, чтобы в данном диапазоне (2000 мкс) размещалось целое число периодов, иначе, как это отмечено в [1], в результате БПФ возникнут паразитные спектральные составляющие. Результаты БПФ сигналов АИМ-1 и АИМ-2 в комплексной форме занимают соответственно столбцы БПФ1 и БПФ2. В столбцах АС1 и АС2 размещены амплитудные спектры соответствующих сигналов. Заметим, что ограничение 256 отсчѐтами при БПФ сигналов достаточно сложной формы вызывает некоторую погрешность, увеличивающуюся с ростом частот разложения. Следует заметить также, что в результате БПФ число составляющих спектра оказывается равным половине числа отсчѐтов мгновенных значений (для построения графиков используются ячейки в строках с 25 по 153).

14

При анализе сигналов с частотой дискретизации, отличающейся от 8 кГц, необходимо пересчитать данные в исходных столбцах расчѐтной таблицы. Для этого, во-первых, следует определить новый временной диапазон данных

менной интервал между мгновенными значениями. Для этого выделить ячейку В22 и заменить в формуле, которая в ней содержится, значение 2000 на новое t. Получившееся в ячейке В22 значение перенести в ячейку А26 (опция Специальная вставка… значения), выделить ячейки А25 и А26 и протащить их вниз до конца таблицы. Таким образом, будет заполнен столбец t, мкс расчѐтной таблицы.

В-третьих, выделить ячейку В25 и заменить в формуле, которая в ней содержится, число 2000 численным значением t, а в формуле ячейки С25 число 125 на величину периода в мкс новой частоты Fнд. Выделить ячейки В25 и С25 и протащить их вниз до конца таблицы. Столбцы t/T и 1/Fд расчѐтной таблицы будут заполнены. На этом переход к новой частоте дискретизации заканчивается.

Порядок выполнения упражнения.

1.В таблице Исходные данные установить скважность импульсов равной двум, амплитуды спектральных составляющих исходного сигнала установить одинаковыми, а частоты – кратными 0,5 кГц. Начальные фазы составляющих могут быть произвольными. Ячейку F11 обнулить, что будет соответствовать биполярному сигналу. Выполнить БПФ для сигналов АИМ-1 и АИМ-2, воспользовав-

шись опцией Анализ Фурье из меню Сервис [1].

2.Настроить диаграммы модулированных сигналов и спектров, корректируя форматы осей координат, а также изменяя поправку для огибающей спектра (ячейка F13). Сравнить диаграммы спектров для сигналов АИМ-1 и АИМ-2. Диаграммы скопировать в отчѐт.

3.Не изменяя предыдущих настроек, перейти к униполярным сигналам, для чего значение постоянной составляющей, рассчитанное в ячейке Е11, скопировать

вячейку F11 (Специальная вставка…, Вставить значения), затем повторить

15

все действия, указанные в пунктах 1 и 2. Сравнить спектральные диаграммы для биполярных и униполярных сигналов.

Все последующие действия производятся только с биполярными сигналами (ячейка F11 обнулена).

4.Не изменяя параметров частотных составляющих исходного сигнала, изменить скважность импульсов переносчика в сторону уменьшения (до величины, указанной преподавателем). Выполнить БПФ для сигналов АИМ-1 и АИМ-2, настроить диаграммы сигналов и спектров, сравнить диаграммы спектров между собой и скопировать их в отчѐт.

5.Проделать действия, указанные в пункте 4, но для скважности импульсов, изменѐнной в сторону увеличения (по указанию преподавателя). Полученные диаграммы спектров также скопировать в отчѐт.

6.Установить скважность импульсов равной 2. Установить частоту верхней спектральной составляющей исходного сигнала выше половины частоты дискретизации. Произвести БПФ для сигналов АИМ-1 и АИМ-2 и анализируя спектральные диаграммы, убедиться в том, что спектры исходного сигнала и нижней боковой полосы при первой гармонике переносчика (f/Fд = 1) перекрываются. Полученные диаграммы также скопировать в отчѐт.

7.Составить отчѐт по проделанной работе и сделать выводы, опираясь на результаты сравнения спектров модулированных сигналов. В выводах по работе отметить также, в каких случаях используются модулированные сигналы того или иного вида.

Преподавателем могут быть предложены дополнительные задания, например, исследование дискретизации узкополосных исходных сигналов, сигналов с неравномерным распределением амплитуд спектральных составляющих и т.д.

