Математическая статистика. Учебное пособие по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика»
.pdf
1 |
n |
1 |
n |
|
|
(axi + b yi )2 = min, |
(αyi + β xi )2 = min . |
(4.5) |
|||
|
|
||||
n i=1 |
n i=1 |
|
|||
Уравнения же (3.12) и (3.14) получены из условия минимума математических ожиданий (3.9) и (3.13).
Замечание. Уравнение регрессии y = ax + b отражает статистическую связь, наблюдаемых значений X и Y. При этом не
обязательно значения X являются причиной, а значения Y их следствием.
Например, была замечена сильная отрицательная корреляция ( * = –0.9) между производством самоваров и производством тракторов в 1925-1940 годы в СССР. Если бы эта связь была причинно-следственной, то для желательного увеличения производства тракторов следовало бы всемерно уменьшать производство самоваров, а лучше бы вообще их на делать. На самом деле эта связь объяснялась процессом индустриализации страны в эти годы. Люди в больших количествах переезжали из деревень в города, где чай не было принято кипятить в самоварах, поэтому из-за снижения спроса снижалось и их производство, не влияя на производство тракторов.
4.2. Проверка значимости коэффициента корреляции
Отметим один важный момент. Применяя формулу (4.2), мы всегда получим какую-то оценку * коэффициента корреляции . Причем эта оценка обычно отлична от нуля, даже если на самом деле = 0. Поэтому
возникает вопрос о значимости выборочного коэффициента корреляции,
полученного по формуле (4.2). То есть достаточно ли у нас оснований считать, что коэффициент корреляции не равен нулю, другими словами, имеется ли вообще корреляция между исследуемыми случайными величинами?
Для ответа на этот вопрос применяется следующий критерий. Пусть по
выборке объема |
n получено выборочное значение * |
коэффициента |
|||||||
корреляции и |
выдвинута гипотеза |
|
= ( = 0). Для проверки этой |
||||||
гипотезы с уровнем значимости вычисляется наблюдаемое значение |
|||||||||
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
||
|
tнабл = |
|
n 2 |
(4.6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 (ρ )2 |
||||||||
|
|
|
|||||||
и применяется решающее правило |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|tнабл| tα |
принимается, |
|
||||||
|
|tнабл| > tα |
|
отвергается, |
(4.7) |
|||||
- 31 -
где tα – находится из таблицы критических точек распределения Стьюдента
(Приложение 2). Входом в эту таблицу является уровень значимости и число степеней свободы r = n – 2.
Мы ограничились рассмотрением только линейной регрессии, то есть линейных приближенных зависимостей между X и Y. При необходимости можно рассмотреть более сложные зависимости. В общем случае выбирается некоторая функция y = g(x , a1 , a2 , … , ak), параметры а1, а2, … , ак которой могут быть найдены методом наименьших квадратов из условия минимума среднего квадрата ошибок приближения:
1 n (g(xi ,a1 ,a2 ,...,ak ) yi )2 = min .
n i=1
- 32 -
5. ЗАДАНИЕ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
1.Выбрать объект с двумя случайными параметрами Х и Y, собрать выборку объема n = 100. Результат оформить в виде таблицы.
2.Составить две раздельные выборки для Х и Y.
3.Составить вариационные ряды для Х и Y.
4.Составить группированные выборки для X и Y с числом интервалов 8–10.
5.По полученным группированным выборкам построить гистограммы и полигоны отдельно для X и Y.
6.Выбрать типы распределения X и Y. Использовать при этом только типы распределений из приложения 1.
7.Вычислить точечные оценки mx , my , m#x , m#y , σx , σy , σ#x , σ#y .
8.Найти 95% и 99% доверительные интервалы для mx и my.
9.Определить параметры теоретического закона распределения для Х и Y, используя метод моментов (кроме случая равномерного распределения).
