Математическое моделирование в эксплуатации транспортно-технологических машин и комплексов. Учебное пособие

стические автоматы при условии, что переходы из одного состояния в другое характеризуются вероятностями. Если динамическая система обеспечивает обслуживание заявок, то модель разрабатывается на основе методов теории массового обслуживания.

Динамическая модель будет стационарной при неизменности свойстввходныхпеременныхсовременемвпроцессеихпреобразования.Приизменениисвойствсовременемвпроцессепреобразования динамическая модель называется нестационарной.

В некоторых случаях можно считать объект стационарным, если параметры изменяются достаточно медленно со временем, которое необходимо для оценки объекта.

Различают вероятностные (стохастические) и детерминированные модели. В детерминированных моделях выходные переменные однозначно определяются по заданным входным переменным. При этом следует понимать , что входные переменные могут быть в том числе и случайными. В этом случае, используя стохастический оператор, можно по заданной вероятности распределения входных параметров определить распределение вероятностей выходных переменных.

Рассмотрим далее классификацию моделей с точки зрения входных и выходных переменных:

1.Моделисуправляемымивходными переменными(могут изменяться по усмотрению исследователя).

2.Модели с неуправляемыми входными переменными (переменные непригодны для управления).

3.Модели одномерные (входная переменная и выходная являются скалярными величинами).

4.Модели многомерные (модель, у которой векторы входа и выхода имеют размерность больше 2).

5.Модели непрерывные (входные переменные и выходные являются непрерывными).

6.Моделидискретные(входныепеременныеивыходныеявляются дискретными).

В сложных динамических системах протекающие процессы имеют такое число параметров, что уравнения, описывающие их, не могут быть реально разрешены. Многие системы уникальны, поэтому длительность экспериментов с ними часто сравнима с

11

циклом их жизни, а кроме этого иногда выполнение экспериментов вообще невозможно.

Во многих случаях невозможно выделить содержание каждого этапа управления, так как возникает такое количество ситуаций, что невозможно выявить влияние каждой на принимаемые управленческие решения. В этих условиях вместо жесткого алгоритма приходится использовать некоторую совокупность нетривиальных указаний, соответствующую тому, что в математике называетсяисчислением,где на каждом шаге имеется возможность некоторого произвольного продолжения поиска решения. Исчисления являются предметом математической логики.

1.4 Классификация моделей по способу воплощения

Модели по способу реализации (воплощения) подразделяются на абстрактные (идеальные) и материальные.

Материальные модели:

-геометрически подобные масштабные, воспроизводящие пространственно-геометрические характеристики оригинала безотносительно его субстрату (макеты зданий и сооружений, учебные муляжи и др.);

-основанные на теории подобия, воспроизводящие

смасштабированием в пространстве и времени свойства и характеристики оригинала той же природы, что и модель (гидродинамические модели судов, продувочные модели летательных аппаратов);

-аналоговые приборные, воспроизводящие исследуемые свойства и характеристики объекта оригинала в моделирующем объекте другой природы на основе некоторой системы прямых аналогий (разновидности электронного аналогового моделирования).

Теория подобия позволяет перенести достоверные данные, полученные на модели, на реальный, но еще не созданный объект. Следует отметить , что сегодня методы физического моделирования сохраняют свое значение и применяются на практике.

Аналоговое моделирование заключается в том, что характеристики объекта воспроизводятся на моделях иной, чем у оригинала физической природы. Многие процесс различной природы могут

12

быть описаны аналогичными математическими выражениями. Такое описание разнородных объектов рассматривается как две модели,взаимноотображающиедругдруга,акоэффициенты,связывающие сходственные показатели, в этом случае являются размерными величинами.

Идеальные (абстрактные) модели:

а) модели неформализованные; «в) частично формализованные модели:

-вербальные–описаниесвойствихарактеристикори- гинала на некотором естественном языке (текстовые материалы проектной документации, словесное описание результатов технического эксперимента);

-графические – черты, свойства и характеристики оригинала, реально или хотя бы теоретически доступные непосредственно зрительному восприятию (художественная графика, технологические карты);

-графические условные – данные наблюдений и экспериментальных исследований в виде графиков, диаграмм, схем;

-вполне формализованные (математические) модели». Главное отличие этих моделей заключается в различии вари-

антов кодирования одним знаковым описанием большого количества вариантов системы. Так, дифференциальные уравнения могут описывать различные виды процессов. Однако важно то, что одни и те же уравнения в буквенном виде могут соответствовать множеству комбинаций конкретных значений показателей.