Упражнение 4.3 Изучение восстановления исходных сигналов

Задача упражнения.

В задачу упражнения входит наблюдение формы восстановленных исходных сигналов с различными спектрами и в зависимости от полосы пропускания приѐмного фильтра нижних частот.

16

Рис. 10 Расчѐтная таблица листа Восст. Сигналов книги Excel Упр_ч_4

Описание упражнения.

Упражнение выполняется на листе Восст. сигналов (4.3. Восстановление исходных сигналов) книги Excel Упр_ч_4. На листе расположены две таблицы и два графика. Таблица Исходные данные аналогична показанной на рисунке 5. Отличие заключается в отсутствии ячеек Постоянная составляющая, поскольку в современных телекоммуникационных системах используются, как правило, биполярные исходные сигналы. Расчѐтная таблица, часть которой показана на рисунке 10, не содержит столбцов, относящихся к амплитудно-импульсной модуляции первого рода (АИМ-1), поскольку на приѐме сигналы импульсно-кодовой модуляции (ИКМ) преобразуются в сигналы АИМ-2. В таблице присутствует столбец

АЧХ псевдофильтра НЧ

Рис. 11 Диаграмма спектра сигнала АИМ-2 и АЧХ псевдофильтра НЧ, выделяющего спектр исходного сигнала

17

Исходный сигнал

Сигнал АИМ2

Восстановленный

сигнал

Рис. 12 Графики исходного сигнала, сигнала АИМ-2 и восстановленного сигнала

ОБПФ2, в котором отображаются результаты обратного БПФ, исходными для которого являются данные столбца БПФ2, а также столбец ×N, в котором данные столбца ОБПФ2 умножаются на масштабирующий коэффициент N, значение которого устанавливается в ячейке J23.

Фильтрация сигнала на приѐме в данном упражнении имитируется ручным удалением высокочастотной части комплексного спектра в столбце БПФ2. Для удобства этого в столбце с данными амплитудного спектра сигнала АС2 тѐмной заливкой выделена область, ориентировочно указывающая, какие ячейки столбца БПФ2 следует обнулять при фильтрации сигнала АИМ-2.

Следует заметить, что при такой имитации фильтрации фазы выделенных составляющих спектра остаются неизменными. В реальных условиях эти изменения могут незначительно влиять на форму (но не на состав спектра!) восстановленного сигнала. На рисунке 11 приведена диаграмма амплитудного спектра сигнала АИМ-2 и амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) «псевдофильтра» НЧ, выделяющего спектр исходного сигнала. На диаграмме можно заметить, что поскольку амплитуды спектральных составляющих пропорциональны огибающей спектра прямоугольного импульса, выделение исходного сигнала будет сопровождаться амплитудно-частотными искажениями (АЧИ), тем меньшими, чем выше скважность импульсов переносчика.

На рисунке 12 представлены графики (и гистограммы) исходного сигнала, сигнала АИМ-2, полученного в результате обратного БПФ без фильтрации (для проверки корректности преобразования) и исходного сигнала, полученного обратным БПФ ограниченного спектра сигнала АИМ-2.

18

Порядок выполнения упражнения.

1.В таблице Исходные данные установить скважность импульсов равной двум, амплитуды спектральных составляющих исходного сигнала установить одинаковыми, а частоты – кратными 0,5 кГц. Частоту верхней составляющей принять равной 3 кГц (f/Fд = 0,375). Начальные фазы составляющих могут быть произвольными. Выполнить БПФ для сигнала АИМ-2, воспользовавшись опцией Анализ Фурье из меню Сервис [1]. Диаграмму полученного спектра настроить и скопировать в отчѐт. Записать относительную частоту верхней спектральной составляющей (fв/Fд) исходного сигнала.

2.Произвести обратное БПФ [1] данных столбца БПФ2. Настроить диаграмму с графиками исходного и восстановленного сигналов. Убедиться в корректности операции восстановления (восстановленный сигнал должен иметь вид сигнала АИМ2 со скважностью импульсов равной 2). Диаграмму скопировать в отчѐт.

3.Осуществить «фильтрацию» сигнала АИМ-2. Для этого установить в ячейке столбца БПФ2, следующей за ячейкой, соответствующей верхней частоте спектра исходного сигнала, нулевое значение и протащить ячейку вниз до ячейки, ниже которой находятся комплексно сопряжѐнные спектральные составляющие исходного сигнала. Если принято fв = 3 кГц, а Fд = 8 кГц, то обнуляемые ячейки должны находиться рядом с затенѐнными ячейками столбца АС2. Уточнить с преподавателем правильность проделанной операции. В соответствии с полученной вновь спектральной диаграммой отметить на диаграмме в отчѐте удалѐнные составляющие.