10.Построить отдельно для Х и Y на одном графике гистограмму, полигон и теоретическую плотность распределения вероятностей. Графики построить очень аккуратно! Длины частичных интервалов могут быть разными, что должно быть отражено на рисунке. Кроме того, площадь гистограммы и площадь под графиком плотности равны 1, что тоже должно быть заметно на рисунке. Эти рисунки можно выполнить вручную на листах бумаги в клеточку и вставить их в бумажный отчет.
11.С уровнем значимости = 0.01 проверить гипотезы о выбранных теоретических распределениях, используя критерий . Если все типы распределений из Приложения 1 не будут приняты, то какие-либо другие распределения проверять не надо.
12.Построить выборочное уравнение линейной среднеквадратической регрессии Y на Х. Прямую регрессии y = ax + b изобразить совместно с
графическим представлением выборки (каждый элемент выборки (xi , yi ) изображается точкой на плоскости). Этот рисунок тоже можно выполнить вручную на листе бумаги в клеточку и вставить в бумажный отчет.
13.Приведите Ваше мнение о существовании причинно-следственной связи между Х и Y.
14.Проверить гипотезу о значимости выборочного значения коэффициента корреляции с уровнем значимости α = 0.01.
- 33 -
6.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Функция распределения и плотность распределения вероятностей случайной величины (формулы (1.1), (1.3)).
2.Математическое ожидание (формулы (1.5), (1.6)), дисперсия (формулы (1.7)-(1.10)) и среднеквадратическое отклонение (формула (1.11)) случайной величины.
3.Система двух случайных величин. Совместная функция распределения (формула (3.1)) и совместная плотность распределения (формула (3.6)) системы двух случайных величин.
4.Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин. Что характеризует коэффициент корреляции? (формулы (3.10)).
5.Уравнение линейной среднеквадратической регрессии. В чем смысл этого уравнения? (формулы (3.8), (3.11)).
6.Выборка, вариационный ряд и группированная выборка (подраздел 2.1).
7.Статистическая функция распределения, гистограмма и полигон (подраздел 2.2).
8.Точечная оценка параметра. Что такое «оценка» параметра? Что означает «точечная»? (подраздел 2.3).
9.Точечные оценки математического ожидания и дисперсии (подраздел 2.3,
формулы (2.12), (2.14), (2.15), (2,16)).
10.Интервальная оценка параметра, доверительный интервал и доверительная вероятность. В чем смысл этой оценки? (подраздел 2.4).
11.Интервальная оценка математического ожидания (подраздел 2.4, формулы
(2.21), (2.23)).
12.Выбор типа теоретического закона распределения (подраздел 2.2).
13.Параметры теоретического закона распределения, метод моментов
(подраздел 2.5, формулы (2.24), (2.25)).
14.Критерии согласия. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости и мощность критерия (подраздел 2.6).
15.Критерий для проверки гипотезы о законе распределения вероятностей. Что характеризует вычисленное значение ? (подраздел 2.7, формулы (2.27)–(2.33)). Означает ли принятие гипотезы ее истинность, а отвержение – ложность? (замечание 2 в подразделе 2.7).
16.Оценка ковариации и коэффициента корреляции по выборке (подраздел
4.1, формулы (4.1), (4.2)).
17.Уравнение выборочной линейной среднеквадратической регрессии (подраздел 4.1, формулы (4.3), (4.4)). В чем смысл этого уравнения? (раздел 3, замечание 2). Отражает ли оно причинно-следственную связь? (подраздел 4.1, замечание).
18.Проверка гипотезы о значимости выборочного значения коэффициента корреляции. Какая гипотеза проверяется? (подраздел 4.1, формулы (4.6), (4.7)).
-34 -
7. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ТИПОВОГО РАСЧЕТА
Этот пример можно использовать как шаблон при выполнении своего расчета, заменив в тексте исходные данные и их обработку на собственные.
Исходными данными для примера являются измерения кровяного давления (случайная величина Y) у людей различного возраста (случайная величина Х). Всего было обследовано 100 человек. Результаты обследования приведены в таблице 7.1.
Данные, приведенные в таблице 7.1, представляют собой исходную выборку для дальнейших расчетов. На ее основе составляем отдельную выборку для случайной величины Х (таблица 7.2) и для случайной величины Y (таблица 7.3).