1.5 Знаковые модели и сигналы

Для того, чтобы между оригиналом и моделью установить отношениеподобия,необходиманекотораяконструкциядля отображения. Существуют различные подходы к установлению подобия, это и придаѐт особенности моделям, специфичные для каждого подхода к моделированию.

Прямое подобие: устанавливаемое в процессе физического взаимодействия при создании модели.

Примером прямых подобий могут быть: фотографии, модели кораблей или гидростанций, шаблоны и т. п.

Однако следует подчеркнуть, что только при прямом подобии

13

возможна труднообнаруживаемая взаимозаменяемость оригинала

имодели.

Сдругой же стороны, модель лишь заменитель оригинала, поэтому даже тогда, когда модель прямого подобия выполнена из аналогичного с оригиналом материала, появляются проблемы переноса на оригинал результатов моделирования.

Задача пересчѐта результатов модельного эксперимента на реальныеусловияявляетсянетривиальнойзадачей,поэтомувозникла теория прямого подобия.

Косвенноеподобиемеждумодельюиоригиналомвозникаетне в процессе их физического взаимодействия, а существует объективно в природе, выявляется в виде близости или совпадения их абстрактных моделей, что и используется для разработки реальных моделей.

Такиемоделиширокораспространены:аналогвремени–часы; аналог органов человека – органы животных; аналог лѐтчика – автопилот и т.д.

В особую группу реальных моделей включаются модели, подобие которых к оригиналу не имеет ни прямого, ни косвенного отношения, а устанавливается в процессе соглашения.

Условное подобие. Такие модели встречаются достаточно часто, так как они являются формой материального воплощения абстрактных моделей и могут переходить от человека к человеку, храниться, отчуждаться от сознания, но сохранять свою возможность для возвращения в некоторую абстрактную форму.

Такое достигается по соглашению. Выработанное соглашение формирует правило построения модели условного подобия и правило как пользоваться этой моделью.

Знаковыемоделиисигналыширокоиспользуютсявнекоторых конкретных науках при изучении моделей условного подобия.

В ряде наук работают со специфическими моделями условного подобия, которые используются в технических системах без участия человека: они получили название сигналов.

Правила построения и методы использования сигналов называются кодированием и декодированием, что послужило становлению и развитию теории кодирования.

В науках, исследующих создание и реализацию этих моде-

14

лей человеком, модели условного подобия применяются с иных позиций, так как они имеют определенную специфику, требующую специальных методов для их решения. Таким моделям дано специальное название - «знаки», а область знаний получила название семиотики (от греческого «знак»), которая изучает знаки. В этих системах выделяются следующие отношения:

синтаксис (отношенияпозволяют отличать и строить сложные конструкции);

семантика (отношения обозначают изначальный смысл ); прагматика (отношения обозначают воспринятый смысл). Имеются и другие аспекты для изучения моделей условного

подобия (информатика, графология, языкознание, криптография, техническое черчение, нумизматика, картография, литературоведение и т. д.).

Условное подобие не всегда требует фактического сходства, а строится с учѐтом создателя и потребителя моделей, особенностей человека. Для обозначения цифр выбор символики не является произвольным.

Арабская символика в практике вычислений из-за удобства ручного выполнения операций над знаками вытеснила римскую, а по этим же соображениям арабскую символику вытеснила двоичная система.

Моделирование (в широком смысле) является важнейшим методом исследования и научного обоснования характеристик сложных систем для принятия эффективных решений.

Спомощьюмоделей,реализуемыхнасовременныхЭВМ,можно исследовать существующие и проектируемые системы.

1.6 Условия реализации модельных свойств Конечность. Возникает необходимость познавать бесконеч-

ный мир конечными средствами. Способом разрешения данного противоречия является моделирование. Из необозримого множества свойств объектаоригинала выбираются и переносятся на объект-модель лишь некоторые, интересующие нас в рамках выбранной цели. Модель может быть подобна оригиналу лишь в конечном числе возможных отношений – это важнейший аспект конечности моделей.

