Математическая статистика. Учебное пособие по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»

Таблица 7.6. Расчет значения для X

Итак, получили = 8.794. Поскольку 8.794 18.5, гипотеза о выбранном равномерном теоретическом распределении принимается.

Проделаем аналогичные вычисления для случайной величины Y.

Таблица 7.7. Вариационный ряд для Y

После этого построим группированную выборку (первые три колонки таблицы 7.8) и для каждого из девяти интервалов вычислим представитель интервала, относительную частоту и плотность частоты (последние три колонки таблицы 7.8).

- 41 -

Таблица 7.8. Группированная выборка для Y

Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Y по исходной и группированной выборкам (формулы

(2.12), (2.14) и (2.15), (2.16) соответственно):

σ#y = 28.58.

- 42 -

Найдем интервальные оценки математического ожидания случайной величины Y, то есть построим доверительные интервалы с доверительными

вероятностями γ = 0.95 и γ = 0.99 (формула (2.23)):

I0.95 = (122.25 – 1.96 2.858 ; 122.25 + 1.96 2.858) (116.65 ; 127.85),

I0.99 = (122.25 – 2.58 2.858 ; 122.25 + 2.58 2.058) (114.08 ; 129.62).

Используя данные, полученные для группированной выборки (таблица 7.8), построим на одном графике гистограмму и полигон (рис. 7.2).

3

0.01

0.005

Рис. 7.2. Гистограмма, полигон и плотность для случайной величины Y

Гистограмма имеет относительно высокие прямоугольники в середине, влево и вправо от нее высоты прямоугольников уменьшаются, имеются два «хвоста». Можно предположить, что случайная величина Y имеет нормальное распределение с плотностью (Приложение 1)

и функцией распределения

Fy(y) = 0.5 + ((y – m)/ ),

где 0(у) – функция Лапласа [1, 2].

Оценка математического ожидания по группированной выборке равна m# = 122.25, а оценка дисперсии равна σ# 2 = 816.86 (σ# = 28.58).

- 43 -

По методу моментов выбираем параметры m = m# и = #. Таким образом, выбираем теоретическое распределение

Fy(y) = 0 ((y – 122.25)/28.58) + 0.5.

График плотности f(y) изобразим на рис. 7.2 (линия 3).

Чтобы использовать критерий , найдем число степеней свободы:

Рассмотрим теперь случайные величины X и Y совместно. Отметим точками на плоскости OXY все 100 пар значений системы этих величин (рис. 7.3). Найдем оценку ковариации по формуле (4.1):

- 44 -

Выборочное уравнение линейной среднеквадратической регрессии Y на X находим по формуле (4.3):

Построим график линейной среднеквадратической регрессии Y на X

(рис. 7.3):

Y

150

50

Рис. 7.3. График линейной среднеквадратической регрессии Y на X

Проверим с уровнем значимости = 0.01 гипотезу о значимости полученного значения коэффициента корреляции * = 0.82. Вычислим по формуле (4.6 ) наблюдаемое значение

- 45 -

Из таблицы критических точек распределения Стьюдента (Приложение 2) по уровню значимости = 0.01 и числу степеней свободы r = 100 – 2 = 98

значимым. Другими словами, есть основания считать, что имеется

корреляция между изучаемыми случайными величинами Х и Y.

О существовании причинно-следственной связи. Неравенство коэффициента корреляции нулю означает только наличие статистической связи, зависимости между Х и Y. Но в рассматриваемом случае рост возраста Х означает старение, что отрицательно сказывается на общем состоянии организма, в частности, и на росте артериального давления Y. Это медицинский факт. Таким образом, проведенное здесь исследование еще раз подтверждает эту зависимость, то есть эту связь можно считать не только статистической, но и причинно-следственной.

- 46 -

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное учебное пособие составлено с целью помощи студентам освоить основные теоретические понятия математической статистики и научиться выполнять часто применяемые статистические методы обработки данных. В качестве примера подробно рассмотрено выполнение задания на расчетно-графическую работу следующего содержания.

Студент должен самостоятельно собрать данные по n объектам, характеризующимся двумя случайными параметрами X и Y. Источником этих данных могут быть справочники, Интернет, собственные наблюдения или эксперименты.

Применяя методы обработки данных, следует ответить на вопросы: какие законы распределения вероятностей имеют X и Y, имеется ли линейная зависимость между ними и насколько обоснованы ответы на эти вопросы.

Особое внимание уделено содержательному смыслу полученных результатов обработки собранных данных

В пособии даны необходимые сведения из теории вероятностей и математической статистики. Сформулированы контрольные вопросы, на которые нужно уметь ответить при защите работы.

- 47 -

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Список законов распределения

Здесь приведены законы распределения вероятностей случайных величин, которые следует использовать в расчетно-графической работе при выборе типа распределения в критерии хи-квадрат.

1. Равномерное распределение

1/(b – a), x [a , b], b a,

f(x) =

0, x a, x b,

m = (a + b)/2, σx2 = (b – a)2/12.

2 1

1

b a

Рис. П1.1. (1 – плотность вероятностей, 2 – гистограмма)

- 48 -

Продолжение приложения 1

2. Распределение Рэлея

1 2

Рис. П1.2. (1 – плотность вероятностей, 2 – гистограмма)

(x/ 2) exp(–x2/(2 2)), x ≥ 0,

f(x) =

0, x < 0,

1 – exp(–x2/(2 2)), x ≥ 0,

F(x) =

0, x < 0.

- 49 -

Продолжение приложения 1

3. Показательное или экспоненциальное распределение

exp(- x), x > 0,

f(x) =

0, x < 0.

1 – exp(- x), x > 0,

F(x) =

0, x < 0,

m = = 1/ .

1

2

Рис. П.1.3. ( 1 – плотность вероятностей, 2 – гистограмма)

- 50 -