По полученной выборке для случайной величины Х строим вариационный ряд (таблица 7.4).
После этого построим группированную выборку (первые три колонки таблицы 7.5) и для каждого из десяти интервалов вычислим представитель интервала, относительную частоту и плотность частоты (последние три колонки таблицы 7.5).
- 35 -
Таблица 7.1. Результаты измерения кровяного давления у 100 человек различного возраста
№ |
x |
y |
№ |
x |
y |
№ |
x |
y |
1. |
44.0 |
118.0 |
35. |
69.2 |
150.0 |
69. |
22.7 |
100.0 |
2. |
33.1 |
67.0 |
36. |
45.1 |
120.0 |
70. |
48.9 |
128.0 |
3. |
53.6 |
147.0 |
37. |
40.2 |
113.0 |
71. |
55.0 |
164.0 |
4. |
56.4 |
129.0 |
38. |
34.3 |
107.0 |
72. |
69.2 |
162.0 |
5. |
73.1 |
191.0 |
39. |
21.3 |
104.0 |
73. |
48.4 |
130.0 |
6. |
57.8 |
137.0 |
40. |
26.8 |
105.0 |
74. |
37.6 |
114.0 |
7. |
37.2 |
119.0 |
41. |
72.1 |
169.0 |
75. |
19.6 |
96.0 |
8. |
18.2 |
100.0 |
42. |
20.7 |
102.0 |
76. |
32.0 |
107.0 |
9. |
45.7 |
115.0 |
43. |
26.0 |
103.0 |
77. |
22.0 |
100.0 |
10. |
40.2 |
114.0 |
44. |
33.8 |
112.0 |
78. |
53.2 |
126.0 |
11. |
32.2 |
109.0 |
45. |
45.6 |
114.0 |
79. |
47.5 |
126.0 |
12. |
76.4 |
169.0 |
46. |
37.8 |
102.0 |
80. |
43.2 |
111.0 |
13. |
61.3 |
130.0 |
47. |
18.2 |
97.0 |
81. |
75.0 |
148.0 |
14. |
46.7 |
119.0 |
48. |
57.9 |
142.0 |
82. |
63.2 |
152.0 |
15. |
35.7 |
109.0 |
49. |
74.0 |
149.0 |
83. |
51.8 |
129.0 |
16. |
68.1 |
156.0 |
50. |
60.4 |
133.0 |
84. |
43.0 |
106.0 |
17. |
79.6 |
156.0 |
51. |
55.8 |
125.0 |
85. |
76.4 |
165.0 |
18. |
49.6 |
125.0 |
52. |
33.4 |
112.0 |
86. |
49.5 |
118.0 |
19. |
50.1 |
130.0 |
53. |
58.0 |
127.0 |
87. |
42.1 |
116.0 |
20. |
45.5 |
125.0 |
54. |
67.5 |
143.0 |
88. |
30.7 |
105.0 |
21. |
43.9 |
125.0 |
55. |
53.4 |
121.0 |
89. |
46.1 |
119.0 |
22. |
43.2 |
116.0 |
56. |
38.1 |
115.0 |
90. |
63.5 |
144.0 |
23. |
17.0 |
75.0 |
57. |
46.8 |
128.0 |
91. |
72.8 |
161.0 |
24. |
58.6 |
128.0 |
58. |
59.9 |
130.0 |
92. |
56.6 |
141.0 |
25. |
60.4 |
131.0 |
59. |
19.5 |
91.0 |
93. |
65.7 |
140.0 |
26. |
76.1 |
155.0 |
60. |
71.7 |
141.0 |
94. |
49.8 |
123.0 |
27. |
57.2 |
134.0 |
61. |
50.6 |
134.0 |
95. |
31.8 |
89.0 |
28. |
39.4 |
113.0 |
62. |
35.9 |
109.0 |
96. |
24.0 |
111.0 |
29. |
22.3 |
100.0 |
63. |
18.8 |
108.0 |
97. |
72.4 |
156.0 |
30. |
74.4 |
141.0 |
64. |
64.1 |
135.0 |
98. |
35.7 |
105.0 |
31. |
52.0 |
127.0 |
65. |
51.1 |
137.0 |
99. |
21.8 |
96.0 |
32. |
31.5 |
90.0 |
66. |
31.8 |
94.0 |