15

Теперьрассмотримфакторы,которыеспомощьюконечныхмоделейпозволяютисследоватьиизвлечьизмоделированияпользу.

Упрощенность. Первый фактор – это упрощенность моделей. Необходимость упрощения модели связана с тем, что требуется ее реализовывать. Так, решение нелинейного уравнения за неимением метода мы линеаризуем или уменьшаем размерность, заменяя переменные на постоянные величины, а случайные переменные на детерминированные.

Такое упрощение отчетливо прослеживается на фоне прогрессасредстввычислительнойтехникиисовершенствованиячисленных методов. В результате достижений в этих областях необходимость в упрощениях отпадает.

Очевидно, что конечность делает упрощенность моделей неизбежной. Следует заметить, что ограничение не является определяющим, поскольку иерархичность моделей обладает потенциальной неограниченностью, а важным можно отметить то, что в человеческой практике является допустимой упрощенность моделей. Для рассматриваемой цели иногда упрощенное отображение действительности достаточно. При определении цели можно определить, как, по сравнению с оригиналом, можно упростить модель.

Для выявления главных факторов объекта упрощение является отличным средством. Существует множество примеров моделей в физике: идеальный газ, абсолютно черное и абсолютно твердое тело, математический маятник и др. Часто бывает, что избыточная точность может отвергнуть правильную модель и загубить открытие. Если бы опыты, обосновавшие в 18 веке закон сохранения вещества,проводилисьсточностью,вдесятьмиллиардов раз более высокой, удалось бы зафиксировать ―дефект массы‖,связанный со знаменитой формулой Эйнштейна = 2 – закон сохранения вещества не был бы открыт.

Имеется довольно загадочное наблюдение: имея две модели, хорошо описывающие объект, более простая из них оказывается ближе к природе исследуемого объекта.

Таким образом, можно сделать вывод, что упрощенность моделей является не только достаточной, но и необходимой, и основана как на свойствах мышления, так и на свойствах природы.

16

Приближенность. Второй фактор, позволяющий преодолеть бесконечность мира конечными средствами – приближенность (приблизительность, неточность) отображения действительности с помощью моделей. Как приближенность можно рассматривать конечность и упрощенность моделей (пример расплывчатости терминов естественного языка), но нужно учитывать качественные отличия оригинала от модели и те их отличия, которые позволяют выполнять количественные («больше – меньше») или ранговые («лучше – хуже») сравнения. С термином «приближенность» будем связывать эти возможности .

В одних случаях приближенность модели имеет достаточно высокий уровень (подделки произведений искусства), в других низкий (карты местности в зависимости от масштаба); но во всех случаях модель является другим объектом, поэтому различия всегда неизбежны.

Различие либо существует, либо оно не существует. Величина приемлемости различия между моделью и объектом вводится только для целей моделирования

Адекватность отражает то, что с помощью модели успешно достигается цель. Такую модель будем называть адекватной. Заметим, что адекватность не означает «безмерное» выполнение требований точности или правильности (истинности), а лишь выполнение в той ее мере, которой достаточно для достижения цели.

Истинность. Также как в случае различия, абсолютного сходства не может быть. Степень истинности выявляется только в практическом соотнесении модели с отображаемым объектом. Изменение условий сравнения существенно влияет на результат, так как из-за этого возможно для одного объекта двух различных, но «одинаково» истинных моделей.

Подчеркнем, что любая модель содержит условия истинности, поэтому в практике моделирования необходимо проверять выполнение условий. В процессе обработки данных эксперимента часто не проверяют, например, условия нормальности или их независимости. Такие ситуации поставили перед исследователями задачу разработки устойчивых моделей, которые могут применяться в некотором диапазоне условий. Так, в математической статистике разработаны для обработки данных непараметрические и робаст-

17

ные процедуры.

Можно отметить еще один аспект соотношения истинного с предполагаемым при разработке моделей, который заключается в том, что для познавательных целей и прагматических разные последствия имеют ошибки. Так, при использовании моделей прагматических некоторые ошибки вредны, а в познавательных моделях, истинность которых еще предстоит проверить, является единственным способом исключить ненужные и вредные факты.