4.Произвести обратное БПФ [1] «фильтрованных» данных столбца БПФ2. Настроить диаграмму с графиками исходного и восстановленного сигналов. Подобрать масштабирующий коэффициент N так, чтобы амплитуды исходного и восстановленного сигналов совпали. Проанализировать различие формы исходного и восстановленного сигналов. Диаграмму скопировать в отчѐт с пометками о частотах спектральных составляющих и скважности импульсов переносчика.

5.Повторить операции пунктов 3 и 4, устанавливая в первый раз скважность импульсов переносчика относительно малой, а во второй – относительно большой. Параметры спектральных составляющих исходного сигнала не изменять. Полученные диаграммы исходных и восстановленных сигналов сравнить между собой и скопировать в отчѐт.

19

6. Произвести наблюдение расширения полосы пропускания НЧ приѐмного фильтра. Для этого при спектральных составляющих исходного сигнала с прежними данными и высокой скважности переносчика осуществить БПФ сигнала АИМ-2. Затем произвести фильтрацию спектра (столбец БПФ2) так, чтобы сохранить ближайшую к спектру исходного сигнала спектральную составляющую при первой гармонике переносчика. Настроить диаграмму с графиками исходного и восстановленного сигналов. Подобрать масштабирующий коэффициент N так, чтобы амплитуды исходного и восстановленного сигналов совпали. Проанализировать различие формы исходного и восстановленного сигналов. Диаграмму скопировать в отчѐт с пометками о частотах спектральных составляющих и скважности импульсов переносчика.

7. Произвести наблюдение расширения полосы пропускания НЧ фильтра, ограничивающего спектр исходного сигнала на передаче. Для этого при всех прочих данных предыдущего (6-го) пункта установить частоты двух верхних составляющих спектра исходного сигнала равными 3 и 4,5 кГц соответственно. Произвести БПФ сигнала АИМ-2, его фильтрацию, обнуляя ячейки столбца БПФ2, расположенные рядом с затенѐнными ячейками столбца АС2. Произвести обратное БПФ «фильтрованных» данных столбца БПФ2. Настроить диаграмму с графиками исходного и восстановленного сигналов. Подобрать масштабирующий коэффициент N так, чтобы амплитуды исходного и восстановленного сигналов приблизительно совпали. Проанализировать различие формы исходного и восстановленного сигналов. Диаграмму скопировать в отчѐт с пометками о частотах спектральных составляющих и скважности импульсов переносчика.

8. Составить отчѐт по проделанной работе и сделать выводы, опираясь на результаты сравнения форм исходных и восстановленных сигналов. В выводах по работе отметить также последствия расширения полос пропускания НЧ фильтров передатчика и приемника.

Преподавателем могут быть предложены дополнительные задания, например, исследование восстановления моночастотных исходных сигналов, сигналов с неравномерным распределением амплитуд спектральных составляющих и т.д.

20

Упражнение 4.4 Изучение ошибок дискретизации сигнала

Задача упражнения.

В задачу упражнения входит наблюдение искажений формы синусоидального сигнала из-за ошибок дискретизации, вызванных фазовым дрожанием (джиттером), а также определение зависимости защищѐнности сигнала от помехи из-за ошибок дискретизации (помехи дискретизации), вызванных как синусоидальным, джиттером, так и джиттером со случайным распределением мгновенных значений.

Описание упражнения.

Упражнение выполняется на листах Ошибки дискр. (4.4а. Ошибки дискретизации. Сигнал – синусоидальный, джиттер – синусоидальный) и Ошибки дискр. случ. (4.4б. Ошибки дискретизации. Сигнал – синусоидальный, джиттер –

случайный процесс) книги Excel

u/U0

должна сместиться и занять положение, показанное на рисунке тонкой линией. Поскольку величины смещений в заданных пределах принимают произвольные значения, то для корректного отображения каждого из них в таблице потребуется очень большое число ячеек, что приведѐт к неоправданной громоздкости метода исследования. Поэтому в данной работе принято заменять смещения временных позиций изменениями мгновенных значений сигнала на величины -δ, равные изменениям мгновенных значений сигнала при их смещении на t. На рисунке 13 такая аппроксимация сигнала с ошибкой показана пунктирной линией; видно, что

21