100. |
22.0 |
79.0 |
33. |
18.2 |
99.0 |
67. |
25.3 |
75.0 |
* |
* |
* |
34. |
19.5 |
63.0 |
68. |
25.0 |
51.0 |
* |
* |
* |
- 36 -
Таблица 7.2. Выборка для случайной величины Х
№ |
x |
№ |
x |
№ |
x |
№ |
x |
№ |
x |
1. |
44.0 |
21. |
69.2 |
41. |
25.0 |
61. |
33.1 |
81. |
45.1 |
2. |
33.1 |
22. |
53.6 |
42. |
40.2 |
62. |
48.9 |
82. |
56.4 |
3. |
53.6 |
23. |
55.0 |
43. |
73.1 |
63. |
21.3 |
83. |
69.2 |
4. |
57.8 |
24. |
26.8 |
44. |
48.4 |
64. |
37.2 |
84. |
72.1 |
5. |
37.6 |
25. |
18.2 |
45. |
20.7 |
65. |
19.6 |
85. |
45.7 |
6. |
26.0 |
26. |
32.0 |
46. |
40.2 |
66. |
33.8 |
86. |
22.0 |
7. |
32.2 |
27. |
45.6 |
47. |
53.2 |
67. |
76.4 |
87. |
37.8 |
8. |
47.5 |
28. |
61.3 |
48. |
18.2 |
68. |
43.2 |
88. |
46.7 |
9. |
57.9 |
29. |
75.0 |
49. |
35.7 |
69. |
74.0 |
89. |
63.2 |
10. |
68.1 |
30. |
60.4 |
50. |
51.8 |
70. |
79.6 |
90. |
55.8 |
11. |
43.0 |
31. |
49.6 |
51. |
33.4 |
71. |
76.4 |
91. |
50.1 |
12. |
58.0 |
32. |
49.5 |
52. |
45.5 |
72. |
67.5 |
92. |
42.1 |
13. |
43.9 |
33. |
53.4 |
53. |
30.7 |
73. |
43.2 |
93. |
38.1 |
14. |
46.1 |
34. |
17.0 |
54. |
46.8 |
74. |
63.5 |
94. |
58.6 |
15. |
59.9 |
35. |
72.8 |
55. |
60.4 |
75. |
19.5 |
95. |
56.6 |
16. |
76.1 |
36. |
71.7 |
56. |
65.7 |
76. |
57.2 |
96. |
50.6 |
17. |
49.8 |
37. |
39.4 |
57. |
35.9 |
77. |
31.8 |
97. |
22.3 |
18. |
18.8 |
38. |
24.0 |
58. |
74.4 |
78. |
64.1 |
98. |
72.4 |
19. |
52.0 |
39. |
51.1 |
59. |
35.7 |
79. |
31.5 |
99. |
31.8 |
20. |
21.8 |
40. |
18.2 |
60. |
25.3 |
80. |
22.0 |
100. |
19.5 |
Таблица 7.3. Выборка для случайной величины Y
№ |
y |
№ |
y |
№ |
y |
№ |
y |
№ |
y |
1. |
118.0 |
21. |
123.0 |
41. |
121.0 |
61. |
109.0 |
81. |
96.0 |
2. |
67.0 |
22. |
100.0 |
42. |
119.0 |
62. |
133.0 |
82. |
114.0 |
3. |
147.0 |
23. |
135.0 |
43. |
128.0 |
63. |
106.0 |
83. |
114.0 |
4. |
191.0 |
24. |
105.0 |
44. |
91.0 |
64. |
130.0 |
84. |
126.0 |
5. |
105.0 |
25. |
99.0 |
45. |
140.0 |
65. |
143.0 |
85. |
119.0 |
6. |
114.0 |
26. |
150.0 |
46. |
113.0 |
66. |
105.0 |
86. |
149.0 |
7. |
115.0 |
27. |
100.0 |
47. |
108.0 |
67. |
75.0 |
87. |
129.0 |
8. |
112.0 |
28. |
129.0 |
48. |
156.0 |
68. |
130.0 |
88. |
125.0 |
9. |
126.0 |
29. |
104.0 |
49. |
90.0 |
69. |
141.0 |
89. |
127.0 |
10. |
130.0 |
30. |
130.0 |
50. |
75.0 |
70. |
134.0 |
90. |
116.0 |
11. |
142.0 |
31. |
100.0 |
51. |
51.0 |
71. |
109.0 |
91. |
116.0 |
12. |
152.0 |
32. |
103.0 |
52. |
147.0 |
72. |
111.0 |
92. |