Контрольные вопросы

1.Что понимается под термином «модель»?

2.Что понимается под моделированием?

3.Охарактеризуйте основные положения теории отражения.

4.Назовите основные причины использования моделей.

5.Приведите основные виды моделирования.

6.Дайте характеристику компьютерного моделирования.

7.В чем заключается практическое значение моделирования?

9.Какие модели называются статистическими и динамически-

ми?

10.Дайте характеристику детерминированным и стохастическим моделям.

11.Чем отличаются материальные и идеальные (абстрактные) модели?

12.Дайте характеристику знаковым моделям.

13.Рассмотрите основные условия реализации модельных свойств.

РАЗДЕЛ 2. МОДЕЛИ СИСТЕМ

2.1 Система

Понятие «система» является основополагающим понятием и распространено в разнообразных научных дисциплинах и в различных сферах деятельности человека.

Известно множество определений системы и все они, как правило, опираются на дословный перевод слова systema с греческого – целое, соединенное или составленное из частей. Мы будем пользоваться следующим общим понятием системы.

«Система – совокупность объектов, объединенных связями

18

так, что они существуют (функционируют) как единое целое, приобретающее новые свойства, которые отсутствуют у этих объектов в отдельности».

Дополнениеоприобретенныхсистемойновыхсвойствахвприведенном понятии является достаточно важной особенностью системы, отличающей ее от просто набора элементов, несвязанных между собой. Наличие у системы новых свойств, не являющихся некоторой суммой свойств элементов, называют эмерджентностью (как пример, общая работоспособность коллектива не определяется суммой работоспособности его членов, являющимися элементами системы «коллектив»).

Системы могут включать как материальные объекты, так и абстрактные. Отсюда различают материальные (эмпирические) системы и абстрактные (символические). Примерами абстрактных систем являются формальные языки, теории, алгоритмы, математические модели и др.

2.1.1 Принципы системности

Для выделения систем можно применять принципы системности (рисунок 2.1).

1. Внешняя целостность.

Принцип обособленности системы от внешней среды. Система как единое целое взаимодействует с внешней средой, при этом поведениесистемыопределяетсясостояниемнеотдельныхеечастей, а всей системы и возможным состоянием окружающей среды.

Рис. 2.1 Принципы системности

Окружающей (внешней) средой, в данном случае, является множество элементов любой природы, функционирующих вне системы, которые воздействуют на саму систему или находятся под ее влиянием в условиях поставленной задачи.

19

Система характеризуется назначением, также характеристиками системы являются ее вход, внутреннее состояние и выход.

Абстрактная система, такая как, например, некоторая математическая теория, будет иметь следующие характеристики: вход ‒ постановка задачи, выход – результат решения данной задачи, назначение ‒ класс задач, которые решаются в рамках этой теории.

2. Внутренняя целостность.

Принцип внутренней целостности системы заключается в устойчивости связей между ее частями. На состояние всей системы влияет не только состояние элементов системы, но и связи между этими элементами. Следовательно, свойства всей системы не будут сводиться к общей сумме свойств ее частей (элементов) и самой системе присущи те свойства, которых нет у ее частей (элементов) в отдельности.

Устойчивые связи между элементами определяют функциональные возможности самой системы. Отсутствие этих связей приводит к невозможности выполнения системой назначенных ей функций.

3. Иерархичность.

Принцип выделения в системе подсистемы, с определением для каждой подсистемы входных параметров, выходных параметров, а также назначения подсистемы. В то же время, система может являться частью другой системы.

При дальнейшем разбиении на части подсистем получим подсистемы, являющиеся элементами первоначальной системы. Можно предположить, что разбивать на мелкие части систему можно бесконечно. Однако на практике это приведет к появлению элементов, у которых связь с первоначальной системой и ее функциями будет трудноуловима. В силу этого, элементом системы считаются такие ее более мелкие части, которым присущи некоторые качества самой системы.

2.1.2 Анализ и синтез систем

Элементом системы является такая ее подсистема, которая не разбивается на части в рассматриваемом исследовании (при принятой точке зрения).

20