128.0 |
13. |
156.0 |
33. |
100.0 |
53. |
107.0 |
73. |
127.0 |
93. |
161.0 |
14. |
112.0 |
34. |
169.0 |
54. |
162.0 |
74. |
94.0 |
94. |
155.0 |
15. |
118.0 |
35. |
97.0 |
55. |
119.0 |
75. |
79.0 |
95. |
134.0 |
16. |
125.0 |
36. |
148.0 |
56. |
102.0 |
76. |
67.0 |
96. |
89.0 |
17. |
115.0 |
37. |
156.0 |
57. |
107.0 |
77. |
113.0 |
97. |
141.0 |
18. |
144.0 |
38. |
125.0 |
58. |
109.0 |
78. |
164.0 |
98. |
137.0 |
19. |
131.0 |
39. |
165.0 |
59. |
102.0 |
79. |
137.0 |
99. |
96.0 |
20. |
141.0 |
40. |
125.0 |
60. |
111.0 |
80. |
169.0 |
100. |
63.0 |
- 37 -
Таблица 7.4. Вариационный ряд для Х
17.0 |
18.2 |
18.2 |
18.2 |
18.8 |
19.5 |
19.5 |
19.6 |
20.7 |
21.3 |
21.8 |
22.0 |
22.2 |
22.3 |
22.7 |
24.0 |
25.0 |
25.3 |
26.0 |
26.8 |
30.7 |
31.5 |
31.8 |
31.8 |
32.0 |
32.2 |
33.1 |
33.4 |
33.8 |
34.3 |
35.7 |
35.7 |
35.9 |
37.2 |
37.6 |
37.8 |
38.1 |
39.4 |
40.2 |
40.2 |
42.1 |
43.0 |
43.2 |
43.2 |
43.9 |
44.0 |
45.1 |
45.5 |
45.6 |
45.7 |
46.1 |
46.7 |
46.8 |
47.5 |
48.4 |
48.9 |
49.5 |
49.5 |
49.8 |
50.1 |
50.6 |
51.1 |
51.8 |
52.0 |
53.2 |
53.4 |
53.6 |
55.0 |
55.8 |
56.4 |
56.6 |
57.2 |
57.8 |
57.9 |
58.0 |
58.6 |
59.9 |
60.4 |
60.4 |
61.3 |
63.2 |
63.5 |
64.1 |
65.7 |
67.5 |
68.1 |
69.2 |
69.2 |
71.7 |
72.1 |
72.4 |
72.8 |
73.1 |
74.4 |
74.8 |
75.0 |
76.1 |
76.4 |
76.4 |
79.6 |
Таблица 7.5. Группированная выборка для Х
Номер |
Границы |
Частоты |
Представитель |
Относительная |
Плотность |
интервала |
интервала |
mi |
интервала |
частота |
относительной |
|
[a i ; a i+1) |
|
zi |
Pi* |
частоты f i* |
1 |
17 – 20 |
8 |
18.5 |
0.08 |
0.0267 |
2 |
20 – 30 |
12 |
25.0 |
0.12 |
0.0120 |
3 |
30 – 35 |
10 |
32.5 |
0.10 |
0.0200 |
4 |
35 – 40 |
8 |
37.5 |
0.08 |
0.0160 |
5 |
40 – 45 |
8 |
42.5 |
0.08 |
0.0160 |
6 |
45 – 50 |
13 |
47.5 |
0.13 |
0.0260 |
7 |
50 – 55 |
8 |
52.5 |
0.08 |
0.0160 |
8 |
55 – 60 |
10 |
57.5 |
0.10 |
0.0200 |
9 |
60 – 70 |
11 |
65.0 |
0.11 |
0.0110 |
10 |
70 – 80 |
12 |
75.5 |
0.12 |
0.0120 |
Найдем точечные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Х по исходной и группированной выборкам
(формулы (2.12), (2.14), и (2.15), (2.16) соответственно):
mx |
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
= |
|
xi |
= 0.01 4650 = 46.50, |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
n i=1 |
|
|
||||
|
1 |
|
|
k |
|
|
|
|
||
mx# = |
|
mi zi |
= 0.01 4640.5 = 46.41, |
|||||||
|
|
|||||||||
|
n i=1 |
|
|
|
|
|||||
(σx )2 = |
|
n |
1 |
n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
xi2 |
(mx )2 260.18, |
|||
n 1 |
|
|||||||||
|
|
|
n i=1 |
|
||||||
- 38 -
|
|
|
|
|
|
|
σx = 16.13, |
|
|
|
σx# |
2 |
|
n |
1 |
k |
|
|
|
||
|
= |
|
|
|
|
mi zi |
2 (m#x )2 |
|
= 298.29, |
|
|
n 1 |
|
||||||||
|
|
|
n i=1 |
|
|
|
||||
σ#x = 17.27.
Найдем интервальные оценки математического ожидания случайной величины Х, то есть построим доверительные интервалы с доверительными
вероятностями γ = 0.95 и γ = 0.99 (формула (2.23)):
I0.95 = (46.41 – 1.96 17100.27 ; 46.41 + 1.96 17100.27) (43.03 ; 49.80),
I0.99 = (46.41 – 2.58 17100.27 ; 46,41 + 2.58 17100.27) (41.95 ; 50.87).
Используя данные, полученные для группированной выборки (таблица 7.5), построим на одном графике гистограмму и полигон (рис. 7.1, кривые 1 и 2, соответственно).
fx |
|
0.03 |
1 |
2 3
0.02
0.01
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
X |
Рис. 7.1. Гистограмма, полигон и теоретическая плотность
для случайной величины Х
Прямоугольники гистограммы имеют примерно равные высоты, поэтому предположим, что случайная величина Х распределена по равномерному закону с плотностью
- 39 -
1/(b – a) при а х b,
fx(x) =
0 при х a и b x.
Для равномерного распределения параметры a и b определяются по формулам (2.25):
a min x max xi |
min xi 17 |
76.9 17 |
16.4, |
|||
|
i |
n 1 |
|
100 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b max x max xi |
min xi |
79.6 76.9 17 80.2. |
||||
i |
|
n |
1 |
|
100 1 |
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, теоретическое распределение имеет плотность
0.0157 при 16.4 х 80.2,
f(x) =
0 при х < 16.4 и х > 80.2,
и функцию распределения
0 при х < 16.4,
Fx(x) = (х – 16.4)/63.8 при 16.4 х 80.2, 1 при х > 80.2.
График плотности f(x) изобразим на рис. 7.1 (линия 3).
Для проверки выдвинутой гипотезы о равномерном распределении величины Х применим критерий . Число степеней свободы
r = k–s–1=10–2–1=7, так как по выборке определено s=2 параметра: a и b. Уровню значимости = 0.01 при r = 7 соответствует критическое значение
χα2 = 18.5. Для вычисления составляем таблицу 7.6.
Отметим, что в этой таблице левая граница первого частичного интервала и правая граница последнего изменены по сравнению с таблицей 7.5 группированной выборки в соответствии с границами теоретического распределения. Гистограмму переделывать не надо. Обратите внимание на контрольные суммы (n,1,n,0) в третьей, шестой, седьмой и восьмой колонках.
- 40 -